函数

(时间：120分钟　　总分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.点A(－3,0)，以A为圆心，5为半径画圆交x轴负半轴的坐标是( D )

A.(8,0)  B.(0，－8)  C.(0,8)  D.(－8,0)

2.下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是( C )

3.函数y＝中自变量x的取值范围是( D )

A.x≠2  B.x≥0  C.x＞0且x≠2  D.x≥0且x≠2

4.已知直线y＝kx＋3经过点A(1,2)且与x轴交于点B，点B的坐标是( C )

A.(－3,0)  B.(0,3)  C.(3,0)  D.(0，－3)

5.已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的值可能是( D )

A.－1  B.2  C.3  D.5

6.要由抛物线y＝2x2得到抛物线y＝2(x＋1)2－3，则抛物线y＝2x2必须( A )

A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 

B.向右平移1个单位，再向上平移3个单位

C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 

D.向左平移1个单位，再向上平移3个单位

7.如图，直线y＝－x＋b经过点(0,3)，则关于x的不等式－x＋b＞0的解集是( B )

A.x＞2  B.x＜2  C.x≥2  D.x≤2

8.已知函数y＝(a＋3)xa＋1是反比例函数，则此反比例函数的图象在( A )

A.第一、三象限  B.第二、四象限

C.第一、四象限  D.第二、三象限

9.已知两点A(－6，y1)，B(2，y2)均在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上，点C(x0，y0)是该抛物线的顶点，若y0≥y1＞y2，则x0的取值范围是( B )

A.x0＜－6           B.x0＜－2 

C.－6＜x0＜－2     D.－2＜x0＜2

10.已知抛物线y＝a(x－3)2＋过点C(0,4)，顶点为M，与x轴交于A，B两点.如图所示.以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊙D外；③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；④直线CM与⊙D相切.正确的结论是( B )

A.①③  B.①④  C.①③④  D.①②③④

二、填空题(每小题4分，共24分)

11.已知AB∥x轴，点A的坐标为(2，－1)，并且AB＝3，则点B的坐标为　(5，－1)或(－1，－1)　.

12.如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为　4　s.

13.如图，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落x轴正半轴的C点，折痕与y轴交于点D，则折痕所在直线的解析式为　y＝x＋　.

14.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(k≠0)，经过ABCD的顶点B，D，点A的坐标为(0，－1)，AB∥x轴，CD经过点(0,2)，ABCD的面积是18，则点C的坐标是　(3,2)　.

15.甲乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发到乙地停止，货车先出发从甲地匀速开住乙地，货车开出一段时间后，轿车出发，匀速行驶一段时间后接到通知提速后匀速赶往乙地(提速时间不计)，最后发现轿车比货车提前0.5小时到达，如图表示两车之间的距离y(km)与货车行驶的时间x(h)之间的关系，则货车行驶　3.9　小时，两车在途中相遇.

解析：由题意可得，货车的速度为：300÷5＝60 km/h，货车2.5小时行驶的是路程是：2.5×60＝150 km，则小轿车提速后的速度为：[300－(150－70)]÷(5－0.5－2.5)＝110 km/h，设货车行驶x小时，两车在图中相遇，60x＝(x－2.5)×110＋(60×2.5－70)，解得，x＝3.9.

16.如图，抛物线y1＝x2－1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将此抛物线向右平移4个单位得到抛物线y2，两条抛物线相交于点C.若点P是坐标轴上的一动点，且满足∠CPA＝45°，则所有满足条件的点P的坐标为　(－1,0)或(5,0)或(0，＋2)或(0,2－)　.

解析：写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可，根据抛物线解析式求出点A的坐标，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，过C作CD⊥x轴于点D，则点D的坐标为D(2,0)，在x轴上取点P1，P2，取DP1＝DP1＝CD＝3，则可得出在x轴上的P点坐标，求出△P1AC的外接⊙E的圆心E点坐标，进而求得⊙E与y轴的交点坐标，便是在y轴上的点P的坐标.

三、解答题(共66分)

17.(6分)如图所示，直线l1：y＝－3x＋3与直线l2：y＝kx＋b相交于点C，且l1与x轴交于点D，l2经过点A(4,0)，B(3，－).

(1)求点D的坐标和直线l2的表达式；

(2)求△ADC的面积.

解：(1)D(1,0)，l2的表达式为y＝x－6；

(2)由题意可得解得∴C(2，－3)，∴S△ADC＝×(4－1)×3＝4.5.

18.(8分)如图，已知反比例函数y＝的图象经过第一象限内的一点A(n,4)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2.

(1)求m和n的值；

(2)若一次函数y＝kx＋2的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求线段AC的长.

解：(1)m＝4，n＝1；

(2)由直线y＝kx＋2过点A(1,4)，得k＝2，所以一次函数的解析式为y＝2x＋2；令y＝0，得x＝－1，所以点C的坐标为(－1,0)，由(1)可知OB＝1，所以BC＝2，在Rt△ABC中，AC＝＝＝2.

19.(8分)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＜0)的图象交于A(－3,2)，B(n,4)两点.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)点C(－1,0)是x轴上一点，求△ABC的面积.

解：(1)反比例函数解析式为：y＝，一次函数解析式为：y＝x＋6；

(2)∵S△ABC＝(2＋4)×＋×4×－×2×2，

∴S△ABC＝.

20.(10分)已知二次函数y＝－x2＋bx－c的图象与x轴的交点坐标为(m－2,0)和(2m＋1,0).

(1)若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；

(2)若y＝1时，自变量x有唯一的值，求二次函数的解析式.

解：(1)由题意可知，二次函数图象的对称轴为x＝＝，∵a＝－1＜0，∴二次函数的图象开口向下，∵x＜0时，y随x的增大而增大，∴≥0，解得m≥；

(2)由题意可知，二次函数的解析式为y＝－(x－)2＋1，∵二次函数的图象经过点(m－2,0)，

∴0＝－(m－2－)2＋1，解得m＝－1和m＝－5，∴二次函数的解析式为y＝－x2－4x－3或y＝－x2－16x－63.

21.(10分)如图1，直线y＝kx－2k(k＜0)与y轴交于点A，与x轴交于点B，AB＝2.

(1)求A，B两点的坐标.

(2)如图2，以AB为边，在第一象限内画出正方形ABCD，并求直线CD的解析式.

解：(1)∵直线y＝kx－2k(k＜0)，与y轴交于点A，与x轴交于点B，∴A(0，－2k)，B(2,0)，∵AB＝2，∴4＋4k2＝20，∴k2＝4，∵k＜0，∴k＝－2，∴A(0,4)，B(2,0)；

(2)作CH⊥x轴于H.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠AOB＝∠ABC＝∠BHC＝90°，∴∠ABO＋∠CBH＝90°，∠CBH＋∠BCH＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，∴△AOB≌△BHC(AAS)，

∴CH＝OB＝2，BH＝OA＝4，∴C(6,2)，∵CD∥AB，∴可以假设直线CD的解析式为y＝－2x＋b，把C(6,2)代入得到b＝14，∴直线CD的解析式为y＝－2x＋14.

22.(12分)某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

解：(1)设y＝kx＋b，将(40，300)，(55，150)代入，得：解得：

则y＝－10x＋700；

 (2)设每天获取的利润为W，则W＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1000x－21000＝－10(x－50)2＋4000，又∵－10x＋700≥240，∴x≤46，∵x＜50时，W随x的增大而增大，∴当x＝46时，W取得最大值，最大值为－10×6＋4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元.

23.(12分)如图，抛物线C1：y＝x2－2x与抛物线C2：y＝ax2＋bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB.

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA＋PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；

(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积.

解：(1)令：y＝x2－2x＝0，则x＝0或2，即点B(2,0)，∵C1，C2开口大小相同、方向相反，则a＝－1，

则点A(4,0)，将点A的坐标代入C2的表达式得：

0＝－16＋4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝－x2＋4x；

(2)联立C1，C2表达式并解得：x＝0或3，故点C(3,3)，作点C关于C2对称轴的对称点C′(1,3)，如图1，连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA＋PC的值最小为：线段AC′的长度＝3；

(3)直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，如图2，设点M(x，－x2＋4x)，则点H(x，x)，则S△MOC＝MH×xC＝(－x2＋4x－x)＝－x2＋x，∵－＜0，故x＝时，S△MOC最大值为.