山东省淄博市2022届高三数学三模试卷及答案

 高三数学三模试卷

一、单选题

1．若集合，，则 （　　）

A． B．

C． D．

2．已知条件直线与直线平行，条件，则是的（　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（　　）

A．1 B． C．2 D．4

4．若球的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体积为（　　）

A． B． C． D．

5．如图在中，，为中点，，，，则（　　）

A．-15 B．-13 C．13 D．14

6．已知，且，则（　　）

A． B． C．-1 D．1

7．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得，则的最小值是（　　）

A．16 B．2 C． D．

8．正边形内接于单位圆，任取其两个不同顶点、，则的概率是（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知矩形中，．若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线的焦点，另外两点在双曲线上，则该双曲线的离心率可为（　　）

A． B． C． D．

10．已知复数，满足，下列说法正确的是（　　）

A．若，则 B．

C．若，则 D．

11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（　　）

A．事件与事件相互独立

B．

C．

D．

12．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（　　）

A．的图象关于对称

B．

C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增

D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为

三、填空题

13．若，则　     　．

14．设．若，则　     　．

15．设随机变量，满足．若，则　     　．

16．已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，方差为．其中三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为　     　万元/平方米，二线城市房价的方差为　     　

四、解答题

17．已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．

（1）求函数的解析式；

（2）记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．

18．设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．选修4-4：坐标系与参数方程

元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万

元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6 折，若摇出2个幸运号则打7 折；若摇出1个幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.

（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；

（2）若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.

20．已知如图，在多面体中，，，为的中点，，，平面．

（1）证明：四边形为矩形；

（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．

21．如图，已知椭圆的离心率，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆的右顶点，过点且斜率不为的直线与椭圆相交于点（点在之间），若为线段上的点，且满足，证明：．

22．已知，为函数的两个零点，，曲线在点处的切线方程为，其中为自然对数的底数．

（1）当时，比较与的大小；

（2）若，且，证明：．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】C

7．【答案】B

8．【答案】B

9．【答案】A,C,D

10．【答案】B,D

11．【答案】B,D

12．【答案】B,C

13．【答案】7

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】2；29.9

17．【答案】（1）解：因为，

设函数的周期为，由题意，即，解得，

所以

（2）解：由得：，即，解得，

因为，所以，

因为的平分线交于，

所以，即，可得，

由余弦定理得：，，而，

得，因此.

18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由得：，整理得，

因为，，成等比数列，所以，

解得（舍去），或，又由，

解得，，满足条件，故

（2）解：由（1）得，所以，

所以，

所以，

则，

两式相减得：

.

所以

19．【答案】（1）解：选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件，则，故所求概率．

（2）解：若选择方案一，则需付款（万元）．

若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，

，

，，

故的分布列为

所以（万元）（万元），

所以选择第二种方案根划算．

20．【答案】（1）证明：因为，，为的中点，

所以，且，

又因为，所以，因为，

所以四边形为平行四边形，

因为平面，平面，所以，所以，

因为，平面，所以平面， 平面，

所以，所以四边形为矩形．

（2）解：由（1）可知，平面，平面，平面，所以，，

所以三棱锥的体积

，

当且仅当时等号成立，此时，

据（1），以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示．

由已知可得下列点的坐标：，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则，

即，取，则，，

所以平面的一个法向量为，

因为是平面的法向量，

设平面与平面夹角为，则，

故平面与平面夹角的余弦值为．

21．【答案】（1）解：由题设可知，，即，

因为，，所以，，

所以，，，

所以椭圆的标准方程为

（2）证明：由（1）可知，设直线的方程为，其与椭圆的交点为，

联立，得，

，即，

所以，，

设点，因为，所以，

即，所以

所以，，

因为点在直线上，因为直线垂直平分线段，

所以，

即，

因为为的一个外角，

所以

22．【答案】（1）解：令，因为

所以函数的两个零点分别是，，

，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

所以，

若，则，即

（2）解：，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

记，

，

，，

所以在上单调递增，又，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以在处取得极小值，即，

即当时，，

设的正根为，则，

所以，因为是增函数，

，即，

结合（1），设的根为，则，

因为为减函数，，

所以，

所以，  

设，，

所以在上单调递增，，

所以，所以，

所以，  

，，所以单调递增，

因为，，

所以存在唯一，使得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

因为，

若关于的方程有两个正根，必有，

所以，所以