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期末测试(一)--2022版初中数学九年级上册人教版
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这是一份期末测试(一)--2022版初中数学九年级上册人教版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
期末测试（一）
满分120分,限时100分钟
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2019山东济南中考)下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
赵爽弦图A 笛卡儿心形线B
科克曲线C 斐波那契螺旋线D
2.(2020四川攀枝花中考)若关于x的方程x2-x-m=0没有实数根,则m的值可以为 ( )
A.-1 B.-14 C.0 D.1
3.下列说法正确的个数是 ( )
①关于x的方程(a-1)xa2+1+5x-2=0是一元二次方程,则a=±1;
②二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴只有一个公共点;
③“打开电视机,正在播放《感动中国》”是随机事件;
④掷一枚图钉,做大量重复试验,发现“针尖朝下”的频率稳定于0.3,则掷一次该图钉,估计“针尖朝下”的概率为0.3.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2021独家原创试题)为助力当地经济发展,某地市长连续三天在某直播间推介当地特色产品.据统计,第一天的销售额为1 000万元,第三天的销售额达到1 960万元,则第二天、第三天销售额的平均增长率为 ( )
A.20% B.30% C.40% D.50%
5.(2020山东泰安中考)如图1,△ABC是☉O的内接三角形,AB=BC,∠BAC=30°,AD是直径,AD=8,则AC的长为 ( )
图1
A.4 B.43 C.83 3 D.23
6.(2020山东东营中考)如图2,随机闭合开关K1、K2、K3中的两个,能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为 ( )
图2
A.16 B.12 C.23 D.13
7.(2019山东临沂中考)如图3,☉O中,AB=AC,∠ACB=75°,BC=2,则阴影部分的面积是 ( )
图3
A.2+23π B.2+3+23π
C.4+23π D.2+43π
8.(2021独家原创试题)如图4,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2 021次得到正方形OA2 021B2 021C2 021,那么点A2 021的坐标是 ( )
图4
A.22,-22 B.(1,0) C.-22,-22 D.(0,-1)
9.定义:圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.如图5,AB和BC组成圆的折弦,AB>BC,M是ABC的中点,MF⊥AB于F,则下列结论一定成立的是 ( )
图5
A.MF=BF B.∠ABC=90° C.AF=FB+BC D.AB=2BC
10.(2020湖北鄂州中考)如图6,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)和B,与y轴交于点C.下列结论:①abc<0,②2a+b<0,③4a-2b+c>0,④3a+c>0,其中正确结论的个数为 ( )
图6
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共30分)
11.在平面直角坐标系中,点A(x2,y)与点B(3x,-2)关于原点对称,则代数式y2+2x+2 020的值为 .
12.(2020四川雅安中考)从-12,-1,1,2,5中任取一数作为a,使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为 .
13.(2021安徽马鞍山当涂期末)如图7,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-2,-3),B(3,q)两点,则不等式ax2-mx+c
图7
14.(2018贵州贵阳中考)如图8,点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点,且AM=BN,点O是正五边形的中心,则∠MON的度数是 度.
图8
15.一个不透明的口袋中有6个黑球和若干个白球,在不允许将球倒出来数的前提下,小明为估计其中的白球数,采用了如下的方法:从口袋中随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色,……,不断重复上述过程.下表是小明做5组试验得到的数据.根据这些数据,小明可估计口袋中的白球有 个.
摸球次数
100
200
260
235
205
白球次数
60
122
155
140
123
16.(2021四川成都简阳期中)已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两根x1,x2满足x12+x22=14,则m= .
17.(2021独家原创试题)如图9,一段抛物线:y=-x(x-2)(0≤x≤2)记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于另一点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于另一点A3;……如此进行下去,则C2 021的顶点坐标是 .
图9
18.(2019内蒙古包头中考)如图10,BD是☉O的直径,A是☉O外一点,点C在☉O上,AC与☉O相切于点C,∠CAB=90°,若BD=6,AB=4,∠ABC=∠CBD,则弦BC的长为 .
图10
19.(2021江苏泰州期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以C为圆心,r为半径作☉C,若☉C与斜边AB有两个公共点,则r的取值范围是 .
20.(2021湖北武汉元月调研)如图11,AB为☉O的直径,C为☉O上一动点,将AC绕点A逆时针旋转120°得AD,若AB=2,则BD的最大值为 .
图11
三、解答题(共60分)
21.(每小题4分,共8分)解下列方程:
(1)x(5x+4)=5x+4;
(2)x2-25x+2=0.
22.(2020辽宁盘锦中考)(8分)有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片,它们除数字外无其他差别,现将它们背面朝上洗匀.
(1)随机抽取一张卡片,卡片上的数字是奇数的概率为 .
(2)随机抽取一张卡片,然后放回洗匀,再随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法,求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率.
23.(2019辽宁丹东中考)(10分)如图12,网格中每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都是网格线的交点,已知B,C两点的坐标分别为(-3,0),(-1,-1).
(1)请在图中画出平面直角坐标系,并直接写出点A的坐标;
(2)将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°,画出旋转后的△A'B'C';
(3)直接写出在上述旋转过程中,点A所经过的路径长.
图12
24. (2020湖北襄阳中考)(10分)如图13,AB是☉O的直径,E,C是☉O上两点,且EC=BC,连接AE,AC.过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D.
图13
(1)判定直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=4,CD=3,求图中阴影部分的面积.
25.(2020四川广元中考)(12分)某网店正在热销一款电子产品,其成本为10元/件,销售中发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图14所示的关系.
(1)请求出y与x之间的函数关系式;
(2)该款电子产品的销售单价为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元,如何确定该款电子产品的销售单价?
图14
26.(2020湖南娄底中考)(12分)如图15,抛物线经过点A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P(m,n)是抛物线上的动点,当-3
图15
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
期末测试（一）
一、选择题
1.答案 C 选项A中的图形不是轴对称图形,是中心对称图形;选项B中的图形是轴对称图形,不是中心对称图形;选项C中的图形既是轴对称图形,也是中心对称图形;选项D中的图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故选C.
2.答案 A ∵关于x的方程x2-x-m=0没有实数根,∴Δ=(-1)2-4×1×(-m)=1+4m<0,解得m<-14.故选A.
3.答案 C ∵(a-1)xa2+1+5x-2=0是一元二次方程,∴a2+1=2且a-1≠0,解得a=-1,故①错误;令x2-2x+1=0,∵Δ=(-2)2-4×1×1=0,∴二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴只有一个公共点,故②正确;∵“打开电视机,正在播放《感动中国》”可能发生也可能不发生,是随机事件,故③正确;经过大量重复试验,事件发生的频率会逐渐稳定,此时可以用事件发生的频率作为概率的估计值,故④正确.故选C.
4.答案 C 设第二天、第三天销售额的平均增长率为x,依题意,得1 000(1+x)2=1 960,解得x1=0.4=40%,x2=-2.4(不合题意,舍去).故选C.
5.答案 B 如图,连接CD,∵AB=BC,∠BAC=30°,∴∠ACB=∠BAC=30°,∴∠B=180°-30°-30°=120°,∴∠D=180°-∠B=60°.∵AD是直径,∴∠ACD=90°.∴∠CAD=30°,∵AD=8,∴CD=12AD=4,∴AC=AD2-CD2=82-42=43.故选B.
6.答案 D 列表如下:
K1
K2
K3
K1
K1K2
K1K3
K2
K2K1
K2K3
K3
K3K1
K3K2
由上表知:随机闭合开关K1、K2、K3中的两个有六种等可能的情况,能让两盏灯泡L1、L2同时发光的有两种情况:K2K3,K3K2,则P(两盏灯泡L1、L2同时发光)=26=13.故选D.
7.答案 A 如图,作OD⊥BC,则BD=CD,∴直线OD是BC的垂直平分线.连接OB,OC,OA,∵AB=AC,∴AB=AC,∴A在BC的垂直平分线上,∴A、O、D共线.∵∠ACB=75°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠BAC=30°,∴∠BOC=60°.∵OB=OC,∴△BOC是等边三角形,∴OA=OB=OC=BC=2,OD=3,∴AD=2+3,∴S△ABC=12BC·AD=2+3,又S△BOC=12BC·OD=3,∴S阴影=S△ABC+S扇形BOC-S△BOC=2+3+60π×22360-3=2+23π.故选A.
8.答案 C ∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴A(0,1).∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,∴A122,22,同理可知A2(1,0),A322,-22,A4(0,-1),A5-22,-22,A6(-1,0),A7-22,22,A8(0,1),A922,22,…,发现是8次一循环,又2 021÷8=252……5,∴点A2 021的坐标为-22,-22.故选C.
9.答案 C 如图,在AB上截取AD=BC,连接AM,CM,DM,BM,∵M是ABC的中点,∴AM=CM,∴AM=CM,又∠MAD=∠MCB,∴△MAD≌△MCB(SAS),∴MD=BM.∵MF⊥AB,∴DF=BF,∴AF=AD+DF=FB+BC,故C成立,同时题目给出的条件不能说明选项A、B、D中结论一定成立,故选C.
10.答案 B ①由抛物线的开口向上知a>0,∵对称轴位于y轴的右侧,∴b<0,∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①错误;②对称轴为x=-b2a<1,得2a>-b,即2a+b>0,故②错误;③当x=-2时,y>0,即4a-2b+c>0,故③正确;④∵当x=-1时,y=0,∴0=a-b+c0,故④正确.综上所述,有2个结论正确.故选B.
二、填空题
11.答案 2 024或2 018
解析 ∵点A(x2,y)与点B(3x,-2)关于原点对称,∴x2=-3x,y=2,∴x=0或x=-3,y=2.当x=0,y=2时,y2+2x+2 020=2 024;当x=-3,y=2时,y2+2x+2 020=4-6+2 020=2 018.综上,代数式y2+2x+2 020的值为2 024或2 018.
12.答案 35
解析 在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果,其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有3种结果,∴使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为35.
13.答案 -2
解析 如图,连接OA、OB、OC,∠AOB=360°5=72°,∵∠AOB=∠BOC,OA=OB=OC,∴∠OAB=∠OBC.
在△AOM和△BON中,OA=OB,∠OAM=∠OBN,AM=BN,
∴△AOM≌△BON,∴∠AOM=∠BON,
∴∠MON=∠AOB=72°.
15.答案 9
解析 设口袋中有x个白球,因为共摸了100+200+260+235+205=1 000次,其中有60+122+155+140+123=600次摸到白球,则估计摸到白球的概率为6001 000=35,所以x6+x=35,解得x=9,经检验,x=9是原分式方程的解,所以可估计口袋中的白球有9个.
16.答案 -2
解析 ∵关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两根是x1、x2,∴x1+x2=m,x1x2=2m-1,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2(2m-1).∵x12+x22=14,∴m2-2(2m-1)=14,解得m=6或m=-2,当m=6时,方程为x2-6x+11=0,此时Δ=(-6)2-4×11=36-44=-8<0,不合题意,舍去,∴m=-2.
17.答案 (4 041,1)
解析 ∵y=-x(x-2)=-(x-1)2+1,∴C1的顶点坐标为(1,1),点A1的坐标为(2,0),由题意可得,C2的顶点坐标为(3,-1),C3的顶点坐标为(5,1),C4的顶点坐标为(7,-1),……,∴C2 021的顶点的横坐标为1+2×(2 021-1)=4 041,纵坐标为1,∴C2 021的顶点坐标是(4 041,1).
18.答案 26
解析 如图,连接OC,作OE⊥AB于点E,所以∠OEA=90°.因为AC与☉O相切于点C,所以∠OCA=90°.因为∠CAB=90°,所以四边形AEOC是矩形,所以AE=OC,OE=AC.因为BD=6,AB=4,所以AE=OC=OB=3,BE=1.在Rt△OBE中,OE=OB2-BE2=32-12=22,所以AC=22.在Rt△ABC中,BC=AC2+AB2=(22)2+42=26.
19.答案 125
即圆心C到AB的距离d=125.易知当r=125时,☉C与斜边AB相切,此时☉C与斜边AB只有一个公共点.∵AC=3,BC=4,∴AC
20.答案 7+1
解析 如图,将△ABD绕点A顺时针旋转120°得△CAB',则B'C=BD,易知当B'、O、C三点共线时,B'C最大,即BD最大,过B'作B'E⊥AB交BA的延长线于点E,∵AB=AB'=2,∠BAB'=120°,∴∠EAB'=60°.Rt△AEB'中,∠AB'E=30°,∴AE=12AB'=1,EB'=22-12=3,由勾股定理得OB'=OE2+B'E2=22+(3)2=7,∴B'C=OB'+OC=7+1,故BD的最大值为7+1.
三、解答题
21.解析 (1)移项,得x(5x+4)-(5x+4)=0.
因式分解,得(5x+4)(x-1)=0,
于是有5x+4=0或x-1=0,
所以x1=-45,x2=1.
(2)a=1,b=-25,c=2,
Δ=b2-4ac=(-25)2-4×1×2=12>0,
x=-b±b2-4ac2a=25±122,
所以x1=5+3,x2=5-3.
22.解析 (1)12.
(2)画树状图如下:
共有16种等可能的结果,两次抽取的卡片上的数字和等于6的结果有3种,
∴两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率为316.
23.解析 (1)如图,A点坐标为(-2,3).
(2)如图,△A'B'C'为所作.
(3)OA=22+32=13,
所以点A所经过的路径长=90·π·13180=132π.
24.解析 (1)CD是☉O的切线.
理由:如图,连接OC,
∵EC=BC,∴∠CAD=∠BAC.
∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO,∴∠CAD=∠ACO,
∴AD∥OC.
∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线.
(2)连接OE,连接BE交OC于F,
∵EC=BC,∴OC⊥BE,BF=EF.
∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,
∴∠FED=∠D=∠EFC=90°,
∴四边形DEFC是矩形,
∴EF=CD=3,
∴BE=23,
∴AE=AB2-BE2=42-(23)2=2,
∴AE=12AB,∴∠ABE=30°,
∴∠AOE=60°,∴∠BOE=120°.
∵EC=BC,
∴∠COE=∠BOC=60°,连接CE,
∵OE=OC,
∴△COE是等边三角形,
∴∠ECO=∠BOC=60°,
∴CE∥AB,∴S△ACE=S△COE.
∵∠OCD=90°,∠OCE=60°,
∴∠DCE=30°,∴CE=2DE,
利用勾股定理可得DE=1,
∴AD=3,
∴S阴影部分=S△ACD-S扇形COE=12×3×3-60·π×22360=332-2π3.
25.解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,将(20,100),(25,50)代入y=kx+b,
得20k+b=100,25k+b=50,
解得k=-10,b=300,
∴y与x的函数关系式为y=-10x+300.
(2)设该款电子产品每天的销售利润为w元,
由题意得w=(x-10)·y
=(x-10)(-10x+300)
=-10x2+400x-3 000
=-10(x-20)2+1 000,
∵-10<0,
∴当x=20时,w有最大值,w的最大值为1 000.
答:该款电子产品销售单价定为20元时,每天销售利润最大,最大销售利润为1 000元.
(3)设捐款后每天剩余利润z元,
由题意可得z=-10x2+400x-3 000-300=-10x2+400x-3 300,
令z=450,得-10x2+400x-3 300=450,
即x2-40x+375=0,解得x1=15,x2=25,
∵-10<0,
∴根据相应函数图象可知当该款电子产品的销售单价不低于15元,且不高于25元时,可保证捐款后每天剩余利润不低于450元.
26.解析 (1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),
把C(0,3)代入,可得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,
将A(-3,0),C(0,3)代入,得0=-3k+b,3=b,
解得k=1,b=3,
∴直线AC的解析式为y=x+3.
当-3
∴PQ=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m=-m+322+94,
∵-3
又S△PAC=12·PQ·AO=32PQ,
∴当m=-32时,△PAC的面积最大.
图①
(3)存在.
由A(-3,0),B(1,0),C(0,3),可得AB=4,OB=1,OC=OA=3,
如图②,连接BC,易得BC2=10,∠CAO=45°,
∴BA2-BC2=6.
过点B作AC的垂线交抛物线于D,交AC于H,连接AD,DC,
则∠AHB=90°,∠DBA=∠CAO=45°,∴DA2-DC2=HA2-HC2=AB2-BC2=6,
∵∠CAO=∠DBA,∴点H在AB的垂直平分线上,
即点H在抛物线的对称轴x=-1上,
易知点D与点C关于抛物线的对称轴x=-1对称.
∵C(0,3),∴点D的坐标为(-2,3).
图②
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
期末测试（一）
满分120分,限时100分钟
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2019山东济南中考)下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
赵爽弦图A 笛卡儿心形线B
科克曲线C 斐波那契螺旋线D
2.(2020四川攀枝花中考)若关于x的方程x2-x-m=0没有实数根,则m的值可以为 ( )
A.-1 B.-14 C.0 D.1
3.下列说法正确的个数是 ( )
①关于x的方程(a-1)xa2+1+5x-2=0是一元二次方程,则a=±1;
②二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴只有一个公共点;
③“打开电视机,正在播放《感动中国》”是随机事件;
④掷一枚图钉,做大量重复试验,发现“针尖朝下”的频率稳定于0.3,则掷一次该图钉,估计“针尖朝下”的概率为0.3.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2021独家原创试题)为助力当地经济发展,某地市长连续三天在某直播间推介当地特色产品.据统计,第一天的销售额为1 000万元,第三天的销售额达到1 960万元,则第二天、第三天销售额的平均增长率为 ( )
A.20% B.30% C.40% D.50%
5.(2020山东泰安中考)如图1,△ABC是☉O的内接三角形,AB=BC,∠BAC=30°,AD是直径,AD=8,则AC的长为 ( )
图1
A.4 B.43 C.83 3 D.23
6.(2020山东东营中考)如图2,随机闭合开关K1、K2、K3中的两个,能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为 ( )
图2
A.16 B.12 C.23 D.13
7.(2019山东临沂中考)如图3,☉O中,AB=AC,∠ACB=75°,BC=2,则阴影部分的面积是 ( )
图3
A.2+23π B.2+3+23π
C.4+23π D.2+43π
8.(2021独家原创试题)如图4,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2 021次得到正方形OA2 021B2 021C2 021,那么点A2 021的坐标是 ( )
图4
A.22,-22 B.(1,0) C.-22,-22 D.(0,-1)
9.定义:圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.如图5,AB和BC组成圆的折弦,AB>BC,M是ABC的中点,MF⊥AB于F,则下列结论一定成立的是 ( )
图5
A.MF=BF B.∠ABC=90° C.AF=FB+BC D.AB=2BC
10.(2020湖北鄂州中考)如图6,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)和B,与y轴交于点C.下列结论:①abc<0,②2a+b<0,③4a-2b+c>0,④3a+c>0,其中正确结论的个数为 ( )
图6
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共30分)
11.在平面直角坐标系中,点A(x2,y)与点B(3x,-2)关于原点对称,则代数式y2+2x+2 020的值为 .
12.(2020四川雅安中考)从-12,-1,1,2,5中任取一数作为a,使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为 .
13.(2021安徽马鞍山当涂期末)如图7,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-2,-3),B(3,q)两点,则不等式ax2-mx+c
图7
14.(2018贵州贵阳中考)如图8,点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点,且AM=BN,点O是正五边形的中心,则∠MON的度数是 度.
图8
15.一个不透明的口袋中有6个黑球和若干个白球,在不允许将球倒出来数的前提下,小明为估计其中的白球数,采用了如下的方法:从口袋中随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色,……,不断重复上述过程.下表是小明做5组试验得到的数据.根据这些数据,小明可估计口袋中的白球有 个.
摸球次数
100
200
260
235
205
白球次数
60
122
155
140
123
16.(2021四川成都简阳期中)已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两根x1,x2满足x12+x22=14,则m= .
17.(2021独家原创试题)如图9,一段抛物线:y=-x(x-2)(0≤x≤2)记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于另一点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于另一点A3;……如此进行下去,则C2 021的顶点坐标是 .
图9
18.(2019内蒙古包头中考)如图10,BD是☉O的直径,A是☉O外一点,点C在☉O上,AC与☉O相切于点C,∠CAB=90°,若BD=6,AB=4,∠ABC=∠CBD,则弦BC的长为 .
图10
19.(2021江苏泰州期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以C为圆心,r为半径作☉C,若☉C与斜边AB有两个公共点,则r的取值范围是 .
20.(2021湖北武汉元月调研)如图11,AB为☉O的直径,C为☉O上一动点,将AC绕点A逆时针旋转120°得AD,若AB=2,则BD的最大值为 .
图11
三、解答题(共60分)
21.(每小题4分,共8分)解下列方程:
(1)x(5x+4)=5x+4;
(2)x2-25x+2=0.
22.(2020辽宁盘锦中考)(8分)有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片,它们除数字外无其他差别,现将它们背面朝上洗匀.
(1)随机抽取一张卡片,卡片上的数字是奇数的概率为 .
(2)随机抽取一张卡片,然后放回洗匀,再随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法,求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率.
23.(2019辽宁丹东中考)(10分)如图12,网格中每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都是网格线的交点,已知B,C两点的坐标分别为(-3,0),(-1,-1).
(1)请在图中画出平面直角坐标系,并直接写出点A的坐标;
(2)将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°,画出旋转后的△A'B'C';
(3)直接写出在上述旋转过程中,点A所经过的路径长.
图12
24. (2020湖北襄阳中考)(10分)如图13,AB是☉O的直径,E,C是☉O上两点,且EC=BC,连接AE,AC.过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D.
图13
(1)判定直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=4,CD=3,求图中阴影部分的面积.
25.(2020四川广元中考)(12分)某网店正在热销一款电子产品,其成本为10元/件,销售中发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图14所示的关系.
(1)请求出y与x之间的函数关系式;
(2)该款电子产品的销售单价为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元,如何确定该款电子产品的销售单价?
图14
26.(2020湖南娄底中考)(12分)如图15,抛物线经过点A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P(m,n)是抛物线上的动点,当-3
图15
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
期末测试（一）
一、选择题
1.答案 C 选项A中的图形不是轴对称图形,是中心对称图形;选项B中的图形是轴对称图形,不是中心对称图形;选项C中的图形既是轴对称图形,也是中心对称图形;选项D中的图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故选C.
2.答案 A ∵关于x的方程x2-x-m=0没有实数根,∴Δ=(-1)2-4×1×(-m)=1+4m<0,解得m<-14.故选A.
3.答案 C ∵(a-1)xa2+1+5x-2=0是一元二次方程,∴a2+1=2且a-1≠0,解得a=-1,故①错误;令x2-2x+1=0,∵Δ=(-2)2-4×1×1=0,∴二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴只有一个公共点,故②正确;∵“打开电视机,正在播放《感动中国》”可能发生也可能不发生,是随机事件,故③正确;经过大量重复试验,事件发生的频率会逐渐稳定,此时可以用事件发生的频率作为概率的估计值,故④正确.故选C.
4.答案 C 设第二天、第三天销售额的平均增长率为x,依题意,得1 000(1+x)2=1 960,解得x1=0.4=40%,x2=-2.4(不合题意,舍去).故选C.
5.答案 B 如图,连接CD,∵AB=BC,∠BAC=30°,∴∠ACB=∠BAC=30°,∴∠B=180°-30°-30°=120°,∴∠D=180°-∠B=60°.∵AD是直径,∴∠ACD=90°.∴∠CAD=30°,∵AD=8,∴CD=12AD=4,∴AC=AD2-CD2=82-42=43.故选B.
6.答案 D 列表如下:
K1
K2
K3
K1
K1K2
K1K3
K2
K2K1
K2K3
K3
K3K1
K3K2
由上表知:随机闭合开关K1、K2、K3中的两个有六种等可能的情况,能让两盏灯泡L1、L2同时发光的有两种情况:K2K3,K3K2,则P(两盏灯泡L1、L2同时发光)=26=13.故选D.
7.答案 A 如图,作OD⊥BC,则BD=CD,∴直线OD是BC的垂直平分线.连接OB,OC,OA,∵AB=AC,∴AB=AC,∴A在BC的垂直平分线上,∴A、O、D共线.∵∠ACB=75°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠BAC=30°,∴∠BOC=60°.∵OB=OC,∴△BOC是等边三角形,∴OA=OB=OC=BC=2,OD=3,∴AD=2+3,∴S△ABC=12BC·AD=2+3,又S△BOC=12BC·OD=3,∴S阴影=S△ABC+S扇形BOC-S△BOC=2+3+60π×22360-3=2+23π.故选A.
8.答案 C ∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴A(0,1).∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,∴A122,22,同理可知A2(1,0),A322,-22,A4(0,-1),A5-22,-22,A6(-1,0),A7-22,22,A8(0,1),A922,22,…,发现是8次一循环,又2 021÷8=252……5,∴点A2 021的坐标为-22,-22.故选C.
9.答案 C 如图,在AB上截取AD=BC,连接AM,CM,DM,BM,∵M是ABC的中点,∴AM=CM,∴AM=CM,又∠MAD=∠MCB,∴△MAD≌△MCB(SAS),∴MD=BM.∵MF⊥AB,∴DF=BF,∴AF=AD+DF=FB+BC,故C成立,同时题目给出的条件不能说明选项A、B、D中结论一定成立,故选C.
10.答案 B ①由抛物线的开口向上知a>0,∵对称轴位于y轴的右侧,∴b<0,∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①错误;②对称轴为x=-b2a<1,得2a>-b,即2a+b>0,故②错误;③当x=-2时,y>0,即4a-2b+c>0,故③正确;④∵当x=-1时,y=0,∴0=a-b+c
二、填空题
11.答案 2 024或2 018
解析 ∵点A(x2,y)与点B(3x,-2)关于原点对称,∴x2=-3x,y=2,∴x=0或x=-3,y=2.当x=0,y=2时,y2+2x+2 020=2 024;当x=-3,y=2时,y2+2x+2 020=4-6+2 020=2 018.综上,代数式y2+2x+2 020的值为2 024或2 018.
12.答案 35
解析 在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果,其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有3种结果,∴使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为35.
13.答案 -2
解析 如图,连接OA、OB、OC,∠AOB=360°5=72°,∵∠AOB=∠BOC,OA=OB=OC,∴∠OAB=∠OBC.
在△AOM和△BON中,OA=OB,∠OAM=∠OBN,AM=BN,
∴△AOM≌△BON,∴∠AOM=∠BON,
∴∠MON=∠AOB=72°.
15.答案 9
解析 设口袋中有x个白球,因为共摸了100+200+260+235+205=1 000次,其中有60+122+155+140+123=600次摸到白球,则估计摸到白球的概率为6001 000=35,所以x6+x=35,解得x=9,经检验,x=9是原分式方程的解,所以可估计口袋中的白球有9个.
16.答案 -2
解析 ∵关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两根是x1、x2,∴x1+x2=m,x1x2=2m-1,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2(2m-1).∵x12+x22=14,∴m2-2(2m-1)=14,解得m=6或m=-2,当m=6时,方程为x2-6x+11=0,此时Δ=(-6)2-4×11=36-44=-8<0,不合题意,舍去,∴m=-2.
17.答案 (4 041,1)
解析 ∵y=-x(x-2)=-(x-1)2+1,∴C1的顶点坐标为(1,1),点A1的坐标为(2,0),由题意可得,C2的顶点坐标为(3,-1),C3的顶点坐标为(5,1),C4的顶点坐标为(7,-1),……,∴C2 021的顶点的横坐标为1+2×(2 021-1)=4 041,纵坐标为1,∴C2 021的顶点坐标是(4 041,1).
18.答案 26
解析 如图,连接OC,作OE⊥AB于点E,所以∠OEA=90°.因为AC与☉O相切于点C,所以∠OCA=90°.因为∠CAB=90°,所以四边形AEOC是矩形,所以AE=OC,OE=AC.因为BD=6,AB=4,所以AE=OC=OB=3,BE=1.在Rt△OBE中,OE=OB2-BE2=32-12=22,所以AC=22.在Rt△ABC中,BC=AC2+AB2=(22)2+42=26.
19.答案 125
即圆心C到AB的距离d=125.易知当r=125时,☉C与斜边AB相切,此时☉C与斜边AB只有一个公共点.∵AC=3,BC=4,∴AC
20.答案 7+1
解析 如图,将△ABD绕点A顺时针旋转120°得△CAB',则B'C=BD,易知当B'、O、C三点共线时,B'C最大,即BD最大,过B'作B'E⊥AB交BA的延长线于点E,∵AB=AB'=2,∠BAB'=120°,∴∠EAB'=60°.Rt△AEB'中,∠AB'E=30°,∴AE=12AB'=1,EB'=22-12=3,由勾股定理得OB'=OE2+B'E2=22+(3)2=7,∴B'C=OB'+OC=7+1,故BD的最大值为7+1.
三、解答题
21.解析 (1)移项,得x(5x+4)-(5x+4)=0.
因式分解,得(5x+4)(x-1)=0,
于是有5x+4=0或x-1=0,
所以x1=-45,x2=1.
(2)a=1,b=-25,c=2,
Δ=b2-4ac=(-25)2-4×1×2=12>0,
x=-b±b2-4ac2a=25±122,
所以x1=5+3,x2=5-3.
22.解析 (1)12.
(2)画树状图如下:
共有16种等可能的结果,两次抽取的卡片上的数字和等于6的结果有3种,
∴两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率为316.
23.解析 (1)如图,A点坐标为(-2,3).
(2)如图,△A'B'C'为所作.
(3)OA=22+32=13,
所以点A所经过的路径长=90·π·13180=132π.
24.解析 (1)CD是☉O的切线.
理由:如图,连接OC,
∵EC=BC,∴∠CAD=∠BAC.
∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO,∴∠CAD=∠ACO,
∴AD∥OC.
∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线.
(2)连接OE,连接BE交OC于F,
∵EC=BC,∴OC⊥BE,BF=EF.
∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,
∴∠FED=∠D=∠EFC=90°,
∴四边形DEFC是矩形,
∴EF=CD=3,
∴BE=23,
∴AE=AB2-BE2=42-(23)2=2,
∴AE=12AB,∴∠ABE=30°,
∴∠AOE=60°,∴∠BOE=120°.
∵EC=BC,
∴∠COE=∠BOC=60°,连接CE,
∵OE=OC,
∴△COE是等边三角形,
∴∠ECO=∠BOC=60°,
∴CE∥AB,∴S△ACE=S△COE.
∵∠OCD=90°,∠OCE=60°,
∴∠DCE=30°,∴CE=2DE,
利用勾股定理可得DE=1,
∴AD=3,
∴S阴影部分=S△ACD-S扇形COE=12×3×3-60·π×22360=332-2π3.
25.解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,将(20,100),(25,50)代入y=kx+b,
得20k+b=100,25k+b=50,
解得k=-10,b=300,
∴y与x的函数关系式为y=-10x+300.
(2)设该款电子产品每天的销售利润为w元,
由题意得w=(x-10)·y
=(x-10)(-10x+300)
=-10x2+400x-3 000
=-10(x-20)2+1 000,
∵-10<0,
∴当x=20时,w有最大值,w的最大值为1 000.
答:该款电子产品销售单价定为20元时,每天销售利润最大,最大销售利润为1 000元.
(3)设捐款后每天剩余利润z元,
由题意可得z=-10x2+400x-3 000-300=-10x2+400x-3 300,
令z=450,得-10x2+400x-3 300=450,
即x2-40x+375=0,解得x1=15,x2=25,
∵-10<0,
∴根据相应函数图象可知当该款电子产品的销售单价不低于15元,且不高于25元时,可保证捐款后每天剩余利润不低于450元.
26.解析 (1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),
把C(0,3)代入,可得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,
将A(-3,0),C(0,3)代入,得0=-3k+b,3=b,
解得k=1,b=3,
∴直线AC的解析式为y=x+3.
当-3
∴PQ=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m=-m+322+94,
∵-3
又S△PAC=12·PQ·AO=32PQ,
∴当m=-32时,△PAC的面积最大.
图①
(3)存在.
由A(-3,0),B(1,0),C(0,3),可得AB=4,OB=1,OC=OA=3,
如图②,连接BC,易得BC2=10,∠CAO=45°,
∴BA2-BC2=6.
过点B作AC的垂线交抛物线于D,交AC于H,连接AD,DC,
则∠AHB=90°,∠DBA=∠CAO=45°,∴DA2-DC2=HA2-HC2=AB2-BC2=6,
∵∠CAO=∠DBA,∴点H在AB的垂直平分线上,
即点H在抛物线的对称轴x=-1上,
易知点D与点C关于抛物线的对称轴x=-1对称.
∵C(0,3),∴点D的坐标为(-2,3).
图②
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