2021学年3. 圆周角教案设计

3　圆周角(第4课时)

教学目标

一、基本目标

1．理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能解决相关问题．

2．理解圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形的性质．

3．体会分类、归纳的数学思想方法，提高解决实际问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

圆周角的概念，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质．

【教学难点】

探究并论证圆周角定理及其推论．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P40～P44的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2．半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.

3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.

4．圆周角定理的推论1：90°的圆周角所对的弦是直径．

5．如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做圆内接多边形.

6．圆周角定理的推论2：圆内接四边形的对角互补.

7．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，则∠1＝∠4，∠2＝∠7，∠3＝∠6，∠5＝∠8，∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°.若BD是直径，则∠BAD＝∠BCD＝90°.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D＝110°，则∠CBE的度数是________.

【教师点拨】由圆内接四边形的性质可得，∠D＋∠CBA＝180°.由∠CBA＋∠CBE＝180°，可得∠D＝∠CBE＝110°.

【答案】110°

【例2】如图，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．求证：∠BAE＝∠CAD.

【互动探索】(引发学生思考)要证∠BAE＝∠CAD→由AD⊥BC，AE是直径，考虑在△ADC和△ABE中证明→利用圆周角定理的推论1及等角的余角相等进行证明．

【证明】连结BE.

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ABE＝90°，

∴∠BAE＋∠E＝90°.

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CAD＋∠C＝90°.

∵是∠E和∠C所对的弧，

∴∠E＝∠C(圆周角定理)．

∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，

∴∠BAE＝∠CAD.

【互动总结】(学生总结，老师点评)涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为50°，则它所对的圆周角的度数为(　C　)

A．25° B．50°

C．25°或155° D．50°或130°

2．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为70°.

3．如图，A、B、C为⊙O上的任意三点，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为130°.

4．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.

∵∠ACD＝25°，∴∠B＝∠ACD＝25°，

∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.

5．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．

解：连结OC.

∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，

∴∠AOC＝∠DAC，∴CO＝AC.

又∵OA＝OC，∴AO＝AC＝OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴AC＝AO＝AD＝3 cm.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点(在直径AB的同一侧)，且＝，弦AC、BD相交于点P，如果∠APB＝110°，求∠ABD的度数．

【互动探索】连结CD、CB，首先求出∠CBD的度数，进而求出∠CAB的度数，最后求出∠ABD的度数．

【解答】如图，连结CD、CB.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

∵∠APB＝∠DPC＝110°，

∴∠CBD＝∠DPC－∠ACB＝20°.

∵＝，

∴BC＝CD，

∴∠CBD＝∠CDB＝20°，

∴∠CAB＝∠CDB＝20°，

∴∠ABD＝180°－∠APB－∠CAB＝50°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是正确作出辅助线，求出∠CBD的度数．

【例4】如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，＝.请连结线段CB，求四边形ABCD各内角的度数．

【互动探索】利用圆周角定理的推论2求出∠D的度数，再根据等弧与所对的圆周角相等求出∠DAC、∠DCA的度数，从而求出其他角的度数．

【解答】如图，连结BC.

∵AB是半圆的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵∠BAC＝20°，

∴∠B＝90°－∠BAC＝70°.

∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，

∴∠D＝180°－∠B＝110°.

∵＝.

∴∠DAC＝∠DCA＝(180°－∠D)＝35°，

∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝55°，

∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝125°.

即四边形ABCD各内角的度数为55°，70°，125°，110°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题综合运用了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质．解题时，要仔细审题，明确已知条件和所求问题，一步一步进行推导和计算，做到有理有据．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．

2．推论1：90°的圆周角所对的弦是直径．

3．推论2：圆内接四边形的对角互补．

练习设计

请完成本课时对应训练！