专题复习10 一元一次方程与实际问题（2）-2021-2022学年七年级数学上册课堂知识清单+例题讲解+练习（人教版）

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知识点一：列一元一次方程解实际应用题的基本步骤：
第一步：审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
第二步：设未知数——根据题目的等量关系直接或间接设未知数。
第三步：列方程——根据未知数以及等量关系列出一元一次方程。
第四步：解方程——根据解方程的步骤解方程。
第五步：检验作答
例题讲解：
类型一：商品销售问题：
基本等量关系：
利润＝售价－进价；
售价＝标价×折扣＝原价×（1＋涨价率）或原价×（1－降价率）；
利润率＝利润÷进价×100%。
1．某天，信美超市用360元钱按批发价从水果批发市场购买了苹果和香蕉共200kg，然后按零售价出售，苹果和香蕉当天的批发价和零售价如下表所示：
（1）这一天该超市购买苹果和香蕉各多少kg？
（2）如果苹果和香蕉全部以零售价售出，该超市当天卖这些苹果和香蕉共赚了多少钱？
【分析】（1）设这一天该超市购买苹果xkg，则购买香蕉（200﹣x）kg，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出这一天该超市购买苹果的数量，再将其代入（200﹣x）中即可求出这一天该超市购买香蕉的数量；
（2）利用总利润＝每千克苹果的销售利润×购进苹果的数量+每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量，即可求出该超市当天卖这些苹果和香蕉共赚的钱数．
【解答】解：（1）设这一天该超市购买苹果xkg，则购买香蕉（200﹣x）kg，
依题意得：2x+1.5（200﹣x）＝360，
解得：x＝120，
∴200﹣x＝200﹣120＝80．
答：这一天该超市购买苹果120kg，香蕉80kg．
（2）（2.4﹣2）×120+（1.8﹣1.5）×80
＝0.4×120+0.3×80
＝48+24
＝72（元）．
答：该超市当天卖这些苹果和香蕉共赚了72元钱．
2．某超市第一次用5000元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品140件，乙种商品180件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵10元．甲种商品售价为15元/件，乙种商品售价为35元/件．（注：利润＝售价﹣进价）
（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？
【分析】（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件（x+10）元，根据总进价为5000元列出方程并求解即可．
（2）根据利润等于商品件数乘以每件的利润、总利润等于甲种商品的利润加上乙种商品的利润，列式计算即可．
【解答】解：（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件（x+10）元，
由题意得140x+180（x+10）＝5000．
解得x＝10，
则x+10＝10+10＝20．
答：该超市第一次购进甲种商品每件10元，乙种商品每件20元；
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润为：
140×（15﹣10）+180×（35﹣20）＝3400（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得3400元的利润．
类型二：比赛积分问题：
基本等量关系：
胜场＋平场＋败场＝总场
胜场积分＋平场积分＋败场积分＝总积分
1．一次足球赛11轮（即每队均需赛11场），胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，北京国安队所负场数是所胜场数的，结果共得14分，求国安队共平了多少场？
【分析】设国安队所胜场数为x场，则负场数为x场，平场数为（11﹣x﹣x）场，由题意：胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，结果共得14分，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设国安队所胜场数为x场，则负场数为x场，平场数为（11﹣x﹣x）场，
依题意得：2x+x×0+（11﹣x﹣x）×1＝14，
解得：x＝6，
则11﹣x﹣x＝11﹣6﹣×6＝2，
答：国安队共平了2场．
2．学校篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：
（1）分别求出负一场的积分和胜一场的积分；
（2）在这次比赛中，一个队的胜场总积分能否等于负场总积分？请说明理由．
【分析】（1）仔细观察表格中的数据发现规律，可得负一场积分，胜一场的积分，列出算式计算即可求解；
（2）根据题意，由一个队的胜场总积分＝负场总积分，列出一元一次方程求解即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，
负一场积分为：16÷16＝1（分），
胜一场的积分为：（28﹣4×1）÷12＝2（分），
故负一场的积分为1分，胜一场的积分为2分；
（2）设胜x场，则负（16﹣x）场，由题意可得：
2x＝16﹣x，
解得x＝．
∵场数必须是整数，
∴x＝不符合题意．
故在这次比赛中，一个队的胜场总积分不能等于负场总积分．
类型三：数字问题：
1．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方﹣﹣九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等．
（1）请求出中间行三个数字的和；
（2）九宫图中m，n的值分别是多少？
【分析】（1）列式（﹣7）+1+9，计算即可；
（2）根据（1）的计算结果列出关于m、n的方程可得结果．
【解答】解：（1）（﹣7）+1+9＝3．
答：中间行三个数字的和是3．
（2）由（1）得：﹣5+9﹣m＝3，
解得m＝﹣1；
n+1+m＝3，即n+1﹣1＝3，
解得n＝3．
答：m＝﹣1，n＝3．
2．在2021年元月份的日历上，用如图的阴影方框任意框出4数，若设阴影方框右下角的数为a．
（1）用含a的式子表示框出的4个数的和；
（2）若框出的4个数之和为68，求a；
（3）框出的4个数之和可能是39吗？为什么？
【分析】（1）求出阴影方框中4个数的和即可得出结论；
（2）由（1）结合4个数的和为68即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值，对照图形即可得出可以；
（3）由（1）结合4个数的和为39即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值，对照图形即可得出不可以．
【解答】解：（1）框出的4个数的和为a+a﹣1+a﹣8+a﹣15＝4a﹣24；
（2）依题意有4a﹣24＝68，
解得a＝23；
（3）依题意有4a﹣24＝39，
解得a＝15，
∵图中不存在以数字15，
∴不可能．
类型四：方案选择问题：
1．为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：
①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．
哪一种方案的施工费用最少？
【分析】（1）设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成（x+200）平方米的绿化改造面积，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用施工费用＝每天的施工费用×施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用，再比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成（x+200）平方米的绿化改造面积，
依题意得：x+200+x＝800，
解得：x＝300，
∴x+200＝300+200＝500．
答：甲工程队每天能完成500平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积．
（2）选择方案①所需施工费用为600×＝14400（元）；
选择方案②所需施工费用为400×＝16000（元）；
选择方案③所需施工费用为（600+400）×＝15000（元）．
∵14400＜15000＜16000，
∴选择方案①的施工费用最少．
2．元旦期间，家乐福超市搞促销活动，规定：购物不超过100元不给优惠；购物超过100元但不超过500元的，全部打9折；购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．
（1）张老师第1次购得商品的总价（标价和）为300元，按活动规定实际付款多少元？
（2）张老师第2次购物，按活动规定实际付款490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？
（3）若张老师将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？通过计算说出你的理由．
【分析】（1）根据题意，可以计算出按活动规定实际付款多少元；
（2）设张老师消费x元，然后根据题意，即可列出相应的方程，从而可以求得张老师的消费情况，然后再减去实际付款，即可得到可节约多少钱；
（3）根据题意，可以计算出合为依次购物的实际付款情况，然后再与分两次购物的付款相比，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
300×0.9＝270（元），
答：按活动规定实际付款270元；
（2）设张老师第二次购物消费为x元，
500×0.9+（x﹣500）×0.8＝490，
解得x＝550，
∴第二次购物节约了：550﹣490＝60（元），
答：与没有促销相比，第2次购物节约了60元；
（3）张老师将这两次购得的商品合为一次购买，更省钱；
理由：张老师将这两次购得的商品合为一次购买实际付款为：500×0.9+（300+550﹣500）×0.8＝730（元），
张老师分两次购买实际付款为：270+490＝760（元），
∵730＜760，
∴张老师将这两次购得的商品合为一次购买，更省钱．
类型五：阶段收费问题：
1．某县2021以来受持续干旱影响，河道来水偏少，已严重影响生产和生活用水，自来水厂推行阶梯水价，引导人们节约用水，调整后的用水价格如下表：
（1）小明家5月份的用水量为23吨，小明家5月份的水费是多少？
（2）小明家1月份水费的均价为1.75元/吨，求小明家1月份的用水量？
（3）小明家3、4两个月的总用水量为56吨（4月份用水较少），3、4两个月的水费合计93元，请问小明家3、4月份的用水量分别是多少？
【分析】（1）利用表格中数据直接求出小明家5月份用水量为23吨应需缴纳的水费即可；
（2）利用表格中数据得出小明家1月份使用水量超过30吨，进而求出即可；
（3）设4月份用水量是y（0＜y＜28）吨，分类讨论再根据各段的缴费列代数式，根据等量关系：共交水费93元，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）20×1.5+3×2＝36（元）．
答：小明家5月份的水费是36元．
（2）设小明家1月份的用水量为x吨，
用水量为30吨时的均价为（元）．
∵，
∴x＞30，
∴20×1.5+10×2+（x﹣30）×3＝1.75x．
解方程，得x＝32．
答：小明家1月份的用水量为32吨．
（3）设小明家4月份的用水量为y（0＜y＜28）吨，
依题意则其3月份的用水量为（56﹣y）吨．
①当0＜y≤20时，则56﹣y＞301.5y+[20×1.5+10×2+（56﹣y﹣30）×3]＝93．
化简得 1.5y＝35，
解得，
这与0＜y≤20矛盾．
②当20＜y＜28时，则28＜56﹣y＜56．
a．当28＜56﹣y≤30时，[20×1.5+（y﹣20）×2]+[20×1.5+（56﹣y﹣20）×2]＝93，
化简得：（2y﹣10）+（102﹣2y）＝93．
该方程无解；
b．当30＜56﹣y＜56时，[20×1.5+（y﹣20）×2]+[20×1.5+10×2+（56﹣y﹣30）×3]＝93，
化简得：（2y﹣10）+（128﹣3y）＝93．
解得y＝25．
y＝25同时满足20＜y＜28和30＜56﹣y＜56．
所以56﹣y＝56﹣25＝31．
综上所述，小明家3、4月份的用水量分别为31吨和25吨．
2．某商场销售A，B两种型号的空调；A型空调的售价为每台2000元，B型空调的售价为每台3000元，某月该商场共销售这两种空调52台，销售额为126000元．为提高销售人员的积极性，商场制定如下工资分配方案：每位销售人员的工资总额＝基本工资+奖励工资，每位销售人员的月销售定额20000元，在销售定额内，得基本工资5000元，超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如下表：
（1）该月A，B型号空调各销售多少台？
（2）销售员甲本月领到的工资总额为5980元，请问销售员甲本月的销售额为多少元？
【分析】（1）设A型空调销售x台，则B型空调销售（52﹣x）台，根据单价×数量＝销售额列出方程即可；
（2）先判断销售额的范围，再设出销售额根据基本工资+奖励工资＝实发工资的等量关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）设A型空调销售x台，则B型空调销售（52﹣x）台，
根据题意列方程得2000x+3000（52﹣x）＝126000，
解得x＝30，
52﹣30＝22（台），
答：A型空调销售30台，B型空调销售22台；
（2）销售额3万时，可得工资：5000+（30000﹣20000）×5%＝5500（元），
销售额4万时，可得工资：5000+（30000﹣20000）×5%+（40000﹣30000）×8%＝6300（元），
∵5500＜5980＜6300，
∴销售额超过3万元但不超过4万元，
设销售总额y元，则5000+（30000﹣20000）×5%+（y﹣30000）×8%＝5980，
解得y＝36000，
答：销售员甲本月销售总额为36000元．
类型六：数轴上点的移动问题：
1．已知数轴上点A表示的数为12，点B表示的数为﹣8．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）当点P与点Q关于原点O对称时，求t的值；
（2）是否存在t的值，使得点P与点Q之间的距离为3个单位长度？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】当运动时间为t秒时，点P表示的数为12﹣5t，点Q表示的数为﹣8﹣3t．
（1）由点P与点Q关于原点O对称，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用数轴上两点间的距离公式，结合PQ＝3，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为12﹣5t，点Q表示的数为﹣8﹣3t．
（1）依题意得：12﹣5t+（﹣8﹣3t）＝0，
解得：t＝．
答：当点P与点Q关于原点O对称时，t的值为．
（2）依题意得：|12﹣5t﹣（﹣8﹣3t）|＝3，
即20﹣2t＝3或20﹣2t＝﹣3，
解得：t＝或t＝．
答：存在t值，当t＝或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度．
55．如图，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，点A与点B之间的距离记作AB．已知a＝﹣2，b比a大12．
（1）点B表示的数是 10 ；
（2）设点P在数轴上对应的数为x，当PA﹣PB＝4时，求x的值；
（3）若点M以每秒1个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点B出发沿数轴向左运动．设运动时间是t秒．
①在运动过程中，点M对应的数为 ﹣2+t ，点N对应的数为 10﹣2t （用含t的代数式表示）；
②当点M与点N之间的距离是9时，直接写出t的值．
【分析】（1）根据已知条件列出算式﹣2+12计算即可求解；
（2）根据等量关系得到方程[x﹣（﹣2）]﹣（10﹣x）＝4，解方程即可求解；
（3）根据左减右加可得列式计算即可求解，分两种情况：①相遇前；②相遇后；列出方程求解即可．
【解答】解：（1）﹣2+12＝10．
故答案为：10；
（2）依题意有[x﹣（﹣2）]﹣（10﹣x）＝4，
解得x＝6．
（3）①M点到达的位置表示的数为﹣2+t，N点到达的位置表示的数为10﹣2t；
故答案为：﹣2+t，10﹣2t；
②相遇前：（10﹣2t）﹣（﹣2+t）＝9，
解得t＝1；
相遇后：（﹣2+t）﹣（10﹣2t）＝9，
解得t＝7．
综上，当t值为1或7秒时M与N之间的距离是9．
课后练习：
一．解答题（共15小题）
1．某商家在“618购物节”活动中将某种服装按成本价加价40%作为标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，这件服装的实际售价是多少元？
【分析】设衣服的成本价为x元，根据售价﹣成本价＝利润列出方程求解即可．
【解答】解：设这件服装的成本价为x元，
根据题意列方程得：x（1+40%）×80%﹣x＝15，
解得x＝125，
经检验x＝125是方程的解，
∴实际售价为：125×（1+40%）×80%＝140（元），
答：这件服装的实际售价是140元．
2．有两种消费券：A券，满60减20元；B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，求所购商品的标价为多少元？
【分析】设所购商品的标价为x元，根据标价﹣消费券＝实际付款分情况列出方程解方程即可．
【解答】解：设所购商品的标价为x元，
①两人都可以用券时，即x＞90时，
根据题意列方程得：（x﹣30）+（x﹣20）＝150，
解得x＝100，
②只能用B券时，即60＜x＜90时，
根据题意列方程得：x+（x﹣20）＝150，
解得x＝85，
答：所购商品的标价为100元或85元．
3．一个两位数的十位数字和个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数．求这个两位数．
【分析】先设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x，7﹣x，根据题意列出方程，求出这个两位数．
【解答】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为7﹣x，
由题意列方程得，10x+7﹣x+45＝10（7﹣x）+x，
解得x＝1，
∴7﹣x＝7﹣1＝6，
∴这个两位数为16．
4．农历六月六日水龙节是土家族等少数民族重要的民俗文化活动之一，在今年水龙节即将到来之前，德江县城一商店用1200元购进甲、乙两种型号的儿童玩具水枪共100支，两种儿意玩具水枪的进价和售价如下表．
（1）求购进甲、乙两种儿童玩具水枪各为多少支？
（2）若全部售完这100支儿童玩具水枪，该商场获利润多少元？
【分析】（1）设购进甲种儿童玩具水枪x支，则购进乙种儿童玩具水枪（100﹣x）支，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出购进甲种儿童玩具水枪的数量，再将其代入（100﹣x）中即可求出乙种儿童玩具水枪的数量；
（2）利用总利润＝每支的利润×销售数量（购进数量），即可求出全部售出后获得的利润．
【解答】解：（1）设购进甲种儿童玩具水枪x支，则购进乙种儿童玩具水枪（100﹣x）支，
依题意得：10x+20（100﹣x）＝1200，
解得：x＝80，
∴100﹣x＝100﹣80＝20．
答：购进甲种儿童玩具水枪80支，乙种儿童玩具水枪20支．
（2）（20﹣10）×80+（35﹣20）×20
＝10×80+15×20
＝800+300
＝1100（元）．
答：全部售完这100支儿童玩具水枪，该商场获利润1100元．
5．已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝28，动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，当P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度，求t的值；
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当P、Q之间的距离小于8个单位长度，求t的取值范围．
【分析】（1）先求出点B表示的数为﹣20，由“P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度”列出方程可求解；
（2）由“P、Q之间的距离小于8个单位长度”列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝28，
∴点B表示的数为﹣20，
由题意可得：|8﹣3t﹣（﹣20+2t）|＝8，
解得：t＝4或，
∴t的值为4或；
（2）由题意可得：|8﹣3t﹣（﹣20﹣2t）|＜8，
解得：20＜t＜36，
∴t的取值范围为20＜t＜36．
6．某店以一共500元进价购得甲、乙两件商品，然后将甲、乙两件商品分别按50%和40%的利润标定出售价．
（1）如果按上述进价和售价进行交易，那么该店买卖这两件商品能否盈利260元？为什么？
（2）如果该店按原定售价八折促销，某顾客同时购买了甲、乙两种商品，实际付款584元，那么甲、乙两商品原进价各多少元？
【分析】（1）利用获得的总利润＝两件商品的进价之和×50%，可求出两件商品均按50%的利润销售可获得的利润，由该值小于260即可得出结论；
（2）设甲商品的原进价为x元，则乙商品的原进价为（500﹣x）元，根据某顾客按八折购买共付款584元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）500×50%＝250（元），250＜260，
∴该店买卖这两件商品不可能盈利260元．
（2）设甲商品的原进价为x元，则乙商品的原进价为（500﹣x）元，
依题意得：80%×[（1+50%）x+（1+40%）（500﹣x）]＝584，
解得：x＝300，∴500﹣x＝200．
答：甲商品的原进价为300元，乙商品的原进价为200元．
7．4月30日，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元．
（1）求水蜜桃的进价是每千克多少元？
（2）5月1日，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，第一天仍以每千克16元的价格出售，售出了8a千克，且售出量已超过进货量的一半．由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格降低了a%，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2660元，求a的值．
【分析】（1）根据题意和当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元，可以列出相应的方程，从而可以求得水蜜桃的进价是每千克多少元；
（2）根据题意和结果这批水蜜桃的利润为2660元，可以列出关于a的方程，再根据第一天仍以每千克16元的价格出售，售出了8a千克，且售出量已超过进货量的一半．即可求得a的值．
【解答】解：（1）设水蜜桃的进价是每千克x元，则苹果的进价是每千克1.2x元，
（16﹣x）×100+（20﹣1.2x）×50＝1800，
解得x＝5，
答：水蜜桃的进价是每千克5元；
（2）由题意可得，
16×8a+（300﹣8a﹣20）×16×（1﹣a%）﹣300×5＝2660且8a＞×300，
解得a＝25，
答：a的值是25．
8．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因为x＝y，所以1423是“和平数”．
（1）直接写出最小的“和平数”是 1001 ，最大的“和平数”是 9999 ；
（2）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是12，请求出所有的这种“和平数”．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）设这个“和平数”为，于是得到d＝2a，a+b＝c+d，b+c＝12，求得2c+a＝12，即a＝2、4，6，8，d＝4、8、12（舍去）、16（舍去），①、当a＝2，d＝4时，2（c+1）＝12，得到c＝5则b＝7，②、当a＝4，d＝8时，得到c＝4则b＝8，于是得到结论；
【解答】解：（1）由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为：1001，9999；
（2）设这个“和平数”为，
则d＝2a，a+b＝c+d，b+c＝12，
∴2c+a＝12，
即a＝2、4，6，8，d＝4、8、12（舍去）、16（舍去），
①、当a＝2，d＝4时，2（c+1）＝12，
可知c+1＝6k且a+b＝c+d，
∴c＝5则b＝7，
②、当a＝4，d＝8时，
2（c+2）＝12，
可知c+2＝6k且a+b＝c+d，
∴c＝4则b＝8，
综上所述，这个数为2754和4848．
9．某电视台组织竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．
（1）直接写出答错一题得分数 ．
（2）参赛者F说他得80分，你认为可能吗？请说明理由．
【分析】（1）根据表格中A参赛者的分数，可以得到答对一道的得分，再根据B参赛者的分数，可以计算出答错一道的得分；
（2）先判断，然后根据题意列出方程，求出x的值，再根据x为整数，即可解答本题．
【解答】解：（1）由A参赛者可知，答对一道得100÷20＝5（分），
由B参赛者可知，打错一道的得分为：94﹣19×5＝﹣1（分），
故答案为：﹣1分；
（2）参赛者F说他得80分，不可能．
理由：设参赛者F答对了x道，则答错了（20﹣x）道，
5x+（20﹣x）×（﹣1）＝80，
解得x＝16，
∵x为整数，
∴参赛者F说他得80分，不可能．
10．我校七（2）班准备外出活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲、乙两种车的租用方案：甲车每天租金为180元，另按实际行程每千米加收2元；乙车每天租金为140元，另按实际行程每千米加收2.5元．
（1）当行程为多少千米时，两种方案的费用相同？
（2）若实际路程为100千米，为了节省费用，你认为租用哪辆车合算？
【分析】（1）可设当行程为x千米时，两种方案的费用相同，根据等量关系列出方程计算即可求解；
（2）分别求出两种租用方案需要的钱数，比较大小即可求解．
【解答】解：（1）设当行程为x千米时，两种方案的费用相同，依题意有
180+2x＝140+2.5x，
解得：x＝80．
故当行程为80千米时，两种方案的费用相同；
（2）∵实际路程为100千米，
∴甲车的费用为180+2×100＝380（元），
乙车的费用为140+2.5×100＝390（元）．
故实际路程为100千米，为了节省费用，租用甲车合算．
11．入冬以来，某家电商场以150元/台的价格购进一款电暖扇，很快售完，又以相同的货款再次购进这款电暖扇，因单价提高了30元，进货量比第一次少了10台．
（1）该商场两次各购进电暖扇多少台？
（2）若以250元/台的售价卖完这两批电暖扇，该商场共获利多少元？
【分析】（1）设第一次购进电暖扇x台，则第二次购进电暖扇（x﹣10）台，根据第二次进货单价比第一次进货单价提高了30元即可得出关于x的方程，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝销售第一批电暖扇的利润+销售第二批电暖扇的利润即可求出商场共获利多少元．
【解答】解：（1）设第一次购进电暖扇x台，则第二次购进电暖扇（x﹣10）台，
根据题意得：150x＝（150+30）（x﹣10），
解得：x＝60，
x﹣10＝60﹣10＝50．
答：商场第一次购进电暖扇60台，第二次购进50台；
（2）（250﹣150）×60+（250﹣180）×50
＝6000+3500
＝9500（元），
答：以250元/台的售价卖完这两批电暖扇，商场共获利9500元．
12．元旦期间，家乐福超市搞促销活动，规定：购物不超过100元不给优惠；购物超过100元但不超过500元的，全部打9折；购物超过500元的，其中500元部分打9折，超过500元部分打8折．
（1）张老师第1次购得商品的总价（标价和）为300元，按活动规定实际付款多少元？
（2）张老师第2次购物，按活动规定实际付款490元，与没有促销相比，第2次购物节约了多少钱？
（3）若张老师将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？通过计算说出你的理由．
【分析】（1）根据题意，可以计算出按活动规定实际付款多少元；
（2）设张老师消费x元，然后根据题意，即可列出相应的方程，从而可以求得张老师的消费情况，然后再减去实际付款，即可得到可节约多少钱；
（3）根据题意，可以计算出合为依次购物的实际付款情况，然后再与分两次购物的付款相比，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
300×0.9＝270（元），
答：按活动规定实际付款270元；
（2）设张老师第二次购物消费为x元，
500×0.9+（x﹣500）×0.8＝490，
解得x＝550，
∴第二次购物节约了：550﹣490＝60（元），
答：与没有促销相比，第2次购物节约了60元；
（3）张老师将这两次购得的商品合为一次购买，更省钱；
理由：张老师将这两次购得的商品合为一次购买实际付款为：500×0.9+（300+550﹣500）×0.8＝730（元），
张老师分两次购买实际付款为：270+490＝760（元），
∵730＜760，
∴张老师将这两次购得的商品合为一次购买，更省钱．
13．为参加学校庆“五•一”迎新春汇演活动，甲、乙两班准备大合唱，甲、乙两班共92人（甲班人数多于乙班人数，甲班人数不够90人），准备统一购买合唱服装（一人一套）演出，服装厂给出服装价格表如下：
如果两个班单独购买，一共需付5920元．
（1）如果甲、乙两个班联合购买服装，那么比各自购买服装共节省多少钱？
（2）甲、乙两个班各有多少学生参加演出？
（3）如果甲班有8名同学因节目顺序安排参加其他演出不能参加合唱，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱？
【分析】（1）若甲、乙两个班级联合起来购买服装，则每套是50元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱；
（2）设甲、乙两个班级各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲班每套服装是50元，乙班每套服装是60元．根据等量关系：①共92人；②两个班级分别单独购买服装，一共应付5000元，列方程组即可求解；
（3）此题中主要是应注意联合购买时，仍然达不到91人，因此可以考虑买91套，计算其价钱和联合购买的价钱进行比较．
【解答】解：（1）由题意，得：5920﹣92×50＝1320（元）．
答：甲、乙两个班联合购买服装，那么比各自购买服装共节省1320元；
（2）设甲、乙两班各有x名、（92﹣x）名学生准备参加演出．
由题意，得：60x+70（92﹣x）＝5920，
解得：x＝52，92﹣x＝40．
所以，甲班有52名、乙班有40名学生准备参加演出；
（3）∵甲班有8人不能参加演出，
∴甲班有52﹣8＝44（人）参加演出．
若甲、乙两班联合购买服装，则需要60×（44+40）＝5040（元），
各自购买服装需要（44+40）×70＝5880（元），
但如果甲、乙两班联合购买91套服装，只需50×91＝4550（元），
因此，最省钱的购买服装方案是甲、乙两班联合购买91套服装．
答：有三种购买方案，通过比较，甲、乙两班联合购买91套服装才能最省钱．
14．某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：
（1）根据上表，用水量每月不超过20m3，实际每立方米收水费 3 元；
如果10月份某用户用水量为15m3，那么该用户10月份应该缴纳水费 45 元；
（2）某用户11月份共缴纳水费72元，那么该用户11月份用水多少m3？
（3）若该用户水表12月份出了故障，有25%的水量没有计入水表中，这样该用户在12月份只缴纳了54元水费，问该用户12月份实际应该缴纳水费多少元？
【分析】（1）根据表中数据即可得出；
（2）先判断11月份是否超过20m3，再根据等量关系列出方程求解即可；
（3）先判断12月份是否超过20m3，再列方程求出实际用水量，最后算出水费即可．
【解答】解：（1）根据表中数据可知，
每月不超过20m3，实际每立方米收水费2.05+0.8+0.15＝3（元），
10月份某用户用水量为15m3，不超过20m3，
∴该用户10月份应该缴纳水费15×3＝45（元），
故答案为3，45；
（2）由（1）知实际每立方米收水费3元，
20×3＝60＜72，
∴11月份用水量超过了20m3，
设11月份用水量为xm3，根据题意列方程得，
20×3+（x﹣20）×（3.05+0.8+0.15）＝72，
解得x＝23，
答：该用户11月份用水23m3；
（3）由（1）知实际每立方米收水费3元，
20×3＝60＞54，
∴水表12月份出故障时收费按没有超过20m3计算，
设12月份实际用水量为xm3，根据题意列方程得，
x（1﹣25%）×3＝54，
解得x＝24，
20×3+（24﹣20）×（3.05+0.8+0.15）＝76（元），
答：该用户12月份实际应该缴纳水费76元．
15．已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是4，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的4倍．
（1）a＝ ﹣4 ，b＝ 16 ，AB＝ 20 ；
（2）动点M、N分别从点A、B的位置同时开始在数轴上做没有折返的运动，已知动点M的运动速度是1个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．
①若点M和点N相向而行，经过几秒点M与点N相遇？
②若点M和点N都向左运动，经过几秒点N追上点M？
③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒M、N相距6个单位长度？
【分析】（1）根据两点之间的距离公式解答即可．
（2）相遇问题，两者的路程和等于两点间的距离．追及问题，两者的路程差等于两点的距离．列等量关系，解得即可．
【解答】解：（1）已知AB两点对应的数分别为a，b，
∵A在原点的左侧，且距离为4，
∴a＝﹣4．
当B在原点的右侧，且到原点的距离是A到原点距离的4倍，
∴b＝|a|×4＝16，
∴AB＝|AO|+|OB|
＝4+16
＝20．
即a＝﹣4，b＝16，AB＝20．
故此答案为a＝﹣4，b＝16，AB＝20．
（2）①若M，N相向而行，设x秒相遇，
则1×x+3x＝20，
解得x＝5．
∴5秒M与N相遇．
答：5秒M与N相遇．
②当M，N都向左运动，
设x秒相遇，
则3×x＝20+x×1，
解得x＝10．
答：10秒点N追上点M．
③当M，N运动方向不限时，
设y秒M，N相距6个单位长度．
有两种情况，
当M，N相向运动，相遇前相距6个单位长度．
则y×1+y×3＝20﹣6，
解得y＝，
当M，N相向运动，相遇后相距6个单位长度．
则y×1+y×3＝20+6，
解得y＝，
当M，N都向左运动，N追上M前相距6个单位长度．
则3y+6﹣1×y＝20，
解得y＝7．
当M，N都向左运动，N追上M后相距6个单位长度．
则3y﹣1×y＝20+6解得y＝13，
综上所述，当M，N相向运动时、秒时，M，N相距6个单位．
当M，N均向左运动时，7、13秒时M，N相距6个单位．品名
苹果
香蕉
批发价（单位：元/kg）
2.0
1.5
零售价（单位：元/kg）
2.4
1.8
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
16
12
4
28
B
16
10
6
26
C
16
8
8
24
D
16
0
16
16
每月用水量（吨）
单价（元/吨）
不超过20的部分
1.5
超过20不超过30的部分
2
超过30的部分
3
销售额
奖励工资比例（%）
超过2万元至3万元的部分
5
超过3万元至4万元的部分
8
4万元以上的部分
10
型号
进价（元/支）
售价（元/支）
甲型
10
20
乙型
20
35
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
94
C
18
2
88
D
14
6
64
E
10
10
40
购买服装的套数
1套至45套
46套至90套
91套及以上
每套服装的价格
70元
60元
50元
用水量/月
单价（元/m3）
不超过20m3
2.05
超过20m3的部分
3.05
另：每立方米用水加收0.8元的城市污水处理费和0.15元的城市附加费