2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，8}，则A∩B=（       ）

A．{4} B．{2} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4，8}

【答案】B

【分析】根据交集的定义即可得出答案.

【详解】解：因为A={1，2，3}，B={2，4，8}，

所有.

故选：B.

2．已知，则f(3)=（       ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】B

【分析】根据分段函数的定义计算函数值．

【详解】.

故选：B

3．设a=1.50.3，b=log21.5，c=log1.50.9，则a，b，c的大小关系是（       ）

A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．c<a<b

【答案】A

【分析】由指数函数、对数函数性质结合中间值0和1比较可得．

【详解】，因此.

故选：A.

4．下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R的是（       ）

A．y=x2 B． C．y=tan|x| D．y=|sinx|

【答案】C

【分析】由函数的值域首先排除ABD，对C进行检验可得．

【详解】选项A，B中函数值不能为负，值域不能R，故AB错误，

选项D值域为，故D也错误，那么选项C为偶函数，

当时，，值域是R，因此在定义域内函数值域为R，

故选：C

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，则“”是“△ABC是等腰三角形”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】充分性：

或，即或，故不一定是等腰三角形，故充分性不成立

必要性：当是等腰三角形，不妨令：，则，

推不出：，故必要性不成立

综上所述：为既不充分也不必要条件，

故选：D．

6．函数的大致图像可以为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】探讨函数的奇偶性可排除两个选项，再由时函数值的符号即可判断作答.

【详解】依题意，函数的定义域为，，即为奇函数，选项B，D不满足；

当时，单调递增，即，恒有，选项A不满足，C满足.

故选：C

7．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】又正三棱锥的性质求得三棱锥的侧棱长，结合平行四边形的面积公式及基本不等式求最值即可得解.

【详解】设侧棱长为，则由底面边长为3，高为1，由可求得，

如图，设，则，且，于是，

所以，

当且仅当即时取等号

故四边形的面积最大值为，

故选：C.

8．已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.

【详解】设与夹角为，与所成夹角为，

，

所以，，①

，②

又，③

②与③联立可得，④

①④联立可得，

当且仅当时，取等号，，，则，

故与所成夹角的最大值是，

故选：A.

【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：

（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；

（2）坐标法：若非零向量、，则.

二、多选题

9．已知实数，，且，则下列不等式不一定成立的（       ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】利用不等式的同向可加性可判断A正确；取特值举反例可判断BCD错误；

【详解】A选项，由不等式同向可加性，可得，故A正确；

B选项，，则，故B错误；

C选项，，则，故C错误；

 D选项，，则，故D错误，

故选：BCD

10．已知函数的图象如图所示，下列选项中正确的是（       ）

A．函数f(x)的最小正周期为π

B．函数f(x)的一条对称轴是

C．函数f(x)在上单调递增

D．函数f(x)在[-2π,2π]内有12个零点

【答案】BCD

【分析】根据图象求出函数解析式，然后由正弦函数性质求解判断．

【详解】由图可知，，

所以，

代入，可得，所以，

因此.

A选项，周期为，故A错误；

B选项，令，当时，，故B正确；

C选项，求单调递增区间，令，

当时，，故C正确：

D选项，求零点，令，又因为定义在上，所以，解得，有12个符合条件，故D正确

故选：BCD.

11．已知函数的零点，k∈Z，且m，n满足2022m=2023，2023n=2022，则k的可能值为（       ）

A．－3 B．－2 C．－1 D．0

【答案】BC

【分析】由指数函数性质确定的范围，得出函数的单调性，然后由零点存在定理确定零点所在区间得结论．

【详解】在R上单调递增

下面开始赋值：

当或，满足题意，

故选：BC．

12．如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AB=5，PA=4，AC=3，则（       ）

A．圆O所在平面与平面PBC所成角的正弦值为

B．直线PB与平面PAC所成角的正弦值为

C．四面体P-ABC的外接球的表面积为41π

D．四面体P-ABC的内切球半径为

【答案】ACD

【分析】先根据题意判断得到面，再求出各线段的长度.

对A，根据圆所在平面与平面所成角的平面角为求解即可；

对B，直线与平面所成角为计算即可；

对C，根据外接球的直径为计算即可；

对D，利用等体积法计算即可

【详解】面面，则，，.

A选项：圆所在平面与平面所成角的平面角为，因为，故A正确

B选项：直线与平面所成角为，故B错误

C选项：四个面都是直角三角形的三棱锥的外接球的球心在最长棱的中点，即为的中点，，故C正确

D选项：根据等体积转换：，即，解得，故选项D正确

故选：ACD

三、填空题

13．计算：等于___________.

【答案】1

【分析】由对数的定义、对数的换底公式计算．

【详解】.

故答案为：1．

14．若复数满足，则复数等于___________.

【答案】

【分析】由复数的四则运算求得，再利用共轭复数及模长公式即可求解.

【详解】，，

由共轭复数定义知，，

由复数的模长知，

故答案为：

15．在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，，BC=5，，则四边形ABCD绕AB旋转一周所成几何体的表面积为___________.

【答案】

【分析】利用圆台和圆锥的侧面积计算公式可求几何体的表面积.

【详解】将平面图形补全为如下图所示的直角梯形，

则，，

四边形绕旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥，如下图：

该几何体的表面积为，

故答案为：.

16．已知实数，，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】依题意利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为，，

所以

当"取等号“

综上所述：的最小值为；

故答案为：

四、解答题

17．已知函数，若的解集为.

(1)求，的值；

(2)当为何值时，的解集为？

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）依题意与为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；

（2）分和两种情况讨论，当时，需满足，即可求出参数的取值范围；

【详解】(1)解：由题意可知，的解集为，

所以与为方程的两根，

，；

(2)解：的解集为，

①当时，的解集为，，；

②当时，，

，，

综上所述，的取值范围为.

18．已知.

(1)求；

(2)若且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系化简函数式，然后计算；

（2）由（1）得，然后由正切的二倍角公式计算．

【详解】(1)，

(2)且，

19．镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数=）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中x的值和中位数；

(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数；

(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.

【答案】(1)，中位数为

(2)应选取评分在的学生人数为10人

(3)“美食”工作需要进一步整改，理由见解析

【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得，在频率分布直方图中频率对应的数为中位数；

（2）由低于80分的学生中三组学生的人数比例进行计算；

（3）由频率分布直方图求出平均值后比较可得．

【详解】(1)由图可知：，

中位数：.

(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为，

则应选取评分在的学生人数为：（人）.

(3)由图可知，认可程度平均分为：

，

“美食"工作需要进一步整改.

20．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足.

(1)求角A的大小；

(2)若a=4，求△ABC面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量的数量积公式和正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可得到答案.

（2）由为锐角三角形，可得角B的范围，由正弦定理表示出面积，利用二倍角公式和辅助角公式化简面积，由正弦函数的性质可得范围.

【详解】(1)，

因为，化简得，

因为，所以

(2)由于为锐角三角形，则

由正弦定理，

所以

因为，所以，

故.

21．如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，.

(1)证明：；

(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面，满足，利用换元法结合二次函数的最值即可求解.

【详解】(1)证明：取中点，连接，

因为，所以，且，

所以平面，

又平面，所以.

(2)连接，则，由，可得，

于是，所以，

又，所以平面，

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

由，可得，

平面的法向量为，

设，则，

设与平面所成角为，

则，

令，则，

令，由对称轴知，当，即时，，

，于是

直线与平面所成角的正切的最大值为2.

22．已知.

(1)若f(x)在[0，2]上单调，求实数m的取值范围；

(2)若f(x)≤|mx－1|对x∈[0，4m]恒成立，求实数m的取值范围；

(3)若存在实数a，b，k满足f(a)=f(b)=k，且a<m<b.当m变化时，求a+b的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由绝对值定义去掉绝对值符号得分段函数，作出函数大致图象，结合二次函数性质可得结论；

（2）由时不等式成立得出，然后作出的图象，再作出的图象，利用图象可得关于的不等关系，从而求得范围；

（3）由（1）知需要按和分类讨论，作出函数图象，得单调性，结合二次函数的性质可得的范围．

【详解】(1)

对于二次函数来说

单调递增，单调递减

　　　　　　　图1

对于二次函数来说，

单调递增

故在上单调，那么只能单调递增，

如图1所示：只需满足分界线即可，

故实数的取值范围为

(2)若对恒成立，

不妨令

令

下面讨论的零点与的零点的位置关系

故在的较大零点的右侧，如图2所示

　　　　　　　　　　图2

只需满足：

(3)由（1）知，

①当函数在上单调时，，

如图3所示故当时，存在实数满足

                      图3

，故

②当函数在上不单调时，，如图4所示

当，函数单调递减

当，函数单调递增

，故当时，

存在实数满足，

对于来说，对称轴为，其图象是由的图象向上平移个单位

　　　　　　　　　图4

与有两个交点，交点横坐标分别为（设），则，

那么，，，

对于来说，对称轴为，其图象是由的图象向下平移个单位得到，

与有两个交点，交点横坐标分别为（设），，那么，，，

又不可能是偶函数，故

综上所述：由①和②可得：．