江苏省南通市海安高级中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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2018-2019学年江苏省南通市海安高中高一（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1.已知集合U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，则∁UM═______．

【答案】{3，4}

【解析】

【分析】

根据集合的补集定义进行计算即可．

【详解】∵U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，

∴∁UM={3，4}，

故答案为：{3，4}

【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题．

2.若函数f（x）=（m-3）xm为幂函数，则实数m的值为______．

【答案】4

【解析】

【分析】

根据幂函数的定义，写出实数m的值即可．

【详解】函数f（x）=（m-3）xm为幂函数，

∴m-3=1，m=4，

∴实数m的值为4．

故答案为：4．

【点睛】本题考查了幂函数的定义，属于基础题．

3.已知f（x）=，则f（-2）=______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式计算可得答案．

【详解】根据题意，f（x）=，

则.

故答案为：．

【点睛】本题考查函数值的计算，关键是掌握分段函数解析式的形式，属于基础题．

4.设函数f（x）满足f（x-1）=4x-4，则f（x）=______．

【答案】4x

【解析】

【分析】

变形f（x-1）得出f（x-1）=4（x-1），从而得出f（x）=4x．

【详解】由题意得，f（x-1）=4x-4=4（x-1），

∴f（x）=4x．

故答案为：4x．

【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，属于基础题。

5.设函数g（x）=ex+ae-x（x∈R）是奇函数，则实数a=______．

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据条件知g（x）在原点有定义，从而有g（0）=0，这样即可求出a的值．

【详解】由于g（x）在R上为奇函数；

∴g（0）=0；

即1+a•1=0；

∴a=-1．

故答案为：-1．

【点睛】本题考查奇函数的概念，以及奇函数g（x）在原点有定义时，g（0）=0，属于基础题。

6.=______．

【答案】

【解析】

【分析】

应用对数运算法则计算即可．

【详解】原式=.

【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

7.已知三个数a=2m，b=m2，c=，其中0＜m＜1，则a，b，c的大小关系是______．（用“＜”或者“＞”表示）

【答案】c＜b＜a

【解析】

【分析】

利用指数与对数函数的单调性即可得出答案．

【详解】∵0＜m＜1，

∴a=2m＞1，b=m2∈（0，1），c=＜0，

故a，b，c的大小关系是c＜b＜a．

故答案为：c＜b＜a．

【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8.已知函数f（x）=|x+n|+|x-n|（n为常数），则f（x）的奇偶性为______．（填“奇函数”、“偶函数”或“既不是奇函数也不是偶函数”）

【答案】偶函数

【解析】

【分析】

由f（-x）=|-x+n|+|-x-n|=|x-n|+|x+n|= f（x）可以判断函数的奇偶性。

【详解】因为函数f（x）的定义域为R

且f（-x）=|-x+n|+|-x-n|=|x-n|+|x+n|= f（x），

所以函数f（x）为偶函数．

故答案为：偶函数．

【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，以及奇偶函数的判断，是基础题．

9.已知函数f（x）=x3，若f（x2-4）＜f（2x-1），则实数x的取值范围是______．

【答案】（-1，3）

【解析】

【分析】

由题中条件可知f（x）= x3在R上单调递增，从而可由f（x2-4）＜f（2x-1）得出x2-4＜2x-1，解该不等式即可求出x的取值范围．

【详解】由于f（x）= x3在R上单调递增；

∴由f（x2-4）＜f（2x-1）得，x2-4＜2x-1；

解得-1＜x＜3；

∴实数x的取值范围是（-1，3）．

故答案为：（-1，3）．

【点睛】考查f（x）= x3的单调性，增函数的定义，以及一元二次不等式的解法．

10.已知log189=a，18b=5，则log3645=______（用a，b表示）．

【答案】

【解析】

【分析】

利用对数的换底公式可知log3645=，再分别求出log1845和log1836即可．

【详解】解：∵log189=a，b=log185，

∴a+b=log189+log185=log18（9×5）=log1845，

log1836=log18（2×18）=1+log182=；

∴log3645=．

故答案为．

【点睛】熟练掌握对数的换底公式是解题的关键．要善于观察恰当找出底数．

11.已知函数，则函数的单调递增区间是__________________。

【答案】

【解析】

【分析】

本题首先需要求出函数的定义域，然后可通过二次函数性质得知的单调性，最后通过的单调性得知函数的单调递增区间。

【详解】因为函数，

所以

所以或，

令由二次函数性质可知：

当时，单调递减；

当时，单调递增，

故当时，函数单调递增，

故函数的单调递增区间是。

【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查函数方程思想，计算复合函数的相关性质的时候，可以将复合函数转化为基本初等函数，再对每一个基本初等函数进行讨论。

12.已知方程lnx=3-x的解在区间（n，n+1）内，且n∈Z，则n的值是______．

【答案】2

【解析】

【分析】

由题意构造函数，求出函数的零点所在区间即可求出满足题意的n.

【详解】由题意构造函数，

因为函数和都是在上的单调递增函数，

所以函数是在上的单调递增函数，

因为，，

所以，

即函数在区间（2，3）上有零点，

所以的解在（2，3）内。

即方程lnx=3-x的解在区间（2，3）内，

所以n=2.

【点睛】本题考查了函数的零点问题，结合函数的单调性及零点存在性定理是解决本题的关键。

13.已知函数f（x）=（x∈（-1，1）），有下列结论：

（1）∀x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；

（2）∀m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实数根；

（3）∀x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；

（4）存在无数多个实数k，使得函数g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有三个零点

则其中正确结论的序号为______．

【答案】（1）（3）（4）

【解析】

【分析】

（1）根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可；

（2）先判断函数|f（x）|是偶函数，令m=0可判断结论错误；

（3）根据分式函数的性质及复合函数的单调性，可判断结论正确；

（4）先判断函数g（x）是奇函数，由函数的表达式可知x=0是它的一个零点，然后讨论当x∈（0，1）时，函数一定存在一个零点（），再由奇函数的性质可知，当x∈（-1，0）时，一定存在另一个零点（），可判断结论正确。

【详解】（1）因为f（x）=（x∈（-1，1）），

所以f（-x）=

即函数为奇函数，

所以f（-x）+f（x）=0在x∈（-1，1）恒成立．所以（1）正确；

（2）因为f（x）=（x∈（-1，1））为奇函数，

所以|f（x）|为偶函数，

当x=0时，|f（0）|=0，

所以当m=0时，方程|f（x）|=m只有一个实根，不满足题意，所以（2）错误．

（3）当x∈[0，1）时，f（x）=，

令，x∈[0，1），则t∈(0，1]，

因为函数在区间[0，1）单调递减，

而函数，在区间(0，1]单调递减，

所以函数f（x）=，在区间[0，1）单调递增。

故x∈[0，1）时，f（x）f（0）=0，

因为函数f（x）在（-1，1）上是奇函数，

所以当x∈[-1，0）时，f（x）单调递增，且f（x）f（0）=0，

综上可知，函数f（x）=在（-1，1）上单调递增，

即∀x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）成立，故（3）正确.

（4）由g（x）=f（x）-kx=0，即，

当x=0时，显然成立，即x=0是函数的一个零点，

当x∈（0，1）时，，解得，令，解得

即（）是函数的一个零点，

由于g（-x）= f（-x）+kx=- f（x）+kx=-（f（x）-kx）=- g（x），

即g（x）是（-1，1）上的奇函数，

故在区间（-1，0）上一定存在（）是函数的另一个零点，

所以（4）正确

故（1），（3），（4）正确．

故答案为：（1），（3），（4）

【点睛】本题主要考查分式函数的性质，利用函数奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键，综合性强，难度较大．

14.定义在R上的函数满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，，且当0≤x1＜x2≤1时，，则=______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，在f（x）+f（1-x）=1中，令x=1可得f（1）的值，在中，依次令x=1、，计算可得的值，同理在f（x）+f（1-x）=1中，令x=可得的值，进而在中，令x=，可得的值，又由，分析可得答案．

【详解】根据题意，函数满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，

令x=1，

可得：f（1）+f（0）=1，即可得f（1）=1，

又由，令=1可得：，

再令=可得：，即.

令x=，

可得：，即，又由，令x=可得：，即.

因为当0≤x1＜x2≤1时，，

而，

所以，，

即，

故.

故答案为：.

【点睛】本题考查抽象函数的函数值的计算，关键是分析f（x）+f（1-x）=1，，属于难题．

二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15.已知集合A={4，a2+4a+2}，B={-2，7，2-a}．

（1）若A∩B={7}，求A∪B；

（2）若集合A⊆B，求A∩B．

【答案】（1）{-2，1，4，7}（2）{-2，4}

【解析】

【分析】

（1）由A∩B={7}可得出7∈A，从而得出a2+4a+2=7，解出a，并验证是否满足集合B，然后求出A，B，再求并集即可；

（2）根据A⊆B即可得到2-a=4，从而求出a，再求出集合A，B，进行交集的运算即可．

【详解】（1）∵A∩B={7}；

∴7∈A；

∴a2+4a+2=7；

解得a=-5，或1；

①若a=-5，则2-a=7，不符合题意；

②若a=1，则A={4，7}，B={-2，7，1}；

∴A∪B={-2，1，4，7}；

（2）∵A⊆B；

∴2-a=4；

∴a=-2；

∴A={4，-2}，B={-2，7，4}；

∴A∩B={-2，4}．

【点睛】本题考查列举法表示集合的定义，元素与集合的关系，子集的定义，以及交集和并集的运算，属于中档题．

16.已知f（x）=x2+3ax-4a2．

（1）若a=3，求不等式f（x）＞0的解集；

（2）若不等式f（x）＜0对任意x∈（-1，2）都成立，求实数a的范围．

【答案】（1）（-∞，-12）∪（3，+∞）（2）或

【解析】

【分析】

（1）代入a的值，求出不等式的解集即可；

（2）根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

【详解】（1）由a=3得不等式为：x2+9x-36＞0，

解得x＜-12或x＞3，

所以解集为：（-∞，-12）∪（3，+∞）；

（2）由不等式f（x）＜0对任意x∈（-1，2）都成立，

结合二次函数的性质，可得：，

即：，

解得：，

所以a的取值范围为或．

【点睛】本题考查了二次函数的性质以及不等式的解法，属于中档题．

17.已知函数f（x）=（ax-1）（ax+2a-1），a＞0，a≠1，且f（1）=5．

（1）求实数a的值；

（2）若x∈（1，3]，求f（x）的值域．

【答案】（1）2（2）（-，21）

【解析】

【分析】

（1）利用f（1）=5，转化求解a的值．

（2）利用换元法，通过二次函数的性质，求解函数的值域即可．

【详解】（1）由f（1）=5可得：（a-1）（3a-1）=5，解得a=2，或a=-，

因为a＞0，a≠1，所以a=2，

（2）由（1）得f（x）=（2x-1）（2x+3），

令t=2x，因为x∈（-1，2），所以t∈（，4），

所以y=（t-1）（t+3），t∈（，4），得：，

所以值域为：（-，21）．

【点睛】本题考查函数与方程的应用，二次函数的性质的应用，考查计算能力，属于中档题．

18.已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝

(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

【答案】（1）W＝（2）x＝32时，W取最大值为6104.

【解析】

(1)当0<x≤40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；

当x>40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7360.

所以，W＝

(2)①当0<x≤40，W＝－6(x－32)2＋6104，

所以Wmax＝W(32)＝6104；

②当x>40时，W＝－－16x＋7360，

由于＋16x≥2＝1600，

当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，W取最大值为5760.

综合①②知，当x＝32时，W取最大值为6104.

19.已知函数f（x）=loga，其中0＜a＜1，b＞0，若f（x）是奇函数．

（1）求b的值并确定f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；

（3）若存在m，n∈（-2，2），使不等式f（m）+f（n）≥c成立，求实数c的取值范围．

【答案】（1）b=3，定义域为（-3，3）；（2）见解析；（3）c≤2loga.

【解析】

【分析】

（1）根据奇函数的性质即可求出b的值，再求出函数的定义域，

（2）根据函数单调性的定义和复合函数的单调性即可判断，

（3）根据函数的单调性可得c≤[f（m）+f（n）]min求出即可。

【详解】（1）函数f（x）=loga，为奇函数，

∴f（0）=loga=0，

∴b=3，

∴f（x）=loga，

由＞0，解得-3＜x＜3，

即函数的定义域为（-3，3）；

（2）令g（x）==-=-1+

设x1，x2∈（-3，3），且x1＜x2，

∴g（x1）-g（x2）=-1++1-=，

∵-3＜x1＜x2＜3，

∴x2-x1＞0，x1+3＞0，x2+3＞0

∴g（x1）-g（x2）＞0，

即g（x1）＞g（x2），

∴g（x）在（-3，3）上单调递减，

∵0＜a＜1，

∴f（x）在（-3，3）上单调递增，

（3）由（2）可得f（x）在[-2，2]上单调递增，

∴c≤[f（m）+f（n）]max即可，

∴c≤2f（2）=2loga．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，考查了函数恒成立的问题，属于中档题．

20.已知集合是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数，使得成立.

   （Ⅰ）判断幂函数是否属于集合？并说明理由；

   （Ⅱ）设，，

        i）当时，若，求的取值范围；

        ii）若对任意的，都有，求的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

试题分析：(1)根据条件 ，得到 ，解出x的值即可；(2) i）当时，根据及对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围；ii）同i）得到根据方程有解得到关于a的不等关系，解之即可.

试题解析：

（Ⅰ），理由如下：

        令，则

       ，即，

        解得：，均满足定义域.

        当时，

  （Ⅱ）当时，

       ，,

       由题知：在上有解

       ，令，则

       即

       ，

       从而，原问题等价于或

       或

       又在上恒成立

       ， 

       另解：原问题等价于在上有解

       令，

       由根的分布知：或

       解得：或

       又，

       当或时，经检验仅满足条件

      ii)由i)知：对任意，在上有解

       ，即

       ，令，则

       则在上有解

       令，，则

       ，即

       由可得：，令，则

       ， ，.

点睛：本题以新定义为载体，重点考查了方程有解的问题，方程解的问题有两个转化方向，其一，转化为函数的值域问题；其二，转化为两个函数图象的交点个数问题,同时，对于初等函数二次函数要牢固掌握，很多问题最终会转化为二次函数问题.