(通用版)中考数学二轮专题复习《代数几何综合问题》专项练习(含答案)

这是一份(通用版)中考数学二轮专题复习《代数几何综合问题》专项练习(含答案)，共10页。
1. 如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点B（0，4）。
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，连接BC、AC。求证：△ABC是等腰直角三角形；
⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由。
2. 二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的一部分如图所示。已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。
（1）试求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所满足的关系式；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的 SKIPIF 1 < 0 倍时，求a的值；
（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形。若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由。
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°， SKIPIF 1 < 0 ，EF⊥OD，垂足为F。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值。
代数几何综合问题(2)专项练习
1. 如图，已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点A，O为坐标原点，P是二次函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的一个动点，点P的横坐标是m，且m＞3，过点P作PM垂直x轴，PM交直线AB于点M。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切，求此时点M的坐标；
（3）在点P的运动过程中，△APM能否为等腰三角形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说出理由。
2. 如图，已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M。
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由。
3. 将抛物线c1：y= SKIPIF 1 < 0 沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示。
（1）请直接写出抛物线c2的表达式.
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E。
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由。
代数几何综合问题（1）专项练习
参考答案
1. （1）解：由题意知：16a+6=4
解得：a= SKIPIF 1 < 0
故抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 。
⑵证明：由抛物线的解析式知：顶点D坐标为（－4，6）
∵点C的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上，∴C点坐标为（－4，－4）
设直线BD解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，有： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴直线BD解析式为 SKIPIF 1 < 0
∴直线BD与x轴的交点A的坐标为（8，0）
过点C作CE⊥ SKIPIF 1 < 0 轴于点E，则CE=4，BE=8
又∵OB=4，OA=8，
∴CE=OB，BE=OA，∠CEB=∠BOA=90°
∴△CEB≌△BOA（SAS）
∴CB=AB，∠CBE=∠BAO
∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE+∠ABO=90° 即∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形。
⑶存在。①当∠CA′B′=90°时，如图2，∵A′B′∥AB，∴∠OA′B′=∠BAO
易证：∠ECA′=∠OA′B′，∴∠ECA′=∠BAO，∵tan∠BAO= SKIPIF 1 < 0 ，∴tan∠ECA′= SKIPIF 1 < 0
∴EA′=2，∴A′坐标为（－2，0），∴直线l解析式为 SKIPIF 1 < 0 。
②当∠A′CB′=90°时，如图3，过点C作CE⊥ SKIPIF 1 < 0 轴于点E，
易证△A′FC≌△B′EC，∴A′F=B′E，∴由①可知tan∠B′A′O= SKIPIF 1 < 0
∴设B′坐标为（0，n），∴有 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
B′坐标为（0， SKIPIF 1 < 0 ），∴直线l解析式为 SKIPIF 1 < 0
2. （1）将A（1，0），B（0，l）代入得：
，可得：
（2）由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，顶点M的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由同底可知： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
由图象可知：a＜0，因为抛物线过点（0，1），
顶点M在第二象限，其对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 舍去，从而 SKIPIF 1 < 0 。
（3）①由图可知，A不可能为直角顶点；
②若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；
③若设B为直角顶点，则可知 SKIPIF 1 < 0 ，
令y=0，可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
得： SKIPIF 1 < 0 。 则 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意。所以不存在。
综上所述，不存在。
3. 解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得，
∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；
（2） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO
∴。
∵，
∴= ，∴EF= SKIPIF 1 < 0 t。
同理，
∴DF=2，∴OF=t﹣2。
（3）∵抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴C（0，8），OC=8。
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则四边形EFOM是矩形，
∴EF=OM。
∴在Rt△AEM中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当∠CEA=90°时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得：t=4
当∠ECA=90°时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：t=8，即点D与点C重合。
综上所述，t的值是4或8。
代数几何综合问题(2)专项练习
参考答案
1. 解：（1）将点B（3，0）代入y=x2+bx+3得：0=9+3b+3，解得b=-4，
∴二次函数的解析式为y=x2-4x+3；
（2）令x=0，则y=3，∴A点坐标为A（0，3），
直线AB的解析式为y=-x+3，
C为⊙C的圆心，CA=CB= SKIPIF 1 < 0
∴D点坐标为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 代入y=-x+3得 SKIPIF 1 < 0
∴点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0
（3）若△APM为等腰三角形，进行分类讨论：
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
①当PA=PM时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得m=4， SKIPIF 1 < 0 ，则P点坐标为 SKIPIF 1 < 0
②当PA=AM时， SKIPIF 1 < 0 ，解得m=3，或m=5，
当m=3时，m2-4m+3=0，由题意可知m＞3，故m=3不合题意；
当m=5时， SKIPIF 1 < 0 ，故点P坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
③当PA=AM时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知m＞3，故 SKIPIF 1 < 0 舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故点P坐标为 SKIPIF 1 < 0 。
综上所述： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
2. 解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；[来源:学。科。网Z。X。X。K]
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（3）设N点坐标为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
①当CM=NC时，此时 SKIPIF 1 < 0
②当CM=MN时，此时 SKIPIF 1 < 0
③当CN=MN时，此时 SKIPIF 1 < 0 。
综上所述： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
3. （1） SKIPIF 1 < 0 。
（2）①令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
同理可得： SKIPIF 1 < 0 。
当 SKIPIF 1 < 0 时，[来源:学|科|网Z|X|X|K]
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴m=2。
故当B，D是线段AE的三等分点时， SKIPIF 1 < 0 或2。
②存在。
连接AN，NE，EM，MA。依题意可得： SKIPIF 1 < 0 。
即M，N关于原点O对称，∴OM=ON。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE
∴四边形ANEM为平行四边形。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴m=1，
此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°。
∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形。