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河北省保定市高阳县宏润中学九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份河北省保定市高阳县宏润中学九年级（上）期末数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了已知二次函数y=22+1等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年河北省保定市高阳县宏润中学九年级（上）期末数学试卷
一.相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：
①其图象的开口向下；
②其图象的对称轴为直线x=﹣3；
③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；
④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下面三视图表示的可能是宜昌四种特产：西瓜、蜜橘、梨、土豆中的（ ）
A．西瓜 B．蜜橘 C．土豆 D．梨[来源:学,科,网]
4．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A． B． C． D．
5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（ ）
A．（﹣2a，﹣2b） B．（﹣a，﹣2b） C．（﹣2b，﹣2a） D．（﹣2a，﹣b）
6．二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
7．如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是（ ）
A．200m B． m C． m D．100m
8．（3）（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．100（）米
9．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
10．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
二.试试你的身手（每小题3分，共30分）
11．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C= ．
12．若干桶方便面摆放在桌子上．实物图片左边所给的是它的三视图．则这一堆方便面共有 桶．
13．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB= km．
14．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为 米．
15．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点 ．
16．复习课上，张老师念了这样一道题目：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，“三位同学”分别说出了它的一些结论．“可心”说：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；“童谣”说：③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；“思宇”说：⑤c﹣a＞1．请你根据图找出其中正确结论的序号是 ．
17．如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
18．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．
19．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°．则塔高BC为 m．
20．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．（精确到1米）
三.挑战你的能力（共40分）
21．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
22．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6 m，DN=0.6m．
（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；
（2）求标杆EF的影长．
23．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC= ，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
24．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
25．北京的6月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动．当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴．于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭子和一棵小树的正中间点A的位置，观测小亭子顶端B的仰角∠BAC=60°，观测小树尖D的仰角∠DAE=45°．已知小树高DE=2米．请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高BC的长．（结果精确到0.1.，）
26．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
2017-2018学年河北省保定市高阳县宏润中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行投影．
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【解答】解：A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；
B、影子的方向不相同，错误；
C、影子的方向不相同，错误；
D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误．
故选A．
【点评】本题考查了平行投影特点．
2．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：
①其图象的开口向下；
②其图象的对称轴为直线x=﹣3；
③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；
④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数的性质．
【专题】常规题型．
【分析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．
【解答】解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；
②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；
综上所述，说法正确的有④共1个．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要考查了函数图象的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，以及函数的增减性，都是基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．下面三视图表示的可能是宜昌四种特产：西瓜、蜜橘、梨、土豆中的（ ）
A．西瓜 B．蜜橘 C．土豆 D．梨
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】图表型．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是蜜橘．
故选B．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．本题着重应从柱体这个概念去思考．
4．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．
【专题】压轴题．
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB==，
∴tanB′=tanB=．
故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（ ）
A．（﹣2a，﹣2b） B．（﹣a，﹣2b） C．（﹣2b，﹣2a） D．（﹣2a，﹣b）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】压轴题．
【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，位似变换是以原点为位似中心，相似比为1：2．
【解答】解：根据题意图形易得，两个图形的位似比是1：2，
∴对应点是（﹣2a，﹣2b）．
故选A．
【点评】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．
6．二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】数形结合．
【分析】先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．
【解答】解：∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得，
﹣9+6+k=0，解得k=3，
∴原方程可化为：﹣x2+2x+3=0，
∴x1+x2=3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．
故选B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解答此类题目的关键是熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系．
7．如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是（ ）
A．200m B． m C． m D．100m
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【专题】压轴题．
【分析】根据P在N的北偏西30°的方向，可求得∠P=∠N，再根据三角函数即可求得PM的值．
【解答】解：由已知得，∠P=∠N=30°．
在直角△PMN中，PM==200．
故选A．
【点评】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
8．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．100（）米
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】压轴题．
【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
【解答】解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，
∴AD===100
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°
∴DB=CD=100米，
∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米．
故选D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．
9．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题；压轴题；数形结合．
【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为：（2，4），
∴喷水的最大高度为4米，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
10．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【考点】相似三角形的应用．
【专题】应用题．
【分析】由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．
【解答】解：
由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴，∴CD==8（米）．
故选：B
【点评】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．
二.试试你的身手（每小题3分，共30分）
11．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C= 75° ．
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．
【分析】首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA﹣=0，sinB﹣=0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．
【解答】解：∵|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，
∴cosA﹣=0，sinB﹣=0，
∴cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°，
故答案为：75°．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．
12．若干桶方便面摆放在桌子上．实物图片左边所给的是它的三视图．则这一堆方便面共有 6 桶．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】从俯视图中可以看出最底层方便面的个数及摆放的形状，从主视图可以看出每一层方便面的层数和个数，从左视图可看出每一行方便面的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：三摞方便面是桶数之和为：3+1+2=6．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．[来源:学科网ZXXK]
13．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB= 3 km．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【专题】压轴题．
【分析】过C作CE⊥BD于E，根据题意及三角函数可求得CE的长，从而得到AB的长．
【解答】解：过C作CE⊥BD于E，则CE=AB．
直角△CED中，∠ECD=30°，CD=6，
则CE=CD•cos30°=3=AB．
∴AB=3（km）．
【点评】此题的关键是添加辅助线构造直角三角形，再运用三角函数定义求解．
14．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为 9 米．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF∽△ABC，
∴=，
即=，
∴AC=6×1.5=9米．
故答案为：9．[来源:Z§xx§k.Com]
【点评】此题考查相似三角形的实际运用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
15．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点 P ．
【考点】位似变换．
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【解答】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，
因为点P在直线MN上，
所以点P为位似中心．
故答案为：P．
【点评】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．
16．复习课上，张老师念了这样一道题目：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，“三位同学”分别说出了它的一些结论．“可心”说：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；“童谣”说：③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；“思宇”说：⑤c﹣a＞1．请你根据图找出其中正确结论的序号是 ①②③⑤ ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由二次函数的图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0，对称轴x=﹣1，再结合图象判断各结论．
【解答】解：由图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0，对称轴x=﹣1，
①x=1时，a+b+c＜0，正确；
②x=﹣1时，a﹣b+c＞1，正确；
③abc＞0，正确；
④4a﹣2b+c＜0，错误，x=﹣2时，4a﹣2b+c＞0；
⑤x=﹣1时，a﹣b+c＞1，又﹣=﹣1，b=2a，c﹣a＞1，正确，
综上可知其中正确结论的序号是①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
17．如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 22.5 米．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据题意，河两岸平行，故可根据平行线分线段成比例来解决问题，列出方程，求解即可．
【解答】解：如图，设河宽为h，
∵AB∥CD
由平行线分线段成比例定理得： =，
解得：h=22.5，
∴河宽为22.5米．
故答案为：22.5．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
18．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为 2080 元/平方米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】操作型；函数思想．
【分析】从图象中找出顶点坐标、对称轴，利用对称性即可解答．
【解答】解：由图象可知（4，2200）是抛物线的顶点，
∵x=4是对称轴，
∴点（2，2080）关于直线x=4的对称点是（6，2080）．
∴6楼房子的价格为2080元．
【点评】要求熟悉二次函数的对称性，并准确的找到所求的点与那个已知点是对称点，此题的关键是能找到顶点是（4，2200）．
19．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°．则塔高BC为 45 m．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】用AC表示出BE，BC长，根据BC﹣BE=30得方程求AC，进而求得BC长．
【解答】解：根据题意得：BC==AC，
∵BE=DEtan30°=ACtan30°=AC．
∴大楼高AD=BC﹣BE=（﹣）AC=30．
解得：AC=15．
∴BC=AC=45．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
20．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 18 米．（精确到1米）
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长．
【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，
可知y=8，
把y=8代入y=﹣x2+10得：
x=±4，
∴由两点间距离公式可求出EF=8≈18（米）．
【点评】以丽水市“古廊桥文化”为背景呈现问题，考查了现实中的二次函数问题，赋予传统试题新的活力，感觉不到“老调重弹”，在考查提取、筛选信息，分析、解决实际问题等能力的同时，发挥了让学生“熏陶文化，保护遗产”的教育功能．
三.挑战你的能力（共40分）
21．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；
（2）由于tanA=，所以可设BC=3，AC=4，则AB=5，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC=AB，
∴AC===AB，
∴ctan30°==．
故答案为：；
（2）∵tanA=，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA==．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
22．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6 m，DN=0.6m．
（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；[来源:学科网]
（2）求标杆EF的影长．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】计算题；作图题．
【分析】解此题要借助于相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，还要注意数形结合思想与方程思想的应用．
【解答】解：（1）如右图．
（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH=xm，
由AB∥CD∥OH得，
即，
解得x=1.2．
设FG=ym，同理得，
即，
解得y=0.4．
所以EF的影长为0.4m．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了方程的思想．
23．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC= 135° ，BC= 2 ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
【考点】相似三角形的判定；勾股定理．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
【解答】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，
BC===2；
故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠DEF．
∵AB=2，BC=2，FE=2，DE=
∴==， ==．
∴△ABC∽△DEF．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
24．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．
【解答】解：（1）由已知条件得，
解得，
所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；
（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP=×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，
解得x=﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2，4），
②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，
解得x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4），
综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．
25．北京的6月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动．当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴．于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭子和一棵小树的正中间点A的位置，观测小亭子顶端B的仰角∠BAC=60°，观测小树尖D的仰角∠DAE=45°．已知小树高DE=2米．请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高BC的长．（结果精确到0.1.，）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】应用题．
【分析】在Rt△ADE中，由小树的高度以及∠DAE的大小，可求解AE的长，即AC的长，进而再在Rt△ABC中，由边角关系∠BAC=60°特殊角，即可求解亭子高度BC的长．
【解答】解：根据题意得：∠C=∠E=90°．
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∠E=90°，
∴∠D=∠DAE=45°．
∵DE=2，
∴AE=DE=2．
∵A为CE的中点，
∴AC=AE=2．（2分）
在Rt△ACB中，∠BAC=60°，∠C=90°，
∴．
∴BC=．
∴BC≈2×1.73≈3.5．
答：小亭子高约为3.5米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的问题，又涉及仰角、俯角的实际应用，其中重点还是直角三角形的求解问题．
26．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180﹣10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
（3）让（1）中的y=1920求得合适的x的解即可．
【解答】解：（1）y=（30﹣20+x）（180﹣10x）=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）由（1）知，y=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0，
∴当x==4时，y最大=1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；
（3）1920=﹣10x2+80x+1800
x2﹣8x+12=0，
（x﹣2）（x﹣6）=0，[来源:Z_xx_k.Com]
解得x=2或x=6，
∵0≤x≤5，
∴x=2，
∴30+2=32（元）
∴售价为32元时，利润为1920元．
【点评】考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．
2017-2018学年河北省保定市高阳县宏润中学九年级（上）期末数学试卷
一.相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：
①其图象的开口向下；
②其图象的对称轴为直线x=﹣3；
③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；
④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下面三视图表示的可能是宜昌四种特产：西瓜、蜜橘、梨、土豆中的（ ）
A．西瓜 B．蜜橘 C．土豆 D．梨[来源:学,科,网]
4．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A． B． C． D．
5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（ ）
A．（﹣2a，﹣2b） B．（﹣a，﹣2b） C．（﹣2b，﹣2a） D．（﹣2a，﹣b）
6．二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
7．如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是（ ）
A．200m B． m C． m D．100m
8．（3）（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．100（）米
9．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
10．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
二.试试你的身手（每小题3分，共30分）
11．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C= ．
12．若干桶方便面摆放在桌子上．实物图片左边所给的是它的三视图．则这一堆方便面共有 桶．
13．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB= km．
14．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为 米．
15．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点 ．
16．复习课上，张老师念了这样一道题目：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，“三位同学”分别说出了它的一些结论．“可心”说：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；“童谣”说：③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；“思宇”说：⑤c﹣a＞1．请你根据图找出其中正确结论的序号是 ．
17．如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
18．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．
19．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°．则塔高BC为 m．
20．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．（精确到1米）
三.挑战你的能力（共40分）
21．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
22．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6 m，DN=0.6m．
（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；
（2）求标杆EF的影长．
23．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC= ，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
24．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
25．北京的6月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动．当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴．于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭子和一棵小树的正中间点A的位置，观测小亭子顶端B的仰角∠BAC=60°，观测小树尖D的仰角∠DAE=45°．已知小树高DE=2米．请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高BC的长．（结果精确到0.1.，）
26．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
2017-2018学年河北省保定市高阳县宏润中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行投影．
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【解答】解：A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；
B、影子的方向不相同，错误；
C、影子的方向不相同，错误；
D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误．
故选A．
【点评】本题考查了平行投影特点．
2．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：
①其图象的开口向下；
②其图象的对称轴为直线x=﹣3；
③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；
④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数的性质．
【专题】常规题型．
【分析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．
【解答】解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；
②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；
综上所述，说法正确的有④共1个．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要考查了函数图象的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，以及函数的增减性，都是基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．下面三视图表示的可能是宜昌四种特产：西瓜、蜜橘、梨、土豆中的（ ）
A．西瓜 B．蜜橘 C．土豆 D．梨
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】图表型．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是蜜橘．
故选B．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．本题着重应从柱体这个概念去思考．
4．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．
【专题】压轴题．
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB==，
∴tanB′=tanB=．
故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（ ）
A．（﹣2a，﹣2b） B．（﹣a，﹣2b） C．（﹣2b，﹣2a） D．（﹣2a，﹣b）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】压轴题．
【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，位似变换是以原点为位似中心，相似比为1：2．
【解答】解：根据题意图形易得，两个图形的位似比是1：2，
∴对应点是（﹣2a，﹣2b）．
故选A．
【点评】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．
6．二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】数形结合．
【分析】先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．
【解答】解：∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得，
﹣9+6+k=0，解得k=3，
∴原方程可化为：﹣x2+2x+3=0，
∴x1+x2=3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．
故选B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解答此类题目的关键是熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系．
7．如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是（ ）
A．200m B． m C． m D．100m
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【专题】压轴题．
【分析】根据P在N的北偏西30°的方向，可求得∠P=∠N，再根据三角函数即可求得PM的值．
【解答】解：由已知得，∠P=∠N=30°．
在直角△PMN中，PM==200．
故选A．
【点评】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
8．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
A．200米 B．200米 C．220米 D．100（）米
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】压轴题．
【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
【解答】解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，
∴AD===100
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°
∴DB=CD=100米，
∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米．
故选D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．
9．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题；压轴题；数形结合．
【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为：（2，4），
∴喷水的最大高度为4米，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
10．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【考点】相似三角形的应用．
【专题】应用题．
【分析】由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．
【解答】解：
由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴，∴CD==8（米）．
故选：B
【点评】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．
二.试试你的身手（每小题3分，共30分）
11．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C= 75° ．
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．
【分析】首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA﹣=0，sinB﹣=0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．
【解答】解：∵|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，
∴cosA﹣=0，sinB﹣=0，
∴cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°，
故答案为：75°．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．
12．若干桶方便面摆放在桌子上．实物图片左边所给的是它的三视图．则这一堆方便面共有 6 桶．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】从俯视图中可以看出最底层方便面的个数及摆放的形状，从主视图可以看出每一层方便面的层数和个数，从左视图可看出每一行方便面的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：三摞方便面是桶数之和为：3+1+2=6．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．[来源:学科网ZXXK]
13．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB= 3 km．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【专题】压轴题．
【分析】过C作CE⊥BD于E，根据题意及三角函数可求得CE的长，从而得到AB的长．
【解答】解：过C作CE⊥BD于E，则CE=AB．
直角△CED中，∠ECD=30°，CD=6，
则CE=CD•cos30°=3=AB．
∴AB=3（km）．
【点评】此题的关键是添加辅助线构造直角三角形，再运用三角函数定义求解．
14．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为 9 米．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF∽△ABC，
∴=，
即=，
∴AC=6×1.5=9米．
故答案为：9．[来源:Z§xx§k.Com]
【点评】此题考查相似三角形的实际运用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
15．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点 P ．
【考点】位似变换．
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【解答】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，
因为点P在直线MN上，
所以点P为位似中心．
故答案为：P．
【点评】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．
16．复习课上，张老师念了这样一道题目：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，“三位同学”分别说出了它的一些结论．“可心”说：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；“童谣”说：③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；“思宇”说：⑤c﹣a＞1．请你根据图找出其中正确结论的序号是 ①②③⑤ ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由二次函数的图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0，对称轴x=﹣1，再结合图象判断各结论．
【解答】解：由图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0，对称轴x=﹣1，
①x=1时，a+b+c＜0，正确；
②x=﹣1时，a﹣b+c＞1，正确；
③abc＞0，正确；
④4a﹣2b+c＜0，错误，x=﹣2时，4a﹣2b+c＞0；
⑤x=﹣1时，a﹣b+c＞1，又﹣=﹣1，b=2a，c﹣a＞1，正确，
综上可知其中正确结论的序号是①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
17．如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 22.5 米．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据题意，河两岸平行，故可根据平行线分线段成比例来解决问题，列出方程，求解即可．
【解答】解：如图，设河宽为h，
∵AB∥CD
由平行线分线段成比例定理得： =，
解得：h=22.5，
∴河宽为22.5米．
故答案为：22.5．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
18．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为 2080 元/平方米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】操作型；函数思想．
【分析】从图象中找出顶点坐标、对称轴，利用对称性即可解答．
【解答】解：由图象可知（4，2200）是抛物线的顶点，
∵x=4是对称轴，
∴点（2，2080）关于直线x=4的对称点是（6，2080）．
∴6楼房子的价格为2080元．
【点评】要求熟悉二次函数的对称性，并准确的找到所求的点与那个已知点是对称点，此题的关键是能找到顶点是（4，2200）．
19．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°．则塔高BC为 45 m．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】用AC表示出BE，BC长，根据BC﹣BE=30得方程求AC，进而求得BC长．
【解答】解：根据题意得：BC==AC，
∵BE=DEtan30°=ACtan30°=AC．
∴大楼高AD=BC﹣BE=（﹣）AC=30．
解得：AC=15．
∴BC=AC=45．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
20．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 18 米．（精确到1米）
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长．
【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，
可知y=8，
把y=8代入y=﹣x2+10得：
x=±4，
∴由两点间距离公式可求出EF=8≈18（米）．
【点评】以丽水市“古廊桥文化”为背景呈现问题，考查了现实中的二次函数问题，赋予传统试题新的活力，感觉不到“老调重弹”，在考查提取、筛选信息，分析、解决实际问题等能力的同时，发挥了让学生“熏陶文化，保护遗产”的教育功能．
三.挑战你的能力（共40分）
21．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；
（2）由于tanA=，所以可设BC=3，AC=4，则AB=5，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC=AB，
∴AC===AB，
∴ctan30°==．
故答案为：；
（2）∵tanA=，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA==．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
22．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6 m，DN=0.6m．
（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；[来源:学科网]
（2）求标杆EF的影长．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】计算题；作图题．
【分析】解此题要借助于相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，还要注意数形结合思想与方程思想的应用．
【解答】解：（1）如右图．
（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH=xm，
由AB∥CD∥OH得，
即，
解得x=1.2．
设FG=ym，同理得，
即，
解得y=0.4．
所以EF的影长为0.4m．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了方程的思想．
23．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC= 135° ，BC= 2 ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
【考点】相似三角形的判定；勾股定理．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
【解答】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，
BC===2；
故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠DEF．
∵AB=2，BC=2，FE=2，DE=
∴==， ==．
∴△ABC∽△DEF．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
24．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．
【解答】解：（1）由已知条件得，
解得，
所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；
（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP=×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，
解得x=﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2，4），
②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，
解得x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4），
综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．
25．北京的6月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动．当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴．于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭子和一棵小树的正中间点A的位置，观测小亭子顶端B的仰角∠BAC=60°，观测小树尖D的仰角∠DAE=45°．已知小树高DE=2米．请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高BC的长．（结果精确到0.1.，）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】应用题．
【分析】在Rt△ADE中，由小树的高度以及∠DAE的大小，可求解AE的长，即AC的长，进而再在Rt△ABC中，由边角关系∠BAC=60°特殊角，即可求解亭子高度BC的长．
【解答】解：根据题意得：∠C=∠E=90°．
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∠E=90°，
∴∠D=∠DAE=45°．
∵DE=2，
∴AE=DE=2．
∵A为CE的中点，
∴AC=AE=2．（2分）
在Rt△ACB中，∠BAC=60°，∠C=90°，
∴．
∴BC=．
∴BC≈2×1.73≈3.5．
答：小亭子高约为3.5米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的问题，又涉及仰角、俯角的实际应用，其中重点还是直角三角形的求解问题．
26．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180﹣10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
（3）让（1）中的y=1920求得合适的x的解即可．
【解答】解：（1）y=（30﹣20+x）（180﹣10x）=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）由（1）知，y=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0，
∴当x==4时，y最大=1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；
（3）1920=﹣10x2+80x+1800
x2﹣8x+12=0，
（x﹣2）（x﹣6）=0，[来源:Z_xx_k.Com]
解得x=2或x=6，
∵0≤x≤5，
∴x=2，
∴30+2=32（元）
∴售价为32元时，利润为1920元．
【点评】考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．
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