广东省启光卓越联盟2021-2022学年高一上学期期中联考数学试题

启光卓越联盟广东省2021—2022学年高一年级第一学期期中考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．

1．已知集合，，则（   ）

A．    B．   C．   D．

2．命题“，”的否定为（   ）

A．，    B．，

C．，    D．，

3．四边形的对角线互相垂直是这个四边形为菱形的（   ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

4．下列函数为奇函数且在上为减函数的是（   ）

A．   B．   C．   D．

5．函数的定义域为（   ）

A．    B．

C．  D．

6．函数在上的最小值与最大值分别为（   ）

A．1，3   B．1，2   C．1，   D．，3

7．集合，，若的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ）

A．   B．   C．   D．

8．已知定义在R上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的x的取值范围为（   ）

A．    B．

C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．已知集合，则有（   ）

A．   B．   C．   D．

10．关于函数的说法正确的是（   ）

A．值域为   B．

C．该函数为偶函数   D．在上为增函数

11．设集合，，且，则x的值为（   ）

A．2   B．   C．0   D．

12．若，则下列不等式一定成立的是（   ）

A．   B．   C．   D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知集合，，a，，若．则______．

14．已知，则的最小值为______．

15．已知函数数，若，则实数a的值为______．

16．若不等式在上恒成立．则实数a的取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知集合，．

（1）若，求实数a的取值范围：

（2）求．

18．（12分）

已知函数为偶函数且，当时，．

（1）求时，的解析式；

（2）若，求x的值．

19．（12分）

（1）已知a，，求证：；

（2）某矩形相邻两边长分别为a，b，周长为16，求该矩形面积的最大值，并求此时a，b的值．

20．（12分）

已知幂函数在其定义域上为增函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求实数a的取值范围．

21．（12分）

已知函数，．

（1）若是的充要条件，求a的值：

（2）解不等式．

22．（12分）

已知函数，，．

（1）判断并证明的单调性；

（2）若的定义域与值域相同，求a的值；

（3）若恒成立，求a的取值范围．

启光卓越联盟广东省2021—2022学年高一年级第一学期期中考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．D【解析】，故选D．

2．C【解析】命题的否定为，，故选C．

3．B【解析】四边形的对角线互相垂直四边形为菱形，而四边形为菱形四边形的对角线互相垂直，故选B．

4．A【解析】函数是奇函数，且在上为减函数，符合题意；函数是奇函数，但在上为增函数；函数的定义域为，非奇非偶函数；函数为偶函数．故选A．

5．D【解析】函数的自变量x应满足解得且，所以定义域为，故选D．

6．C【解析】二次函数的对称轴为，所以在上的最小值为，最大值为．故选C．

7．A【解析】集合,∵的充分条件是，∴，∴，得．故选A．

8．B【解析】因为函数是偶函数，且在上单调递增，所以函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，又，所以，即，平方并化简，得，解得或．故选B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分

9．AD【解析】集合，所以A对，B错，C错，D对．故选AD．

10．BC【解析】函数，根据图象可知，值域为为偶函数，在上为减函数．故选BC．

11．BC【解析】若，则．①当时．，当时，集合A中两个元素相等，舍去；时，，，符合．②当时，（舍）或，当时，，，符合．故选BC．

12．ACD【解析】由于，∴成立，A对；若，B不成立，∴B错；∵，，利用不等式的性质得．同理．∴C对；∵．∴，即，同理，利用基本不等式，且，知，又．∴D对．故选ACD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．0【解析】∵．∴，．∴．

14．【解析】∵，∴，当且仅当即时取等号，

∴，∴的最小值为．

15．2【解析】，∴．∴，得．

16．【解析】设，若，在上单调递减，而，所以满足题意；若，不满足题意；若，函数的对称轴，所以在上为减函数，而，所以满足题意．综上，a的取值范围是．

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17．（10分）

解：（1）集合，∵，∴，解得．

（2）．∴．

18．（12分）

解：（1）当时，，∴，

又函数为偶函数，∴．

∴当时，．

（2）当时，，得，解得（舍）或．

∵为偶函数．∴．∴．

19．（12分）

（1）证明：

∵a，，∴，∴，∴

（2）解：∵，∴．

又∵，∴，

当且仅当时等号成立，∴矩形面积的最大值为16，此时．

20．（12分）

解：（1）∵为幂函数．∴，解得或．

当时，在其定义域上不为增函数，舍去．

当时，在R上为增函数，符合题意．∴．

（2）∵在R上为增函数，且，∴，

整理得，解得，

∴实数a的取值范围为．

21．（12分）

解：（1）由题意可知．的解集为∴，3为方程的两根，

∴得．

（2）不等式，即为，

得，方程的两根为1，．

①当时，，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为；

③当时，，不等式的解集为．

22．（12分）

解：（1）在区间上单调递增．

证明：，，且，则

，

由于，可知，，

又∵，∴．即，

∴在区间上单调递增．

（2）由（1）知，在区间上单调递增，

∴，，

∴的值域为．∴，∴．

（3）∵

∴．即恒成立．

设，可知在上为增函数，

∴

∴，解得或．

又∵，∴