2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

这是一份2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）﹣的绝对值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣ D．
2．（3分）下列运算一定正确的是（　　）
A．a2•a＝a3 B．（a3）2＝a5
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．a5﹣a2＝a3
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（　　）

A．8 B．7 C．10 D．6
6．（3分）方程＝的解为（　　）
A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝2
7．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°
8．（3分）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球、4个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（　　）

A．75m/min，90m/min B．80m/min，90m/min
C．75m/min，100m/min D．80m/min，100m/min
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）火星赤道半径约为3396000米，用科学记数法表示为 　 　米．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
13．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为 　 　．
14．（3分）计算﹣2的结果是 　 　．
15．（3分）把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 　 　．
16．（3分）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　．
17．（3分）不等式组的解集是 　 　．
18．（3分）四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为 　 　．
19．（3分）一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是 　 　cm．
20．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 　 　．

三、解答题（其中21-22题各7分，23-2题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin45°﹣1．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．

23．（8分）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的40%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．

24．（8分）已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．
（1）如图1，求证：CE＝BH；
（2）如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等．

25．（10分）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔．若购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元．
（1）求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；
（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔？
26．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．

27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且OE＝OD，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，连接CF，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点M作MH∥CF交FG于点H，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ，求点P的坐标．


2021年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）﹣的绝对值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣ D．
【分析】直接利用实数的性质分别得出答案．
【解答】解：，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
2．（3分）下列运算一定正确的是（　　）
A．a2•a＝a3 B．（a3）2＝a5
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．a5﹣a2＝a3
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则，完全平方公式、合并同类项法则解答即可．
【解答】解：A、a2•a＝a3，原计算正确，故此选项符合题意；
B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a5与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的运算．解题的关键是熟练运用整式的运算法则和乘法公式．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，共有三列，每列的小正方形个数分别为2、1、2，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（　　）

A．8 B．7 C．10 D．6
【分析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用正切的定义求BC的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵tan∠BAC＝＝，
∴BC＝×8＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形．
6．（3分）方程＝的解为（　　）
A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x﹣1＝2（2+x），
去括号得：3x﹣1＝4+2x，
移项合并得：x＝5，
检验：当x＝5时，（2+x）（3x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝5．
故选：A．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°
【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
8．（3分）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球、4个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有12种等可能结果，摸出的小球是红球的结果数为8，
∴摸出的小球是红球的概率为＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到，然后根据比例的性质可求出AE．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，
∴，
∴AE＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
10．（3分）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（　　）

A．75m/min，90m/min B．80m/min，90m/min
C．75m/min，100m/min D．80m/min，100m/min
【分析】根据题意可知小辉家与图书馆的距离为1500m，去图书馆花了20分钟，回来时用了15分钟，再根据“速度＝路程÷时间”列式计算即可求解．
【解答】解：由题意，得：
小辉从家去图书馆的速度为：1500÷20＝75（m/min）；
小辉从图书馆回家的速度为：1500÷（70﹣55）＝100（m/min）．
故选：C．
【点评】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）火星赤道半径约为3396000米，用科学记数法表示为 　3.396×106　米．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：3396000＝3.396×106．
故答案是：3.396×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≠　．
【分析】根据当函数表达式是分式时，分母不为0可得答案．
【解答】解：7x﹣5≠0，x≠．
故答案为：x≠．
【点评】本题主要考查的是函数自变量的取值范围，明确函数表达式是分式时，分母不为0是解题的关键．
13．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为 　﹣10　．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，k＝2×（﹣5）＝﹣10．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），
∴k＝2×（﹣5）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
14．（3分）计算﹣2的结果是 　2　．
【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2×
＝3﹣
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
15．（3分）把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 　b（a+5）（a﹣5）　．
【分析】直接提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2b﹣25b
＝b（a2﹣25）
＝b（a+5）（a﹣5）．
故答案为：b（a+5）（a﹣5）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
16．（3分）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　﹣2　．
【分析】根据函数关系式，求出顶点坐标，再根据开口向下，求出最大值．
【解答】解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求出顶点坐标是解题的关键．
17．（3分）不等式组的解集是 　x＜3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣7＜2，得：x＜3，
解不等式x﹣5≤10，得：x≤15，
则不等式组的解集为x＜3，
故答案为：x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（3分）四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为 　28　．
【分析】由平行四边形的性质知BC∥AD，由平行线的性质即角平分线的定义可得∠BEA＝∠BAE，进而可求解BE的长，即可求得BC的长，再根据平行四边形的周长可求解．
【解答】解：如图：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝6，
∴BE＝6，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+8）＝28，
故答案为28．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，证明BE＝AB求解BE的长是解题的关键．
19．（3分）一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是 　10　cm．
【分析】根据弧长计算公式列方程求解即可．
【解答】解：设扇形的半径为rcm，由题意得，
＝8π，
解得r＝10（cm），
故答案为：10．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的前提．
20．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 　6　．

【分析】先根据矩形的性质证明Rt△AFO≌Rt△BEO，然后求出∠BOE＝60°，再解直角三角形即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，
又∵BC＝2AF，
∵AF＝BE，
在Rt△AFO和Rt△BEO中，
，
∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），
∴∠AOF＝∠BOE，
∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，
又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE＝60°，
∵OB＝OD＝6，
∴BE＝OB•sin60°＝6×＝3，
∴BC＝2BE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，根据三角形全等求出∠BOE＝60°是解题关键．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-2题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin45°﹣1．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式•﹣•
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
当a＝﹣1时，
原式＝＝．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．

【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可；
（2）先把DE绕E点逆时针旋转90°得到EQ，则△DEQ为等腰直角三角形，然后取DQ的中点F，则△DEF满足条件，最后利用勾股定理计算PF．
【解答】解：（1）如图，△MNP为所作；
（2）如图，△DEF为所作；
FP＝＝．

【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了等腰直角三角形的性质．
23．（8分）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的40%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．

【分析】（1）用最喜欢短道速滑的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数；
（2）用总人数减去其它项目的人数，求出最喜欢冰壶项目的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以最喜欢高山滑雪的学生所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数有：24÷40%＝60（名）；

（2）最喜欢冰球项目的人数有：60﹣16﹣24﹣12＝8（名），补全统计图如下：


（3）根据题意得：
1500×＝300（名），
答：估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有300名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24．（8分）已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．
（1）如图1，求证：CE＝BH；
（2）如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等．

【分析】（1）由正方形的性质可得BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，由“AAS”可证△EDC≌△HCB，可得CE＝BH；
（2）由“AAS”可证△AEG≌△BCG，由“SAS”可证△AEG≌△ABF，△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵BM⊥CE，
∴∠HMC＝∠ADC＝90°，
∴∠H+∠HCM＝90°∠E+∠ECD，
∴∠H＝∠E，
在△EDC和△HCB中，
，
∴△EDC≌△HCB（AAS），
∴CE＝BH；
（2）△BCG，△DCF，△DHF，△ABF，
理由如下：∵AE＝AB，
∴AE＝BC＝AD＝CD，
∵△EDC≌△HCB，
∴ED＝HC，
∵AD＝CD，
∴AE＝HD＝CD＝AB，
在△AEG和△BCG中，
，
∴△AEG≌△BCG（AAS），
∴AG＝BG＝AB，
同理可证△AFB≌△DFH，
∴AF＝DF＝AD，
∴AG＝AF＝DF，
在△AEG和△ABF中，
，
∴△AEG≌△ABF（SAS），
同理可证△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
25．（10分）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔．若购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元．
（1）求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；
（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔？
【分析】（1）设每支A种型号的毛笔x元，每支B种型号的毛笔y元，由题意列出方程组，即可求解；
（2）设A种型号的毛笔为a支，由“总费用不超过420元”列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设每支A种型号的毛笔x元，每支B种型号的毛笔y元；
由题意可得：，
解得：，
答：每支A种型号的毛笔6元，每支B种型号的毛笔4元；
（2）设A种型号的毛笔为a支，
由题意可得：6a+4（80﹣a）≤420，
解得：a≤50，
答：最多可以购买多少50支A种型号的毛笔．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，找出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．
26．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．

【分析】（1）如图1，过点O作OP⊥BC，交⊙O于点P，连接AP交BE于Q，先根据垂径定理可得：＝，＝，根据圆周角定理得AP平分∠BAC，BE平分∠ABC，∠C＝90°，所以∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，根据三角形的外角的性质和对顶角相等可得结论；
（2）先根据SSS证明△DGO≌△DBO（SSS），得∠ABD＝∠DGO，根据同角的余角相等可得∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，最后根据内错角相等可得OG∥AD；
（3）如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，证明△GKD≌△DCB（AAS），得GK＝DC＝y，根据等角的正切可得EN的长，根据勾股定理列方程可得y的值，最后由勾股定理可得AG的长．
【解答】（1）证明：如图1，过点O作OP⊥BC，交⊙O于点P，连接AP交BE于Q，

∴＝，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵点N为AC的中点，
∴＝，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，
∴∠AQB＝∠EQP＝135°，
△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，
∴∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）证明：在△DGO和△DBO中，
，
∴△DGO≌△DBO（SSS），
∴∠ABD＝∠DGO，
∵DG⊥BE，
∴∠GDB＝90°，
∴∠ADG+∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠CBE＝90°，
∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，
∴OG∥AD；
（3）解：如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，

由（2）知：OG∥AC，
∴GH∥AC，
∴∠OHB＝∠C＝90°，
∴OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，
∴四边形GHCK是矩形，
∴CH＝GK，
设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，
由（2）知：∠ADG＝∠DBC，
在△GKD和△DCB中，
，
∴△GKD≌△DCB（AAS），
∴GK＝DC＝y，
∵OE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
∴tan∠DBC＝tanE，
∴，即＝，
∴EN＝，
∴AN＝CN＝y+，ON＝y，
由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，
∴（y+）2＝y2+（y+）2，
解得：y1＝﹣（舍），y2＝，
∴AG＝＝＝2．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，垂径定理，三角函数，勾股定理，角平分线的定义和圆周角定理等知识，第三问有难度，求出NE的长是本题的关键．
27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且OE＝OD，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，连接CF，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点M作MH∥CF交FG于点H，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ，求点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）求出点C的坐标，可得AC＝8，利用三角形面积公式求解即可．
（3）如图2中，过点P作PT⊥CG于T，交CF于W，过点F作FJ⊥MH交MH的延长线于J，连接JQ．想办法证明WP＝WC＝WF，推出∠CPF＝90°，再证明∠PLC＝∠ODC，推出tan∠PLC＝tan∠ODC＝，求出点L的坐标，求出直线BP的解析式，构建方程组确定点P坐标即可．
【解答】解：（1）把A（10，0），B（，6）代入y＝ax2+bx，得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．

（2）∵直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴C（2，0），D（0，﹣4），
∵A（10，0），
∴OA＝10，OC＝2，
∴AC＝8，
由题意P（t，2t﹣4），
∴S＝×8×（2t﹣4）＝8t﹣16．

（3）如图2中，过点P作PT⊥CG于T，交CF于W，过点F作FJ⊥MH交MH的延长线于J，连接JQ．

∵PT⊥CG，
∴∠PTC＝∠ODC＝90°，
∴OD∥PT，
∴∠ODC＝∠CPT，
∴tan∠CPT＝tan∠ODC＝＝＝，
∵HR⊥RF，FJ⊥MJ，MH∥CF，
∴RH⊥MJ，
∴∠FRH＝∠RHJ＝∠FJH＝90°，
∴四边形RFJH是矩形，
∴RF＝HJ，
∵RF+HM＝MH+HJ＝MJ＝GQ，MJ∥GQ，
∴四边形MJQG是平行四边形，
∴JQ＝GM，∠JQG＝∠GMJ，
∵MF平分∠CFG，
∴∠CFM＝∠MFG，
∵CF∥MH，
∴∠FMH＝∠CFM，
∴∠FMH＝∠MFH，
∴FH＝HM，
∵∠MGH＝∠FJH＝90°，∠MHG＝∠FHJ，
∴△MHG≌△FHJ（AAS），
∴MG＝FJ＝JQ，∠GMH＝∠HFJ，
∴∠JFQ＝∠JQF，∠GFJ＝∠GQJ，
∴∠GFQ＝∠GQF，
∵CF∥GQ，PT∥FG，
∴∠WPF＝∠GFQ，∠WFP＝∠GQF，
∴∠WPF＝∠WFP，
∴WP＝WF，
∵D，E关于x轴对称，
∴∠ECO＝∠DCO＝∠PCG，
∵EC∥PG，
∴∠PGC＝∠ECO，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PT⊥CG，
∴CT＝TG，
∵WT∥FG，
∴CW＝WF，
∴WP＝WC＝WF，
∴∠CPF＝90°，
∴∠LCP+∠PLC＝90°，
∵∠ODC+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠LCP，
∴∠PLC＝∠ODC，
∴tan∠PLC＝tan∠ODC＝，
∵B（，6），
∴OL＝+12＝，
∴L（，0），
∴直线PB的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴P（，5）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，三角形的面积，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形，全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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