【中考真题】2020年浙江省杭州市西湖区翠苑中学文华中学校区中考数学模拟试卷（含答案解析）

这是一份【中考真题】2020年浙江省杭州市西湖区翠苑中学文华中学校区中考数学模拟试卷（含答案解析），共27页。试卷主要包含了﹣的绝对值是等内容，欢迎下载使用。
2020年浙江省杭州市西湖区翠苑中学文华中学校区中考数学模拟试卷
一．选择题（共12小题）
1．﹣的绝对值是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．在式子5，x＝2，a，，m+n＞0，中，属于代数式的有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
3．若|x|＝5，|y|＝3，且|x﹣y|＝y﹣x，则x+y的值是（　　）
A．﹣2或﹣8 B．2或8 C．8 D．﹣8
4．若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（　　）
A．5°12′ B．5°7′12″ C．5°7′2″ D．5°10′2″
5．在同一平面内，两条直线的位置关系是（　　）
A．平行或垂直 B．平行或相交
C．垂直或相交 D．平行、垂直或相交
6．连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成四个全等的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成四个更小的小正方形，…重复这样的操作，则2021次操作后右下角的小正方形面积是（　　）

A． B．
C． D．
7．如图1是2002年北京国际数学家大会徽标图案，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．把这4个全等直角三角形进行如图2的摆放，得到一个大正方形PQMN，若EF＝，AD＝，则为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②画射线O′A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O′A'于点C'；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；
④过点D′画射线O′B'；
根据以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
9．在比赛中，9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
10．某扇形的圆心角为150°，其弧长为20πcm，则此扇形的面积是（　　）
A．120πcm B．480πcm2 C．240πcm2 D．240cm2
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）

A．125° B．130° C．135° D．140°
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．把△ABC分别绕直线AB，BC和AC旋转一周，所得几何体的表面积分别记作S1，S2，S3，则表面积最大的是（　　）

A．S1 B．S2 C．S3 D．无法确定
二．填空题（共5小题）
13．如图所示，想过P点在河两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是线段　 　，理由是　 　．

14．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为　 　．
15．已知≈4.495，≈14.216，则≈　 　．（保留小数点后两位）
16．如图，在△ABC，已知AC＝4，BC＝12，∠ACB＝90°，M，N为BC边上两点，且CM＝BN＝3，若点P为AB上一动点，当△PMN为直角三角形时，AP的长为　 　．

17．如图，双曲线y＝与△OAB交于点A，C，已知A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，且S△OAB＝21，则k＝　 　．

三．解答题（共8小题）
18．在研发某种新冠疫苗的一次动物实验中，将200只基因编辑小鼠分成20组，每组10只．选取其中10个组作为接种批次，给每只小鼠注射疫苗，其余作为对照批次，不注射疫苗．实验后统计发现，接种批次共有13只小鼠发病，发病率为0.13．对照批次小鼠发病情况如下表所示．
对照批次编号（组）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
发病小鼠数（只）
3
5
7
3
8
4
8
5
5
6
（1）①对照批次发病小鼠数的中位数是　 　，众数是　 　；
②求对照批次发病小鼠的总只数；
（2）流行病学中，疫苗在一定范围内能保护某个群体的机率叫做疫苗保护率，其计算方法是：疫苗保护率＝（对照批次发病率﹣接种批次发病率）/对照批次发病率．由此可得这种新冠疫苗保护率是多少（结果精确到0.01）？
19．计算：tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°．
20．解方程：﹣＝﹣．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F，已知DE＝，求弧DC、线段DF、CF围成的阴影部分面积．

22．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

23．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．
（1）当c＝1时，求M1，M2的值；
（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；
（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．

24．已知，如图△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，BD＜DC，过点A、D、C三点的⊙O交AB于点F，点E在上，连接DF、AE、DE、CE．
（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）若，请用题意可以推出的结论说明命题：“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．

25．某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径OA＝24cm，OC＝12cm，∠AOB＝135°．（计算结果保留π）
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．


2020年浙江省杭州市西湖区翠苑中学文华中学校区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．﹣的绝对值是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据绝对值的定义即可解答．
【解答】解：|﹣|＝，
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的定义，负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
2．在式子5，x＝2，a，，m+n＞0，中，属于代数式的有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式．依此对每个选项分别进行分析，即可得出答案．
【解答】解：5，a，，是代数式，
x＝2是等式，不是代数式，
m+n＞0是不等式，不是代数式．
故选：B．
【点评】此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的定义，注意等式、不等式与代数式的区别．
3．若|x|＝5，|y|＝3，且|x﹣y|＝y﹣x，则x+y的值是（　　）
A．﹣2或﹣8 B．2或8 C．8 D．﹣8
【分析】根据题意求出x、y的值，再由x﹣y|＝y﹣x进行分类讨论，从而求出答案．
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3，
∴x＝±5，y＝±3，
又∵|x﹣y|＝y﹣x，
∴当x＝﹣5，y＝3时，等式成立，则x+y＝﹣2；
当x＝﹣5，y＝﹣3时，等式成立，则x+y＝﹣8；
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，解题的关键是分类讨论，以免漏解．
4．若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（　　）
A．5°12′ B．5°7′12″ C．5°7′2″ D．5°10′2″
【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．
【解答】解：∠α＝5.12°＝5°+0.12×60′＝5°+7′+0.2×60″＝5°7′12″．
故选：B．
【点评】此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握1°＝60′，1′＝60″．
5．在同一平面内，两条直线的位置关系是（　　）
A．平行或垂直 B．平行或相交
C．垂直或相交 D．平行、垂直或相交
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种情况，平行或相交．
【解答】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，
故选：B．
【点评】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．
6．连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成四个全等的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成四个更小的小正方形，…重复这样的操作，则2021次操作后右下角的小正方形面积是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】先计算出正方形的面积为1，根据题意易得第1次操作后右下角的小正方形面积＝，第2次操作后右下角的小正方形面积＝×＝（）2，第3次操作后右下角的小正方形面积＝（）3，于是可得到n次操作后右下角的小正方形面积为的n次方，然后把n＝2021代入即可得到答案
【解答】解：正方形的面积＝1×1＝1，
∵第1次操作后右下角的小正方形面积＝，
第2次操作后右下角的小正方形面积＝×＝（）2，
第3次操作后右下角的小正方形面积＝（）3，
…
∴第2021次操作后右下角的小正方形面积＝（）2021．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
7．如图1是2002年北京国际数学家大会徽标图案，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．把这4个全等直角三角形进行如图2的摆放，得到一个大正方形PQMN，若EF＝，AD＝，则为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图1中，设AE＝DF＝x,在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2,利用勾股定理求出x,再在图2中，利用相似三角形的性质求出PQ可得结论．
【解答】解：如图1中，设AE＝DF＝x,
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2,
∴()2＝x2+(x+)2,
∴x＝4或﹣．
∴AE＝4,DE＝4+＝,
如图2中，

由△NTK∽△WQN,可得＝,
∴＝,
∴NQ＝3,
∴PQ＝MN＝3+＝,
∴＝＝,
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②画射线O′A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O′A'于点C'；
③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；
④过点D′画射线O′B'；
根据以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定．
9．在比赛中，9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义即可求解．
【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分，与9个原始评分相比，不变的数字特征是中位数．
故选：A．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
10．某扇形的圆心角为150°，其弧长为20πcm，则此扇形的面积是（　　）
A．120πcm B．480πcm2 C．240πcm2 D．240cm2
【分析】设扇形的半径为rcm，根据扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为207πcm求出r的值，由扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设扇形的半径为rcm，
∵扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，
∴＝20π，解得r＝24 cm，
∴S扇形＝×20π×24＝240πcm2．
故选：C．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）

A．125° B．130° C．135° D．140°
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．

故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．把△ABC分别绕直线AB，BC和AC旋转一周，所得几何体的表面积分别记作S1，S2，S3，则表面积最大的是（　　）

A．S1 B．S2 C．S3 D．无法确定
【分析】根据△ABC分别绕直线AB，BC和AC旋转一周，可以分别得到一个圆锥、一个圆锥和两个共底面的圆锥组合，再根据圆锥的表面积计算公式：圆锥的表面积＝底面积+圆锥的侧面积分别计算即可，最后根据结果即可比较大小．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5．
△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为BC＝4，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即S1＝π×42+π×4×5＝36π；
△ABC绕直线BC旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为AB＝3，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即S2＝π×32+π×3×5＝24π；
△ABC绕直线AC旋转一周，所得几何体为两个共底面的圆锥，底面半径为，此圆锥的表面积为两个扇形表面积之和，即S3＝π××3+π××4＝．
∴S1＞S2＞S3．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的表面积计算公式，圆锥的表面积＝底面积+圆锥的侧面积，其中圆锥的侧面积＝π×底面圆半径×圆锥母线长．熟知使用公式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
13．如图所示，想过P点在河两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是线段　 　，理由是　垂线段最短．　．

【分析】根据垂线段最短的性质填写即可．
【解答】解：∵PN⊥MQ，
∴PN是最短的，理由是垂线段最短．
故答案为：PN，垂线段最短．
【点评】本题主要考查垂线段的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．
14．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为　7.3×10﹣5　．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000073＝7.3×10﹣5．
故答案为：7.3×10﹣5．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．已知≈4.495，≈14.216，则≈　44.95　．（保留小数点后两位）
【分析】直接利用算术平方根的性质化简得出答案．
【解答】解：∵≈4.495，
∴＝
≈4.495×10
＝44.95．
故答案为：44.95．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解算术平方根的意义是解题关键．
16．如图，在△ABC，已知AC＝4，BC＝12，∠ACB＝90°，M，N为BC边上两点，且CM＝BN＝3，若点P为AB上一动点，当△PMN为直角三角形时，AP的长为　2或6或5　．

【分析】由已知条件先求出AB的长度，然后根据△PMN为直角三角形分三种情况进行讨论，从而求出AP的值．
【解答】解：∵AC＝4，BC＝12，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2＝192，
即AB＝8，
∴tanB＝＝＝＝30°，
①如图1，当PM⊥BC于M时，△PMN为直角三角形，

∵CM＝BN＝3
∴BM＝9，
∴PB＝＝＝＝6，
∴AP＝AB﹣PB＝8﹣6＝2；
②如图2，当PN⊥BC于N时，△PMN为直角三角形，

此时，BN＝3，PB＝＝＝2，
∴AP＝AB﹣PB＝8﹣2＝6；
③如图3，当PM⊥PN时，△PMN为直角三角形，

此时，过点P作PD⊥BC于D，
∴△MPD∽△PND，
∴PD2＝MD•ND，
设DN＝x，则BD＝3+x，MD＝6﹣x，PD＝（3+x），
∴[（3+x）]2＝x（6﹣x），
解得：x＝，
∴PB＝2PD＝2××（3+）＝3，
∴AP＝AB﹣PB＝8﹣3＝5，
故答案为：2或6或5．
【点评】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理的应用，关键是进行分类讨论．
17．如图，双曲线y＝与△OAB交于点A，C，已知A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，且S△OAB＝21，则k＝　8　．

【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，设A、B的横坐标为5a，则C点的横坐标为2a，根据反比例函数性质和已知三角形的面积，用a、k表示出CD、BE、OD、OE，证明△OCD∽△OBE，由比例线段列出方程进行解答．
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，
∴设A、B的横坐标为5a，则C点的横坐标为2a，
∵S△OAB＝21，
∴，
∴AB＝，
∵双曲线y＝与△OAB交于点A，C，
∴CD＝，AE＝，OD＝2a，OE＝5a，
∴BE＝，
∵CD∥BE，
∴△OCD∽△OBE，
∴，
即，
解得，k＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与瘾性质，关键是由相似三角形得k的方程．
三．解答题（共8小题）
18．在研发某种新冠疫苗的一次动物实验中，将200只基因编辑小鼠分成20组，每组10只．选取其中10个组作为接种批次，给每只小鼠注射疫苗，其余作为对照批次，不注射疫苗．实验后统计发现，接种批次共有13只小鼠发病，发病率为0.13．对照批次小鼠发病情况如下表所示．
对照批次编号（组）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
发病小鼠数（只）
3
5
7
3
8
4
8
5
5
6
（1）①对照批次发病小鼠数的中位数是　5　，众数是　5　；
②求对照批次发病小鼠的总只数；
（2）流行病学中，疫苗在一定范围内能保护某个群体的机率叫做疫苗保护率，其计算方法是：疫苗保护率＝（对照批次发病率﹣接种批次发病率）/对照批次发病率．由此可得这种新冠疫苗保护率是多少（结果精确到0.01）？
【分析】（1）①利用中位数及众数的定义写出答案即可；
②将所有数据相加即可求得答案；
（2）根据题目提供的计算方法进行计算即可求的答案．
【解答】解：（1）①排序后位于中间位置的两个数分别是5和5，
所以中位数是5，
数据5出现的次数最多，
所以众数是5；
故答案为：5，5；
②3+3+4+5+5+5+6+7+8+8＝54，
答：求对照批次发病小鼠的总只数为54．

（2）＝0.54，
≈0.76，
答：该品牌新冠疫苗保护率约为0.76．
【点评】考查了统计的知识，解题的关键是了解众数及中位数的意义，难度不大．
19．计算：tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣×﹣（）2
＝1﹣﹣
＝．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．解方程：﹣＝﹣．
【分析】方程两边同乘（x+1）（x﹣1），将分式方程转化为整式方程，解整式方程，最后检验即可．
【解答】解：原方程可化为，
方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得：2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
解这个方程，得x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以，x＝1是原方程的增根，应舍去，
因此，原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F，已知DE＝，求弧DC、线段DF、CF围成的阴影部分面积．

【分析】（1）欲证明DB＝DE，只要证明∠DBE＝∠DEB；
（2）连接CD、OD，根据S阴＝S△CDF﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）计算即可；
【解答】（1）证明：∵E是△ABC的内心．
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE．

（2）解：连接CD、OD．
∵∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵FC是切线，
∴∠BCF＝90°，
∴∠DCF＝45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∵DE＝DB＝3，
∴OD＝OC＝3，DF＝CD＝BD＝3，
∴S阴＝S△CDF﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）＝×3×3﹣（﹣×3×3）＝﹣．

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；
（3）如图，作EH⊥DF于H．想办法求出EH，HM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．

（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．

（3）如图，作EH⊥DF于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．
（1）当c＝1时，求M1，M2的值；
（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；
（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．

【分析】（1）当c＝1时，把函数的解析式化成顶点式即可求得M1，M2的值；
（2）由已知可得点A，B重合时，c﹣＝2c，c＝﹣，L1上有1011个“美点”，L2上有2020个“美点”．则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030；
（3）当x＝时，M1＝+c，由于L2的对称轴为x＝c，分三种情况求解：当c≥1时，M2＝c2+1；当c＜1时，M2＝2c；再由已知列出等式即可求c的值．
【解答】解：（1）当c＝1时，
函数y＝﹣x2+x+c＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+．
又∵﹣2020≤x≤1，
∴M1＝，
y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．
又∵1≤x≤2020，
∴M2＝2；
（2）当x＝1时，y＝﹣x2+x+c＝c﹣；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．
若点A，B重合，则c﹣＝2c，c＝﹣，
∴L1：y＝﹣x2+x﹣（﹣2020≤x≤1）；
L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．
在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；
在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．
又点A，B重合，
则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．
（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+c，
y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c，
当2020≥c≥1时，M2＝c2+1，
∴|+c﹣c2﹣1|＝，
∴c＝﹣1（舍去）或c＝2；
当c＜1时，M2＝2c，
∴|2c﹣﹣c|＝，
∴c＝3（舍去）或c＝﹣；
∴c＝﹣或2．
当c＞2020时，M2＝﹣20202+4040c+1，
∴|﹣20202+4040c+1﹣﹣c|＝，
∴c≈1010（舍弃），
综上所述，c＝﹣或2．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够根据函数所给的取值范围，通过适当的分类讨论，正确的求函数的最大值是解题的关键．
24．已知，如图△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，BD＜DC，过点A、D、C三点的⊙O交AB于点F，点E在上，连接DF、AE、DE、CE．
（1）求证：△BDF是等腰三角形；
（2）若，请用题意可以推出的结论说明命题：“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠BFD＝∠ACB，于是得到结论；
（2）由＝，得到DE＝AC，等量代换得到AB＝DE，推出∠B＝∠E，得到＝，求得AE＝CD＞BD，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∠B＝∠ACB，
∵四边形AFDC是圆内接四边形，
∴∠AFD+∠ACB＝∠BFD+∠AFD＝180°，
∴∠BFD＝∠ACB，
∴∠BFD＝∠B，
∴BD＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；
（2）如图，已知AB＝DE，∠B＝∠AED，
则四边形ABDE是平行四边形是假命题；
∵＝，
∴DE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AB＝DE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠AED，
∴∠B＝∠AED，
﹣＝﹣，
∴＝，
∴AE＝CD＞BD，
但四边形ABDE不是平行四边形，
∴“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．

【点评】本题考查了命题与定理，平行四边形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25．某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径OA＝24cm，OC＝12cm，∠AOB＝135°．（计算结果保留π）
（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？
（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．

【分析】（1）主要是求阴影部分扇形环的外环和内环的弧长之和，即求优弧AB+优弧CD；直接利用弧长公式求解即可．
（2）求扇环的面积，即S侧＝S阴影＝（π×242﹣S扇形OAB）﹣（π×122﹣S扇形OCD）．
【解答】解：（1）优弧的长为（cm），
优弧的长为（cm），
至少需要花边的长度为30π+15π＝45π（cm）；
（2）灯罩的侧面积＝S阴影＝（π×242﹣S扇形OAB）﹣（π×122﹣S扇形OCD）＝．
【点评】主要考查了利用弧长公式和扇形的面积公式，通过面积差求扇形的面积．
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日期：2021/11/14 23:16:42；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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