中考数学总复习精炼（含答案）：05与解直角三角形有关的应用题、一次函数图象、性质及应用

与解直角三角形有关的应用题

1.如图，A，B两个小岛相距10 km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的h km，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A，B，P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h.(结果取整数，≈1.732)

解：由题意得，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝10 km，在Rt△APM和Rt△BPM中，tan A＝＝，

tan B＝＝1，∴AM＝＝h，BM＝h，

∵AM＋BM＝AB＝10，∴h＋h＝10，

解得：h＝15－5≈6；答：h约为6 km.

2．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40 cm，∠ADE＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．(结果精确到1 cm；温馨提示：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)

解：设OE＝OB＝2x，∴OD＝DE＋OE＝190＋2x，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝95＋x，

∴BC＝OC－OB＝95＋x－2x＝95－x，

∵tan ∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9，∴OB＝2x＝18.

3．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1∶；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4.求斜坡CD的长．(结果保留根号)

解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1∶，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100，∵AC＝20，

∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1∶4，∴ED＝320，∴CD＝＝80米，

答：斜坡CD的长是80米．

4．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．

(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；

(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．(结果保留根号)

(参考数据：sin 37°＝cos 53°≈，cos 37°＝sin 53°≈，tan 37°≈，tan 76°≈4)

解：(1)AC＝AB·sin 37°＝25×＝15(海里)；

(2)过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，

D，C，M在一条直线上．在Rt△AMC中，

CM＝AC·sin ∠CAM＝15×＝12，

AM＝AC·cos ∠CAM＝15×＝9.在Rt△AMD中，

∴DM＝AM·tan 76°＝9×4＝36，

∴AD＝＝＝9，

CD＝DM－CM＝36－12＝24.设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6.经检验，

x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．

5．小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tan α＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．

(1)求BC的长度；

(2)假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置(障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边)，MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点(点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点)，求障碍物的高度．

解：(1)由题意得，∠ABC＝∠α，在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan ∠ABC＝tan α＝，

∴BC＝＝4.8 m，答：BC的长度为4.8 m；

(2)过D作DH⊥BC于H，则四边形ADHC是矩形，∴AD＝CH＝BE＝0.6，∵点M是线段BC的中点，∴BM＝CM＝2.4米，∴EM＝BM－BE＝1.8，

∵MN⊥BC，∴MN∥DH，∴△EMN∽△EHD，

∴＝，∴＝，∴MN＝0.6，

答：障碍物的高度为0.6米．

一次函数图象、性质及应用

1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2，6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1.

(1)求k，b的值；

(2)若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD＝S△BOC，求点D的坐标．

解：(1)点C的坐标为(1，3).将A(－2，6)，

C(1，3)代入y＝kx＋b，得：

解得：

(2)点B的坐标为(4，0).设点D的坐标为(0，m)

(m＜0)，∵S△COD＝S△BOC，即－m＝××4×3，

解得：m＝－4，∴点D的坐标为(0，－4).

2．在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A(2，3)，与x轴交于点B.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．

解：(1)设一次函数的解析式为：y＝kx＋b，

∵一次函数的图象平行于直线y＝x，∴k＝，

∵一次函数的图象经过点A(2，3)，∴3＝×2＋b，

∴b＝2，∴一次函数的解析式为y＝x＋2；

(2)一次函数的图象与x轴的交点为B(－4，0)，

∵点C在y轴上，∴设点C的坐标为(0，y)，

∵AC＝BC，∴＝

，∴y＝－，经检验：

y＝－是原方程的根，∴点C的坐标是(0，－).

3．如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h(单位：m)与下行时间x(单位：s)之间具有函数关系h＝－x＋6，乙离一楼地面的高度y(单位：m)与下行时间x(单位：s)的函数关系如图2所示．

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．

解：(1)设y关于x的函数解析式是y＝kx＋b，，解得，即y关于x的函数解析式是y＝－x＋6；

(2)当h＝0时，0＝－x＋6，得x＝20，当y＝0时，0＝－x＋6，得x＝30，∵20＜30，∴甲先到达地面．

4．(金华一模)甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙再出发．在整个过程中，甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示．

(1)甲的速度为________千米/分，乙的速度为________千米/分；

(2)当乙到达终点A后，甲还需________分钟到达终点B；

(3)请通过计算回答：当甲、乙之间的距离为10千米时，甲出发了多少分钟？

解：(1)由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，甲的速度是1÷6＝千米/分钟，由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得10x＋16×＝16，解得x＝，即乙的速度为千米/分钟；

(2)甲、乙相遇时，乙所行驶的路程：10×＝(千米)，相遇后乙到达A地还需(16×)÷＝2(分钟)，相遇后甲到达B地还需(10×)÷＝80(分钟)，当乙到达终点A时，甲还需80－2＝78(分钟)到达终点B.

(3)10÷＝60(分钟)，设甲出发了x分钟后，甲、乙之间的距离为10千米时，根据题意得，x＋(x－6)＝16－10，解得x＝，答：甲出发了或60分钟后，甲、乙之间的距离为10千米．

5．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋1(k≠0)与直线x＝k，直线y＝－k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝－k交于点C.

(1)求直线l与y轴的交点坐标；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W.

①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；

②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．

解：(1)令x＝0，y＝1，∴直线l与y轴的交点坐标(0，1)；

(2)由题意，A(k，k2＋1)，B(，－k)，

C(k，－k)，①当k＝2时，A(2，5)，B(－，－2)，C(2，－2)，在W区域内有6个整数点：(0，0)，

(0，－1)，(1，0)，(1，－1)，(1，1)，(1，2)；

②直线AB的解析式为y＝kx＋1，当x＝k＋1时，

y＝－k＋1，则有k2＋2k＝0，∴k＝－2，

当0＞k≥－1时，W内没有整数点，

∴当0＞k≥－1或k＝－2时W内没有整数点．