湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题（原卷版）

2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

高二期中联考

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 角的终边经过点且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在空间四边形各边上分别取点，若直线、相交于点，则（    ）

A. 点必在直线上 B. 点必在直线上

C. 点必在平面内 D. 点必在平面内

3. 下列命题中，正确的是（    ）

A. 垂直于同一个平面的两个平面平行

B. 三个平面两两相交，则交线平行

C. 一个平面与两个平行平面相交，则交线平行

D. 平行于同一条直线的两个平面平行

4. 已知则“”是“”的（    ）条件.

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

5. 设集合，则下列说法一定正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则有4个元素

D. 若，则

6. 著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes  Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（    ）

甲：中位数为8，众数为7

乙：中位数8，平均数为8.4

丙：平均数8，方差小于2

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定

8. 在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体各棱及表面上运动且满足， 则点轨迹的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式 在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若是的一个根，则=（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

10. 在中，，，，则（    ）

A.  B. 的面积为

C. 外接圆直径是 D. 内切圆半径是

11. 正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 平面平面

C. 平面

D. 向量与向量夹角是60°

12. 已知椭圆左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点，的面积为，设的离心率为，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 长轴长为4且一个焦点为椭圆的标准方程是___________.

14. 某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱一个底面的面积为_______．

15. 在三棱锥中，是正三角形，平面平面ABC且，，则三棱锥的外接球的表面积为______ .

16. 若为的重心，，则的最小值为_______.

四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知直线

（1）求证：直线过定点，并求出该定点.

（2）若直线与圆相切，求直线的方程.

18. 已知是三个内角的对边，且

（1）求.

（2）若，求周长的最大值.

19. 已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

20.  已知，动点满足：

（1）求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；

（2）设动点的轨迹为，对上任意一点，在轴上是否存在一个与(为坐标原点)不重合的定点，使得为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由.

21. 如图，周长为3cm圆形导轨上有三个等分点， 在点出发处放一颗珠子，珠子只能沿导轨顺时针滚动. 现投掷一枚质地均匀的骰子.每当掷出3的倍数时，珠子滚动2cm后停止，每当掷出不是3的倍数时，珠子滚动1cm后停止.

（1）求珠子恰好滚动一周后回到点的概率.

（2）求珠子恰好滚动两周后回到点（中途不在点停留）的概率.

22. 已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．

①求证：为定值；

②求证：直线过定点.