2020-2021学年河北省石家庄市某校初三（上）期末考试数学试卷

这是一份2020-2021学年河北省石家庄市某校初三（上）期末考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.

2. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=α， AB=2，则AC的长为( )
A.2sinαB.2csαC.2tanαD.2csα

3. 疫情发生后，医用酒精作为必不可少的消毒用品，发挥着巨大的作用，如图是医用酒精瓶的示意图，则它的主视图是( )

A.B.C.D.

4. 事件A：太阳从西边升起；事件B；掷硬币，正面朝上，则( )
A.事件A和事件B都是必然事件
B.事件A是不可能事件，事件B是随机事件
C.事件A是随机事件，事件B是不可能事件
D.事件A是必然事件，事件B是随机事件

5. 已知两个相似三角形的面积比是4:9，其中较小三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是( )
A.16cmB.16cm或28cm
C.36cmD.16cm或36cm

6. 已知关于x的一元二次方程x2−3x+a−1=0有实数根，则a的取值范围是( )
A.a≤134B.a<134C.0≤a<134D.a≥134

7. 关于反比例函数y=6x的图象，下列说法正确的是( )
A.点−2,1在该函数的图象上
B.该函数的图象经过原点
C.该函数的图象在第一、三象限
D.当x>0时，y随x的增大而增大

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转60∘得到△AED，连接BE，则BE的长为( )

A.5B.4C.3D.2

9. 嘉淇在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的试验是( )

A.掷一枚骰子，出现4点的概率
B.任意写一个正整数，它能被3整除的概率
C.抛一枚均匀硬币，出现反面的概率
D.从一副扑克牌中任取一张，取到“大王”的概率

10. 若关于x的二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象经过点Am,n，B−1,y1，C2−m,n，D3,y2，则y1，y2的大小关系是( )
A.y1>y2B.y1
11. 如图，已知AB为⊙O的直径，BC=8，AC=6，若CD平分∠ACB，则AD的长为( )

A.5B.6C.52D.25

12. 下图是一张月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个数（如1，2，8，9），若圈出的四个数中的最小数与最大数的积为308，则这四个数的和为( )

A.68B.72C.74D.76

13. 如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则∠BED=( )

A.45∘B.30∘C.20∘D.15∘

14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为( )

A.22B.324C.25D.223

15. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+3a≠0与反比例函数y=kxx>0的图象交于B，C两点，与x轴交于点A3,0，连接OB．若△OAB的面积为3，则k的值为( )

A.6B.4C.3D.2

16. 受疫情影响，口罩需求量猛增，我市某口罩厂商生产一种新型口罩产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系：y=−2x+100.若厂商每月的制造成本不超过540万元，则厂商每月获得的利润最大为( )
A.540万元B.512万元C.514万元D.540万元
二、填空题

如图，已知AC⊥BC于点C，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC长为半径作AB，过点O作AC的平行线分别交两弧于点D，E．

(1)OE的长度为________；

(2)AE的长度为________；

(3)阴影部分的面积是________.
三、解答题

按要求完成下列各小题．
(1)解方程：x−52+xx−5=0；

(2)计算：tan45∘+sin260∘−π−cs21∘0.

在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同），其中红色乒乓球、黄色乒乓球各1个，白色乒乓球2个．
(1)从暗箱中任意摸出一个乒乓球是白色乒乓球的概率为________；

(2)先从暗箱中任意摸出一个乒乓球，记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个乒乓球，请用列表法或画树状图的方法求两次摸到的乒乓球颜色不同的概率．

如图，某建筑物楼顶有信号塔EF，一位同学为了探究信号塔EF的高度，从建筑物一层点A处沿直线AD出发，到达点C时刚好能看到信号塔的最高点F，测得仰角∠ACF=60∘，AC长7m．接着该同学再从点C继续沿AD方向走了8m后到达点B，此时刚好能看到信号塔的最低点E，测得仰角∠B=30∘．求信号塔EF的高度(不计该同学的身高，结果保留根号)．


如图，△ADE∼△ABC，且ACAB=23，点D在△ABC的内部，连接BD，CD，CE．

(1)求证：△ABD∼△ACE；

(2)已知CD=CE，BD=3，若∠ABD+∠ACD=90∘，求DE的长．

已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，sin∠BAD=22.

(1)如图1，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)如图2，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，连接BD．若⊙O的半径为3cm，AE=5cm.
①求点E到AB的距离；
②求tan∠BDE的值．

如图，在矩形OABC中，AB=2，BC=4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kxx>0的图象经过点D，交边BC于点E，直线DE的解析式为y2=mx+nm≠0.

(1)求反比例函数y1=kxx>0的解析式和直线DE的解析式；

(2)观察图象，当mx+n>kx时，求xx>0的取值范围；

(3)在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求此时点P的坐标，并直接写出△PDE的周长的最小值．

如图，已知二次函数y=12ax2−ax+c的图象的顶点为C，一次函数y=−x+3的图象与该二次函数的图象交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与其对称轴交于点D．

(1)求点D的坐标；

(2)若点C与点D关于x轴对称，且△BCD的面积等于4.
①求点B的坐标；
②求该二次函数的解析式；

(3)若CD=DB，且△BCD的面积等于42，求CD的长．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省石家庄市某校初三（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
轴对称图形
中心对称图形
【解析】
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：A，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C，是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
D，不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
锐角三角函数的定义
【解析】
根据锐角三角函数的定义直接解答即可．
【解答】
解：在△ABC中，∠C=90∘，∠A=α， AB=2，
∴ csα=ACAB=AC2，
即AC=2csA.
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
简单几何体的三视图
【解析】
根据主视图即从物体的正面观察进而得出答案．
【解答】
解：从正面看，底层是一个矩形，中间是一个梯形，上层是一个矩形．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
随机事件
不可能事件
必然事件
【解析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】
解：事件A：太阳从西边升起，是不可能事件；
事件B：掷硬币，正面朝上，是随机事件.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意列出比例式，解答即可．
【解答】
解：∵ 两个相似三角形面积比是4:9，
∴ 两个相似三角形相似比是2:3，
∴ 两个相似三角形周长比是2:3.
∵ 其中较小三角形的周长为24cm，
∴ 另一个三角形的周长是36cm.
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
根的判别式
【解析】
根据一元二次方程的判别式的意义得到Δ≥0，然后解不等式即可．
【解答】
解：根据题意得Δ=−32−4a−1≥0，
解得a≤134 .
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
反比例函数的性质
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
利用反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：A，把−2,1代入反比例函数解析式：左边≠右边，故A选项错误；
B，反比例函数y=6x中自变量x的取值范围为x≠0，所以该函数图象不经过原点，故B选项错误；
C，k=6>0，该函数图象位于第一、三象限，故C选项正确；
D，当x>0时，y随着x的增大而减小，故D选项错误.
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
旋转的性质
勾股定理
等边三角形的性质与判定
【解析】
由勾股定理可求AB=5，由旋转的性质可得AB=AE=5，∠BAE=60∘，即可求解．
【解答】
解：∵ ∠C=90∘， BC=3， AC=4，
∴ AB=AC2+BC2=9+16=5，
∵ 将△ABC绕点A顺时针旋转60∘得到△AED，
∴ AB=AE=5，∠BAE=60∘，
∴ △ABE是等边三角形，
∴ BE=AB=5.
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
折线统计图
利用频率估计概率
【解析】
试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】
解：A，掷一枚骰子，出现4点的概率为16，不符合题意；
B，任意写一个正整数，能被3整除的概率为13，符合题意；
C，掷一枚均匀硬币，出现反面的概率为12，不符合题意；
D，从一副扑克牌中任取一张，取到“大王”的概率为154，不符合题意.
故选B．
10.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
【解析】
根据点A(m，n)，C(2−m，n)，两点可确定抛物线的对称轴，再根据B、C两点与对称轴的距离相等，判断y1=y2．
【解答】
解：∵抛物线过点A(m,n)，C(2−m,n)两点，
∴抛物线的对称轴为x=m+2−m2=1.
∵ B(−1,y1)，D(3,y2)与对称轴的距离相等，
∴y1=y2．
故选C．
11.
【答案】
C
【考点】
勾股定理
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
连接OD，由圆周角定理可得∠ACB=90∘，利用勾股定理可求解AB的长，由角平分线的定义可得AD⌢=BD⌢，即可得△AOD为等腰直角三角形，进而可求解AD的长．
【解答】
解：连接OD.
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90∘.
∵BC=8，AC=6，
∴AB=10，
∴OA=OD=5.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，即D为AB的中点，
∴∠AOD=90∘，
∴AD=52.
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的应用——其他问题
规律型：数字的变化类
【解析】
设圈出的四个数中最小数为x，则其它三个数分别为为x+1，x+7，x+8，，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为308，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入(x+x+1+x+7+x+8)中即可求出结论．
【解答】
解：设圈出的四个数中最小数为x，则其它三个数分别为x+1，x+7，x+8，
依题意，得：x(x+8)=308，
解得：x1=14，x2=−22（不合题意，舍去），
∴x+x+1+x+7+x+8=72．
故选B．
13.
【答案】
D
【考点】
正多边形和圆
圆周角定理
【解析】
连接AE，根据圆周角定理得到AE一定经过点O，根据等边三角形性质及正方形性质可得∠C=60∘，∠AEB=45∘，由圆周角定理得到∠ABE=∠C=60∘，最后根据∠BDE=∠AEB−∠AED=60∘−45∘=15∘求得答案.
【解答】
解：连接AE.
∵四边形ADEF是正方形，
∴∠D=90∘，
∴AE一定经过圆心O，
∴∠ABE=90∘.
∵ 等边三角形ABC内接于⊙O，
∴ ∠BAE=30∘，
∴∠AEB=60∘.
∵AD=DE，∠D=90∘，
∴ ∠AED=45∘，
∴∠BED=∠AEB−∠AED=60∘−45∘=15∘.
故选D.
14.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质与判定
三角形中位线定理
直角三角形斜边上的中线
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
连接DE，先由等腰直角三角形的性质得AB=2AC=42，AD=BD，再由直角三角形的性质得CD=12AB=22，然后证出DE是△ABC的中位线，得DE∥AC，DE=12AC=2，则△DEF∽△CAF，即可解决问题．
【解答】
解：连接DE，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=4，
∴AB=2AC=42，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，
∴CD=12AB=22，
∵E为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，DE=12AC=2，
∴△DEF∼△CAF，
∴DFCF=DEAC=12，
∴DF=13CD=223.
故选D.
15.
【答案】
D
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
反比例函数系数k的几何意义
【解析】
首先由条件求出直线的解析式，再设Bm，−m+3，由三角形OAB的面积为3，求得m的值，即可得到点B的坐标，最后代入反比例函数的解析式即可得到答案.
【解答】
解：∵ 直线y=ax+3与x轴交于点A3,0，
∴ 0=3a+3，解得：a=−1，
∴ 直线的解析式为y=−x+3.
∵ 直线y=−x+3与反比例函数y=kxx>0的图象交于B，C两点，
∴ 设Bm,−m+3.
∵ S△OAB=12OA−m+3=12×3−m+3=3，
∴ m=1，即点B1,2,
∴ k=1×2=2.
故选D.
16.
【答案】
A
【考点】
二次函数的应用
【解析】
根据厂商每月的制造成本不超过540万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润．
【解答】
解：设厂商每月获得的利润为z万元，
∵ 厂商每月的制造成本不超过540万元，每件制造成本为18元，
∴ 每月的生产量为：小于等于54018=30（万件），
∴ y=−2x+100≤30，
解得： x≥35，
∵ z=x−18−2x+100
=−2x2+136x−1800=−2(x−34)2+512，
∴ 图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，
∴ x=35时，z最大为：510万元．
当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．
故选A.
二、填空题
【答案】
23
23π
5π3−23
【考点】
勾股定理
平行线的性质
弧长的计算
扇形面积的计算
三角形的面积
求阴影部分的面积
【解析】
1如图，连接CE．根据已知易求得OB=OC=OD=2， BC=CE=4，在直角三角形OEC中，运用勾股定理即可得到 OE=23；
2由1知，∠ECB=60∘，且AC=4，利用弧长公式计算即可；
3图中S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE，所以用扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.
【解答】
解：1如图，连接CE.
由题意可知，∠ACB=90∘， OB=OC=OD=2，BC=CE=4.
又∵OE//AC，
∴ ∠ACB=∠COE=90∘，
∴ 在直角△OEC中，OC=2，CE=4，
∴ OE=CE2−OC2=23.
故答案为：23.
2∵ 直角△OEC中，OC=2，CE=4，
∴∠CEO=30∘.
∵AC//OE，
∴ ∠ACE=30∘，
∴ AE=30π⋅AC180=30π×4180=23π.
故答案为：23π.
3∵∠ACE=30∘，
∴∠BCE=60∘，
∴ S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE
=60π×42360−14π×22−12×2×23
=5π3−23.
故答案为：5π3−23.
三、解答题
【答案】
解：(1)x−52+xx−5=0
∴ (x−5)(x−5+x)=0，
∴ x−5=0或2x−5=0，
解得x=5或x=52.
(2)tan45∘+sin260∘−π−cs21∘0
=1+322−1
=34.
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
特殊角的三角函数值
零指数幂、负整数指数幂
【解析】
(1)由题意得到(x−5)(x−5+x)=0，求解即可；
(2)利用特殊角的三角函数求法，以及零指数幂的运算，求解即可.
【解答】
解：(1)x−52+xx−5=0
∴ (x−5)(x−5+x)=0，
∴ x−5=0或2x−5=0，
解得x=5或x=52.
(2)tan45∘+sin260∘−π−cs21∘0
=1+322−1
=34.
【答案】
12
(2)列表如下：
所有可能情况共16种，其中两次摸到颜色不同的情况有10种，
所以两次摸到的乒乓球颜色不同的概率为1016=58.
【考点】
概率公式
列表法与树状图法
【解析】
从中任意摸出一个乒乓球共有4种可能情况，摸出一个乒乓球是白色乒乓球有2中可能，
所以从暗箱中任意摸出一个乒乓球是白色乒乓球的概率为24=12.
列表得出所有可能的情况，找到两次摸到的乒乓球颜色不同的情况，可得解.
【解答】
解：(1)暗箱中红色乒乓球、黄色乒乓球各1个，白色乒乓球2个，
从中任意摸出一个乒乓球共有4种等可能情况，即红，黄，白，白，
其中摸出一个乒乓球是白色乒乓球有2种等可能情况，
所以从暗箱中摸出一个乒乓球为白色乒乓球的概率为12.
故答案为：12.
(2)列表如下：
所有可能情况共16种，其中两次摸到颜色不同的情况有10种，
所以两次摸到的乒乓球颜色不同的概率为1016=58.
【答案】
解：在Rt△ACF中，
∵ ∠ACF=60∘，AC=7(m)，
∴ AF=AC⋅tan60∘=73(m).
∵ BC=8(m)，
∴ AB=15(m).
在Rt△ABE中，∵ ∠B=30∘，
∴ AE=AB⋅tan30∘=15×33=53(m)，
∴ EF=AF−AE=73−53=23(m).
答：信号塔EF的高度为23m.
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】
在Rt△ACF中，根据三角函数的定义得到AF＝AC⋅tan60∘＝73米，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义得到AE＝AB⋅tan30∘＝15×33=53米，于是得到结论．
【解答】
解：在Rt△ACF中，
∵ ∠ACF=60∘，AC=7(m)，
∴ AF=AC⋅tan60∘=73(m).
∵ BC=8(m)，
∴ AB=15(m).
在Rt△ABE中，∵ ∠B=30∘，
∴ AE=AB⋅tan30∘=15×33=53(m)，
∴ EF=AF−AE=73−53=23(m).
答：信号塔EF的高度为23m.
【答案】
(1)证明：∵ △ADE∼△ABC，
∴ ADAB=AEAC，∠BAC=∠DAE，
∴ ADAE=ABAC，∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴ △ABD∼△ACE .
(2)解：∵ △ABD∼△ACE，
∴ ACAB=CEBD=23，∠ABD=∠ACE.
∵ BD=3，
∴ CE=2，
∴ CD=CE=2．
∵ ∠ABD+∠ACD=90∘，
∴ ∠ACD+∠ACE=90∘，
∴ ∠DCE=90∘，
∴ DE=2CD=22．
【考点】
相似三角形的判定
相似三角形的性质
等腰直角三角形
【解析】


【解答】
(1)证明：∵ △ADE∼△ABC，
∴ ADAB=AEAC，∠BAC=∠DAE，
∴ ADAE=ABAC，∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴ △ABD∼△ACE .
(2)解：∵ △ABD∼△ACE，
∴ ACAB=CEBD=23，∠ABD=∠ACE.
∵ BD=3，
∴ CE=2，
∴ CD=CE=2．
∵ ∠ABD+∠ACD=90∘，
∴ ∠ACD+∠ACE=90∘，
∴ ∠DCE=90∘，
∴ DE=2CD=22．
【答案】
解：(1)CD与⊙O相切；
理由：连接OD，如图．
∵ sin∠BAD=22，
∴ ∠BAD=45∘．
又∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠BAD=45∘，
∴ ∠AOD=90∘ ．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ DC//AB，∴ ∠ODC=∠AOD=90∘，即CD⊥OD．
∵ OD为半径，
∴ CD与⊙O相切 .
(2)①连接BE，过点E作EF⊥AB于点F．
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AEB=90∘．
∵ ⊙O的半径为3cm，
∴ AB=6cm．
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=11cm，
∴12AE⋅BE=12AB⋅EF．
∴ EF=5116cm，
∴ 点E到AB的距离为5116cm.
②由题可得，∠BDE=∠BAE，tan∠BAE=BEAE=115，
∴ tan∠BDE=tan∠BAE=115．
【考点】
切线的判定
等腰三角形的性质与判定
锐角三角函数的定义
勾股定理
圆周角定理
【解析】
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【解答】
解：(1)CD与⊙O相切；
理由：连接OD，如图．
∵ sin∠BAD=22，
∴ ∠BAD=45∘．
又∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠BAD=45∘，
∴ ∠AOD=90∘ ．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ DC//AB，∴ ∠ODC=∠AOD=90∘，即CD⊥OD．
∵ OD为半径，
∴ CD与⊙O相切 .
(2)①连接BE，过点E作EF⊥AB于点F．
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AEB=90∘．
∵ ⊙O的半径为3cm，
∴ AB=6cm．
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=11cm，
∴12AE⋅BE=12AB⋅EF．
∴ EF=5116cm，
∴ 点E到AB的距离为5116cm.
②由题可得，∠BDE=∠BAE，tan∠BAE=BEAE=115，
∴ tan∠BDE=tan∠BAE=115．
【答案】
解：(1)∵D是边AB的中点，AB=2，
∴AD=1．
∵四边形OABC是矩形，BC=4，
∴点D的坐标为(1,4)．
∵反比例函数y1=kx(x>0)的图象经过点D，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y1=4x(x>0).
将x=2代入反比例函数解析式得，y1=2，
∴点E的坐标为(2,2)．
把D(1,4)和E(2,2)代入y2=mx+n(m≠0)，
得2m+n=2,m+n=4,解得m=−2,n=6,
∴直线DE的解析式为y2=−2x+6.
(2)结合图象可知当mx+n>kx时，1(3)作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于点P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小．
∵点D的坐标为(1,4)，∴点D′的坐标为(−1,4).
设直线D′E的解析式为y=ax+b，
∴−a+b=4,2a+b=2,解得a=−23,b=103,
∴直线D′E的解析式为y=−23x+103.
令x=0，得y=103，
∴点P的坐标为(0,103).
由两点间的距离公式可知，
|DE|=(2−1)2+(2−4)2=5，|D′E|=(−1−2)2+(4−2)2=13，
∴ △PDE的周长的最小值为5+13．
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数与一次函数的综合
轴对称——最短路线问题
【解析】



【解答】
解：(1)∵D是边AB的中点，AB=2，
∴AD=1．
∵四边形OABC是矩形，BC=4，
∴点D的坐标为(1,4)．
∵反比例函数y1=kx(x>0)的图象经过点D，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y1=4x(x>0).
将x=2代入反比例函数解析式得，y1=2，
∴点E的坐标为(2,2)．
把D(1,4)和E(2,2)代入y2=mx+n(m≠0)，
得2m+n=2,m+n=4,解得m=−2,n=6,
∴直线DE的解析式为y2=−2x+6.
(2)结合图象可知当mx+n>kx时，1(3)作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于点P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小．
∵点D的坐标为(1,4)，∴点D′的坐标为(−1,4).
设直线D′E的解析式为y=ax+b，
∴−a+b=4,2a+b=2,解得a=−23,b=103,
∴直线D′E的解析式为y=−23x+103.
令x=0，得y=103，
∴点P的坐标为(0,103).
由两点间的距离公式可知，
|DE|=(2−1)2+(2−4)2=5，|D′E|=(−1−2)2+(4−2)2=13，
∴ △PDE的周长的最小值为5+13．
【答案】
解：(1)二次函数y=12ax2−ax+c的对称轴为直线x=1，
把x=1代入y=−x+3，得y=2，
∴点D的坐标为1,2.
(2)①∵ 点C与点D关于x轴对称，
∴点C的坐标为1,−2，
∴CD=4．
设点B的横坐标为bb>1，则S△BCD=12×4b−1=4，解得b=3．
∵ 点B在一次函数y=−x+3的图象上，
∴点B的坐标为3,0 ；
②∵ 二次函数的顶点为C1,−2，
∴ 二次函数的解析式可写为y=12ax−12−2．
把点B的坐标代入，解得a=1，
∴ 二次函数的解析式为y=12x2−x−32.
(3)过点B作BE⊥CD于点E，如图．
设点B的坐标为m,−m+3m>1．
由y=−x+3可知y=−x+3的图象与DC相交且夹角为45∘，
由题可得BE=m−1，∠DBE=45∘，
∴ DB=CD=2BE=2m−1.
由S△BCD=42，得12×2m−12=42，
∴ m1=1+22，m2=1−22（舍去），
∴CD=4．
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
一次函数图象上点的坐标特点
二次函数综合题
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】



【解答】
解：(1)二次函数y=12ax2−ax+c的对称轴为直线x=1，
把x=1代入y=−x+3，得y=2，
∴点D的坐标为1,2.
(2)①∵ 点C与点D关于x轴对称，
∴点C的坐标为1,−2，
∴CD=4．
设点B的横坐标为bb>1，则S△BCD=12×4b−1=4，解得b=3．
∵ 点B在一次函数y=−x+3的图象上，
∴点B的坐标为3,0 ；
②∵ 二次函数的顶点为C1,−2，
∴ 二次函数的解析式可写为y=12ax−12−2．
把点B的坐标代入，解得a=1，
∴ 二次函数的解析式为y=12x2−x−32.
(3)过点B作BE⊥CD于点E，如图．
设点B的坐标为m,−m+3m>1．
由y=−x+3可知y=−x+3的图象与DC相交且夹角为45∘，
由题可得BE=m−1，∠DBE=45∘，
∴ DB=CD=2BE=2m−1.
由S△BCD=42，得12×2m−12=42，
∴ m1=1+22，m2=1−22（舍去），
∴CD=4．
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