方程与不等式

(时间：120分钟　　总分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.一元二次方程3x2－x－2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是( A )

A.－1  B.－2  C.1  D.0

2.已知关于x的方程x2－kx＋6＝0有两个实数根，则k的值不可能是( D )

A.5  B.－8  C.8  D.4

3.下列各组数中，是二元一次方程5x－y＝4的一个解的是( D )

A．    B．   

C．    D．

4.对于任何的a值，关于x，y的方程ax－(a－1)y＝a＋1都有一个与a无关的解，这个解是( C )

A．    B．   

C．     D．

5.方程＝的解为( D )

A.3  B.2  C.1  D.0

6.“桃花流水窅然去，别有天地非人间”桃花源景点2017年共接待游客a万人，2018年比2017年旅游人数增加5%，已知2017年至2019年欣赏桃花的游客人数平均年增长率为8%，设2019年比2018年游客人数增加b%，则可列方程为( B )

A.a(1＋5%)(1＋b%)＝a(1＋8%×2) 

B.a(1＋5%)(1＋b%)＝a(1＋8%)2

C.a(1＋5%)(1＋8%)＝a(1＋8%×2) 

D.a(1＋5%)(1＋8%)＝2a(1＋b%)

7.把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的为( B )

A.  B. 

C.  D.

8.为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元.若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是( A )

A.＝     B.＝

C.＋＝140  D.－140＝

9.若分式方程＋1＝有增根，则a的值是( A )

A.4  B.3  C.2  D.1

10.已知关于x的不等式组

无解，则m的取值范围是( A )

A.m≤3  B.m＞3  C.m＜3  D.m≥3

二、填空题(每小题4分，共24分)

11.若m＋1与－2互为相反数，则m的值为　1　.

12.2x与1的差是非负数，用不等式表示为　2x－1≥0　.

13.方程＝的解是　x＝1　.

14.若x＝是关于x的方程x2－4x＋m＝0的一个根，则方程的另一个根是　3　.

15.若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是　5＜m≤6　.

16.某班男女同学分别参加植树劳动，要求男女同学各种8行树，男同学种的树比女同学种的树多，如果每行都比预定的多种一棵树，那么男女同学种树的数目都超过100棵；如果每行都比预定的少种一棵树，那么男女同学种树的数目都达不到100棵.这样原来预定男同学种树　104　棵；女同学种树　96　棵.

三、解答题(共66分)

17.(6分)计算：

(1)3x2－1＝2x＋2；    (2)－＝.

解：(1)3x2－2x－3＝0，Δ＝(－2)2－4×3×(－3)＝40，x＝＝，

所以x1＝，x2＝；

(2)去分母得：2x－2＋2x＝x＋1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解.

18. (8分)解不等式组并把解集在数轴上表示出来．

解：

∵解不等式①得：x＞4，解不等式②得：x＞2，∴不等式组的解集是x＞4.

在数轴上表示为：.

19.(8分)已知关于x的方程kx2－3x＋1＝0有实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1＋x2＋x1x2＝4时，求k的值.

解：(1)k≤；

(2)k＝1.

20.(10分)为了参加学校举办的“新城杯”足球联赛，新城中学七(1)班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费400元，七(2)班学生购买了A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费450元.

(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？

(2)为了进一步发展“校园足球”，学校准备再次购进A，B两种品牌的足球，学校提供专项经费850元全部用于购买这两种品牌的足球，学校这次最多能购买多少个足球？

解：(1)设购买一个A品牌足球需要x元，购买一个B品牌足球需要y元，依题意，得：解得：

答：购买一个A品牌足球需要100元，购买一个B品牌足球需要150元．

(2)设可以购买m个A品牌足球，n个B品牌足球，依题意，得：100m＋150n＝850，∴n＝.∵m，n均为非负整数，∴∴m＋n＝6或m＋n＝7或m＋n＝8.

答：学校这次最多能购买8个足球．

21.(10分)2019国际马拉松于5月26日上午在市体育中心鸣枪开跑.某公司为赛事赞助了5000瓶矿泉水，计划以后每年逐年增加，到2021年达到7200瓶，若该公司每年赞助矿泉水数量增加的百分率相同.

(1)求平均每年增加的百分率；

(2)假设2022年该公司赞助矿泉水增加的百分率与前两年相同，请你预测2022年该公司赞助的矿泉水的数量.

解：(1)设平均每年增加的百分率为x，依题意，得：5000(1＋x)2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，

x2＝－2.2(舍去).答：平均每年增加的百分率为20%.

(2)7200×(1＋20%)＝8640(瓶).

答：预测2022年该公司赞助矿泉水8640瓶.

22.(12分)已知关于x的方程(2m－1)x2－(2m＋1)x＋1＝0.

(1)求证：不论m为何值，方程必有实数根.

(2)当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值：若没有，请说明理由.

解：(1)证明：①当2m－1＝0即m＝时，此时方程是一元一次方程，其根为x＝，符合题意；

②当2m－1≠0即m≠时，Δ＝[－(2m＋1)]2－4(2m－1)＝(2m－1)2＋4＞0，∴当m≠时，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，不论m为何值，方程必有实数根.

(2)当m为整数时，关于x的方程(2m－1)x2－(2m＋1)x＋1＝0没有有理根.理由如下：①当m为整数时，假设关于x的方程(2m－1)x2－(2m＋1)x＋1＝0有有理根，则要Δ＝b2－4ac为完全平方数，而Δ＝(2m＋1)2－4(2m－1)＝4m2－4m＋5＝(2m－1)2＋4，设Δ＝n2(n为整数)，即(2m－1)2＋4＝n2(n为整数)，所以有(2m－1－n)(2m－1＋n)＝－4，∵2m－1与n的奇偶性相同，并且m，n都是整数，所以或，解得m＝；②2m－1＝0时，m＝(不合题意舍去).

所以当m为整数时，关于x的方程(2m－1)x2－(2m＋1)x＋1＝0没有有理根．

23.(12分)每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元.

(1)求甲、乙两种型号设备的价格；

(2)该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有哪几种购买方案；

(3)在(2)的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.

解：(1)设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x万元和y万元，由题意得：

解得：

则甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元；

(2)设购买甲型设备m台，乙型设备(10－m)台，则：12m＋10(10－m)≤110，∴m≤5，∵m取非负整数∴m＝0,1,2,3,4,5，∴有6种购买方案；

(3)由题意：240m＋180(10－m)≥2040，∴m≥4∴m为4或5.

当m＝4时，购买资金为：12×4＋10×6＝108(万元)，当m＝5时，购买资金为：12×5＋10×5＝110(万元)，则最省钱的购买方案为，选购甲型设备4台，乙型设备6台.