广东省揭阳市揭西县九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份广东省揭阳市揭西县九年级（上）期末数学试卷（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．点P（﹣2，b）是反比例函数y=的图象上的一点，则b=（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
2．用因式分解法解一元二次方程x（x﹣3）=x﹣3时，原方程可化为（ ）
A．（x﹣1）（x﹣3）=0B．（x+1）（x﹣3）=0C．x （x﹣3）=0D．（x﹣2）（x﹣3）=0
3．准备两组相同的牌，每组两张且大小相同，两张牌的牌面数字分别是0，1，从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为1的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．0B．8C．4±2D．0或8
5．如图是同一时刻学校里一棵树和旗杆的影子，如果树高为3米，测得它的影子长为1.2米，旗杆的高度为5米，则它的影子长为（ ）
A．4米B．2米C．1.8米D．3.6米
6．如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，则FC的长为（ ）
A．10cmB．20cmC．5cmD．6cm
7．如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P（1，2）在反比例函数y=的图象上，过P作x轴的垂线，垂足为M，则△OPM的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．1
9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为（ ）
A．40mB．60mC．120mD．180m
10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F．若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．

二．填空题
11．方程（x﹣2）2=9的解是 ．
12．反比例函数y=经过点（﹣2，1），则一次函数y=x+k的图象经过点（﹣1， ）．
13．两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是 ．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，则∠AOB的度数为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB到点M，使BM=1，连接AM，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON，则ON的长为 ．

三．解答题
17．解一元二次方程：x2﹣x﹣6=0．
18．直线y=x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，2），写出这两个函数的表达式．
19．如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF，求证：DE=DF．

四．解答题
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x、y轴交于点A（1，0），B（0，﹣1）与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C，点C的纵坐标为1．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
21．某班从3名男生和2名女生中随机抽出2人参加演讲比赛，求所抽取的两名学生中至少有一名女生的概率．
22．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．

五．解答题
23．某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
24．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，F为AE的中点，过点F作GH⊥AE，分别交AB和CD于G、H，求GF的长，并求的值．
25．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．

2017-2018学年广东省揭阳市揭西县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题
1．点P（﹣2，b）是反比例函数y=的图象上的一点，则b=（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接将点P（﹣2，b）代入y=即可求出b的值．
【解答】解：∵点P（﹣2，b）是反比例函数y=的图象上的一点，
∴﹣2b=2，
解得：b=﹣1，
故选B．
【点评】题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．

2．用因式分解法解一元二次方程x（x﹣3）=x﹣3时，原方程可化为（ ）
A．（x﹣1）（x﹣3）=0B．（x+1）（x﹣3）=0C．x （x﹣3）=0D．（x﹣2）（x﹣3）=0
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先移项，再分解因式，即可得出选项．
【解答】解：x（x﹣3）=x﹣3，
x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，
（x﹣3（x﹣1）=0，
故选A．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确分解因式是解此题的关键．

3．准备两组相同的牌，每组两张且大小相同，两张牌的牌面数字分别是0，1，从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为1的概率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意列出表格，得到所有的可能情况，找到两张牌的牌面数字和为1的情况个数，即可求出所求的概率．
【解答】解：根据题意列得：
10
121
010
所有的情况有4种，其中两张牌的牌面数字和为1的有2种，
所以两张牌的牌面数字和为1的概率==，
故选C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

4．关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．0B．8C．4±2D．0或8
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，由程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则有△=0，得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（m﹣2）2﹣4×1×（m+1）=0，
整理，得m2﹣8m=0，
解得m1=0，m2=8．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

5．如图是同一时刻学校里一棵树和旗杆的影子，如果树高为3米，测得它的影子长为1.2米，旗杆的高度为5米，则它的影子长为（ ）
A．4米B．2米C．1.8米D．3.6米
【考点】相似三角形的应用；平行投影．
【分析】设旗杆的影长为x米，根据在同一时刻物高与影长成正比例得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：设旗杆的影长为x米，
根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同得：，
解得：x=2．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是了解在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同．

6．如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=1：2，BC=30cm，则FC的长为（ ）
A．10cmB．20cmC．5cmD．6cm
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】先由DE∥BC，EF∥AB得出四边形BDEF是平行四边形，那么BF=DE．再由AD：DB=1：2，得出AD：AB=1：3．由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出DE：BC=AD：AB=1：3，将BC=30cm代入求出DE的长，即可得FC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE．
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3．
∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3，即DE：30=1：3，
∴DE=10，
∴BF=10．
故FC的长为20cm．
故选B
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，比例的性质，难度不大，得出BF=DE，从而利用转化思想是解题的关键．

7．如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】压轴题．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．
故选C．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

8．已知点P（1，2）在反比例函数y=的图象上，过P作x轴的垂线，垂足为M，则△OPM的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．1
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】先根据待定系数法求得k的值，然后根据反比例函数k的几何意义即可得出：S△OPM=k=1．
【解答】解：∵点P（1，2）在反比例函数y=的图象上，
∴k=1×2=2，
根据反比例函数k的几何意义可得：S△OPM=k=1．
故选D．
【点评】此题考查了反比例函数的几何意义，属于基础题，关键是掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．

9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为（ ）
A．40mB．60mC．120mD．180m
【考点】相似三角形的应用．
【专题】计算题．
【分析】先证明△PQR∽△PSR，利用相似比得到=，然后根据比例的性质求PQ．
【解答】解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，
∴RQ∥TS，
∴△PQR∽△PSR，
∴=，即=，
∴PQ=120（m）．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．

10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F．若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
【考点】菱形的性质．
【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
【解答】解：在菱形ABCD中，OC=AC，AC⊥BD，
∴DE=OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=AC=2，OA=AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD===，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE===；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．

二．填空题
11．方程（x﹣2）2=9的解是 5或﹣1 ．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【专题】计算题．
【分析】观察方程后发现，左边是一个完全平方式，右边是3的平方，即x﹣2=±3，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：开方得x﹣2=±3即：
当x﹣2=3时，x1=5；
当x﹣2=﹣3时，x2=﹣1．
故答案为：5或﹣1．
【点评】本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．

12．反比例函数y=经过点（﹣2，1），则一次函数y=x+k的图象经过点（﹣1， ﹣3 ）．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先把点（﹣2，1）代入反比例函数y=求出k的值，进而得出一次函数的解析式，把x=﹣1代入求出y的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y=经过点（﹣2，1），
∴1=，解得k=﹣2，
∴一次函数y=x+k的解析式为y=x﹣2，
∴当x=﹣1时，y=﹣1﹣2=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

13．两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画出树状图分析，找出可能出现的情况，再计算即可．
【解答】解：画树形图如下：
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，两人手势相同有3种，两人手势相同的概率=，
故答案为：．
【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，则∠AOB的度数为 60° ．
【考点】矩形的性质．
【分析】由矩形的性质和已知条件证得△OAB是等边三角形，继而求得∠AOB的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵ED=3BE，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°；
故答案为：60°．
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．

15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为 6 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】先证明△AOE≌△COF，RT△BFO≌RT△BFC，再证明△OBC、△BEF是等边三角形即可就问题．
【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO=BC，
在RT△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6．
故答案为6．
【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质就问题，属于中考常考题型．

16．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB到点M，使BM=1，连接AM，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON，则ON的长为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】由条件可证得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得AM=，利用对应线段的比相等可求得AN和MN，进一步可得到，且∠CAM=∠NAO，可证得△AON∽△AMC，利用相似三角形的性质可求得ON．
【解答】解：∵AB=3，BM=1，
∴AM=，
∵∠ABM=90°，BN⊥AM，
∴△ABN∽△BNM∽△AMB，
∴AB2=AN×AM，BM2=MN×AM，
∴AN=，MN=，
∵AB=3，CD=3，
∴AC=，
∴AO=，
∵，，
∴，且∠CAM=∠NAO
∴△AON∽△AMC，
∴，
∴ON=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形相似的判定和性质，由相似得到线段的比相等再证明相似是本题的关键．

三．解答题
17．解一元二次方程：x2﹣x﹣6=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣x﹣6=0，
（x+2）（x﹣3）=0，
x+2=0，x﹣3=0，
x1=﹣2，x2=3．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

18．直线y=x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，2），写出这两个函数的表达式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据直线y=x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，2），将点A的横纵坐标分别代入两个函数解析式，可以求得k和b的值，从而可以写出两个函数的解析式，本题得以解决．
【解答】解：∵点A（1，2）在反比例函数y=的图象上，
∴，
解得k=2，
即反比例函数的解析式为：y=（x＞0），
又∵直线y=x+b过点A（1，2），
∴2=1+b，
解得b=1，
即一次函数的解析式为：y=x+1，
由上可得，反比例函数的解析式为y=（x＞0），一次函数的解析式为y=x+1．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

19．如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF，求证：DE=DF．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由正方形的性质得出AD=CD，∠EAD=∠BCD=∠FCD=90°，由SAS证明△ADE≌△CDF，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠EAD=∠BCD=90°，
∴∠FCD=90°，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF．
【点评】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的突破口．

四．解答题
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x、y轴交于点A（1，0），B（0，﹣1）与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C，点C的纵坐标为1．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】函数及其图象．
【分析】（1）根据一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x、y轴交于点A（1，0），B（0，﹣1），可以求得k、b的值，从而可以得到一次函数的解析式；
（2）根据一次函数y=x﹣1与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C，点C的纵坐标为1，可以求得点C的坐标，进而可以求得m的值，从而可以得到反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点A（1，0），B（0，﹣1）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴，
解得，
即一次函数的解析式为y=x﹣1；
（2）∵一次函数y=x﹣1与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C，点C的纵坐标为1，
∴将y=1代入y=x﹣1得，x=2，
∴点C的坐标为（2，1），
∴1=，
解得m=2，
即点C的坐标是（2，1），反比例函数的解析式是．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

21．某班从3名男生和2名女生中随机抽出2人参加演讲比赛，求所抽取的两名学生中至少有一名女生的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】设三名男生记为男1，男2，男3，2名女生记为女1，女2，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：设三名男生记为男1，男2，男3，2名女生记为女1，女2，则从这5名同学中随机抽取2名的所有情况为
所以从这5名同学中随机抽取2名，至少有一名女生的概率是==．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE=∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE=DE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD=FC，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形ODFC是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．

五．解答题
23．某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）=56，
解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为56m2得出等式是解题关键．

24．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，F为AE的中点，过点F作GH⊥AE，分别交AB和CD于G、H，求GF的长，并求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【分析】先在RT△ADE中求出AE，再利用△AFG∽△ABE得，即可求出FG，再利用△ADE≌△GMH证明AE=GH即可求出FH即可解决问题．
【解答】解：作GM⊥BC垂足为M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC=4，∠ADC=∠=90°，
在RtABE中，∵DE=DC=2，AD=4
∴AE==2，
∵AF=EF，
∴AF=，
∵∠FAG=∠DAE，∠AFG=∠ADE=90°
∴△AFG∽△ABE
∴，
∴，
∴GF=，
∵∠GDC=∠D=∠DCM=∠CMD=90°，
∴四边形GMCD是矩形，
∴GM=CD=AD，∠MGD=90°，
∴∠HGM+∠AGF=90°，∠AGF+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠GHM，
在△ADE和△GMH中，
，
∴△ADE≌△GMH，
∴HG=AE=2，FH=GH﹣FG=，
∴=．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．

25．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）由菱形的性质得到判定△APD≌△CPD的条件；
（2）由△APD≌△CPD判断出△APE∽△FPA；
（3）由△APE∽△FPA得到，再等量代换即可．
【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠DAP=∠CDP
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD；
（2）证明：由（1）△APD≌△CPD，
得：∠PAE=∠PCD，
又由DC∥FB得：∠PFA=∠PCD
∴∠PAE=∠PFA
又∵∠APE=∠AFP
∴△APE∽△FPA
（3）解：线段PC、PE、PF之间的关系是：PC2=PEPF，
∵△APE∽△FPA，
∴，
∴PA2=PEPF，
又∵PC=PA，
∴PC2=PEPF．
【点评】本题是相似图形的性质和判定，主要考查了全等三角形和相似三角形的性质和判定，解本题的关键是找到相似的三角形．