山东省青岛市即墨区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

2021-2022学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或者选出的标号超过一个的不得分。

1．如果2是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，那么c的值是（　　）

A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2

2．有五张反面相同的卡片的正面分别写有“我”“的”“中”“国”“梦”，五张卡片洗匀后将其反面朝上放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“中国”的概率是（　　）

A． B． C． D．

3．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，DE＝4，则DF的长是（　　）

A． B． C．6 D．10

4．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）

A．6米 B．6米 C．3米 D．3米

5．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（　　）

A．30 B．n（n﹣1）＝30 C．30 D．n（n+1）＝30

6．根据表格对应值：

判断关于x的方程ax2+bx+c＝2的一个解x的范围是（　　）

A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定

7．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABF＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．

8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEFS△ABF．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（每小题3分，共18分）

9．方程x2＝4x的根是 　 　．

10．若，则　 　．

11．一个不透明的布袋中，装有红、白两种只有颜色不同的小球，其中红色小球有8个，为估计袋中白色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色放回，再次搅匀…100次试验发现摸到红球20次，则估计白色小球的数目是 　 　个．

12．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫作黄金矩形．从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于26厘米，那么相邻一条边的边长等于 　 　厘米．

13．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，点H是AF的中点，那么CH的长是 　 　．

14．如图，在△ABC中，BC＝16．

如图甲，B1是AB的中点，BC∥B1C1，则B1C1＝8．

如图乙，B1、B2是AB的三等分点，BC∥B1C1∥B2C2，则B1C1+B2C2＝　 　；

如图丙，B1、B2、…、Bn是AB的（n+1）等分点，BC∥B1C1∥B2C2∥…∥Bn∁n，则BC+B1C+B2C2+…+Bn∁n＝　 　．

三、作图题（本题满分4分）用圆直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

15．小明想利用一块三角形纸片裁剪一个菱形，要求一个顶点为A，另外三个顶点分别在三角形的三边上，请你在原图上利用尺规作图把这个菱形作出来．

四、解答题（本题共有9道题，满分74分）

16．解方程

（1）配方法解方程2x2﹣12x﹣12＝0；

（2）（x+2）（x+3）＝1．

17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+＝0有两个实数根，求a的非负整数解．

18．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一球，记下数字后放回，摇匀，再从中摸出一球，记下数字.....若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

19．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同．

（1）求这个增长率；

（2）求3月份的利润是多少万元？

20．如图，△ABC是等边三角形，CE是∠ACB的外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E．

（1）求证：△ABD∽△CED；

（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

21．如图，在▱ABCD中，点F是边BC的中点，连接AF并延长交DC的延长线于点E，连接AC、BE．

（1）求证：AB＝EC；

（2）若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC是怎样的特殊四边形？请证明你的结论．

22．水果店老板以每斤2元的价格购进苹果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，每斤苹果的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，老板决定降价销售．

（1）若每斤售价降低0.5元，则每天的销售量是 　 　斤．

（2）若每斤售价降低x元，则每天的销售量是 　 　斤（用含x的代数式表示，需要化简）；

（3）水果店老板要想通过销售苹果每天盈利300元，需将每斤苹果的售价定为多少元？

23．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．

探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？

如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍．

∵正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，

∴EF＝FG＝GH＝HE．

设EB＝x，则BFx，

∴Rt△AEB≌Rt△BFC，

∴x．

在Rt△AEB中，由勾股定理，得

x2+（x）2＝12，

解得x1＝x2．

∴BE＝BF，即点B是EF的中点．

同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．

∴存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍．

探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？请说明理由．（仿照上述方法，完成探究过程）

探究三：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？　 　（填“存在”或“不存在”）；

....．

探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？请说明理由．（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）．

24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，F交AD于E，交DC于点F，同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t＜4）．

（1）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；

（2）设△PEF的面积为S（cm2），求出面积S关于时间t的表达式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻使S△PCF：S矩形ABCD＝1：16？若存在，求出t的值；

（4）是否存在某一时刻，使P在EF的垂直平分线上，若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由.