山东省淄博市2019届高三数学一模考试试卷及答案

这是一份山东省淄博市2019届高三数学一模考试试卷及答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学一模考试试卷
一、单选题
1.设全集 ，集合 ， ，则 （  ）
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
2.若复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部为（  ）
A.                                          B.                                          C.                                          D. 1
3.命题“ ， ”的否定是（  ）
A. 不存在 ，                       B. ，
C. ，                               D. ，
4.设 为等差数列 的前 项和，且 ，则 （  ）
A. 72                                         B. 36                                         C. 18                                         D. 9
5.已知直线 和两个不同的平面 ， ，则下列结论正确的是（  ）
A. 若 ， ，则                             B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则                              D. 若 ， ，则
6.在某项测量中，测得变量     .若 在 内取值的概率为0.8，则 在 内取值的概率为（  ）
A. 0.2                                        B. 0.1                                        C. 0.8                                        D. 0.4
7.一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示.若该三棱柱的外接球的表面积为 ，则侧视图中的 的值为（  ）

A.                                         B. 9                                        C.                                         D. 3
8.已知直线 与双曲线 交于 两点，以 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（   ）
A.                                         B.                                         C. 2                                        D. 
9.已知 ， ，点 的坐标 满足 ，则 的最小值为（  ）
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
10.已知 ， ，设 ， ， ，则 的大小关系是（  ）
A.                            B.                            C.                            D. 
11.已知直线 ： 与圆 ： ，直线 与圆 相交于不同两点 .若 ，则 的取值范围是（  ）
A.                              B.                              C.                              D. 
12.函数 ，若 最大值为 ，最小值为 ，则（  ）
A. ，使                          B. ，使
C. ，使                           D. ，使
二、填空题
13.展开式的常数项是________．
14.古代埃及数学中发现有一个独特现象：除 用一个单独的符号表示外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如 ，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人 ，不够，每人 ，余 ，再将这 分成5份，每人得 ，这样每人分得 .形如 的分数的分解： ， ， ，按此规律， ________ ．
15.如图所示，平面 平面 ， ，四边形 为正方形，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为________．

16.已知抛物线 ： 上一点 ，点 是抛物线 上的两动点，且 ，则点 到直线 的距离的最大值是________．
三、解答题
17.在 中，角 的对边分别为 ，且满足 .
（1）.求角 ；
（2）.若 ， 的面积为 ，求 的周长.
18.如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ， 平面 ，点 在棱 上.

（1）求证：平面 平面 ；
（2）若直线 平面 ，求此时直线 与平面 所成角的正弦值.
19.已知点 的坐标分别为 ， .三角形 的两条边 ， 所在直线的斜率之积是 .
（1）求点 的轨迹方程；
（2）设直线 方程为 ，直线 方程为 ，直线 交 于 ，点 ， 关于 轴对称，直线 与 轴相交于点 .若 的面积为 ，求 的值.
20.春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在 范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在 范围内取值（每天进1次货）.商店每销售1盒礼盒可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1盒礼盒亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1盒礼盒可获利30元.设该礼盒每天的需求量为 盒，进货量为 盒，商店的日利润为 元.
（1）求商店的日利润 关于需求量 的函数表达式；
（2）试计算进货量 为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最大值.
21.已知函数 .
（1）若 是 的极大值点，求 的值；
（2）若 在 上只有一个零点，求 的取值范围.
22.选修4-4：坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，且 的长度为 ，求直线 的普通方程.
23.已知 ．
（1）当m＝－3时，求不等式 的解集；
（2）设关于x的不等式 的解集为M，且 ，求实数m的取值范围.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】
【分析】利用指数不等式和指数函数的单调性求出集合A,再利用交集和补集的运算法则求出的值。
2.【答案】 D
【解析】【解答】 ， ，
则z的共轭复数 的虚部为1．
故答案为：D．
【分析】利用复数的混合运算法则求出复数z再利用复数与共轭复数的关系求出复数的共轭复数的虚部。
3.【答案】 C
【解析】【解答】由全称命题的否定是特称命题可得命题 的否定是
“ ”
故答案为：C
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系找出全称命题的否定。
4.【答案】 B
【解析】【解答】因为数列 是等差数列，
所以 可以构成等式 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B。
【分析】利用等差中项的公式结合项与项之间的关系式的已知条件求出数列第五项，再利用等差数列的性质结合等差数列前n项和公式求出等差数列前9项的和。
5.【答案】 A
【解析】【解答】 选项： 内存在直线 ，使得 ；若 ，则 ；又 ，所以 ， 选项正确；
其余三个选项均可利用正方体进行排除，如图所示：

选项：平面 平面 ， 平面 ，而 平面 ，可知 选项错误；
选项： 平面 ， 平面 ，而平面 平面 ，可知 选项错误；
选项：平面 平面 ， 平面 ，而 平面 ，可知 选项错误.
故答案为：
【分析】利用面面垂直的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理找出正确的结论。
6.【答案】 D
【解析】【解答】因为 符合正态分布 ，
所以曲线的对称轴是 ，
因为 在 内取值的概率为0.8，
所以 在 内取值的概率为0.4。
故答案为：D
【分析】利用正态分布的求概率的方法结合已知条件求出离散型随机变量在（1,2）内取值的概率。
7.【答案】 A
【解析】【解答】将三视图还原后，可得如图所示的正三棱柱 ：

为外接球球心， 为 外接圆圆心，由球的性质可知： 平面
球的表面积 ，即
又 ，
由 可得：
解得：
故答案为：
【分析】利用三角形外接球的位置关系结合球的性质得出线面垂直，再利用球的表面积公式求出球的半径，从而求出OB的值，再利用线段之间的关系式结合直角三角形勾股定理求出x的值。
8.【答案】 D
【解析】【解答】由题意可得图像如下图所示： 为双曲线的左焦点

为圆的直径   
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 为矩形

又 ，可得：

故答案为：
【分析】利用直线与双曲线相交求出交点A,B的坐标，再利用中点坐标公式求出圆心，利用A,B两点距离公式求出圆的直径，从而求出圆的半径，从而求出圆的标准方程，再利用圆经过双曲线的右焦点结合三角形面积公式求出关于a,c的关系式，再利用离心率公式求出双曲线离心率。
9.【答案】 C
【解析】【解答】可行域如下图所示：

，

的最小值为点 到可行域内点的距离的平方的最小值减
由图像可知，点 到可行域的最短距离为其到直线 的距离


故答案为：
【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用数量积的坐标表示线性目标函数，再利用可行域结合图形结构特征，用点到直线的距离结合线性目标函数求最值的方法求出数量积的最小值。
10.【答案】 A
【解析】【解答】 在 上单调递减



.
可得：
故答案为：
【分析】利用对数函数的单调性比较出对数的大小，再借助正弦函数的单调性，利用复合函数的单调性，即同单调性增异单调性减的性质判断出a,b,c的大小关系。
11.【答案】 B
【解析】【解答】圆 方程可化为：     ，圆 半径
   
即

   
设圆心 到直线 的距离为
则    
又直线 与圆 相交，可得
即    
综上所述：
故答案为：
【分析】利用圆的一般方程转化为标准方程求出圆心和半径，再利用向量模之间关系的已知条件结合数量积表示模的方法，借助点到直线的距离公式求出m的取值范围，再利用直线与圆相交的位置关系的判断方法求出m的取值范围，最后两个m的范围求交集得出m的取值范围。
12.【答案】 D
【解析】【解答】    
 
，
选项： ，所以 错误；
选项： .
    ，所以 错误；
选项： ，所以 错误；
选项：


设    
可知： ，所以 正确.
故答案为：
【分析】利用和差角的正弦公式结合同角三角函数基本关系式，最后用辅助角公式将函数转化为三角型函数，再利用三角型函数与正弦函数的关系，借助换元法利用正弦函数的图象求出三角型函数的最值，从而最大值和最小值的关系式找出正确的命题。
二、填空题
13.【答案】 -8
【解析】【解答】因为 的通项为 ，
所以展开式的常数项为 。
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，再利用展开式的通项公式求出常数项。
14.【答案】
【解析】【解答】


以此类推得：
本题正确结果：
【分析】根据实际问题的已知条件结合归纳推理的方法，由前几个数的分解找出规律，从而得到第n个数的分解。
15.【答案】
【解析】【解答】由题目中的位置关系，可将原图补为如图所示的直四棱柱：

    异面直线 与 所成角即为直线 与 所成角
由余弦定理可得：
，又
.
本题正确结果：
【分析】利用直四棱柱的结构特征和已知条件找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求出异面直线所成角的余弦值。
16.【答案】
【解析】【解答】设直线 的方程为 ， ， ，
联立直线 的方程与抛物线方程，则有 ，即 ， ，
因为直线 与抛物线方程有两个交点，
所以 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
，
解得 或者 ，
化简可得 或者
因为 ，所以 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 ，故直线 过定点 ，
当 垂直于直线 时，点 到直线 的距离取得最大值，
最大值为 ，故答案为 。
【分析】利用两点A,B的坐标设出直线的两点式方程，再转化为直线的斜截式方程，再利用点A,B在抛物线上推出直线与抛物线相交，再利用直线与抛物线相交联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用点M,A,B的坐标结合这三个点有关的数量积为0的关系式，用数量积的坐标表示求出直线斜率m和直线纵截距n的关系式，再利用当 垂直于直线 时，点 到直线 的距离取得最大值，借助两点距离公式求出点 到直线 的距离的最大值。
三、解答题
17.【答案】 （1）解：因为 ，
所以 ，
即
由 ，得 ，
得 ，因为 ，所以 ；

（2）解：由余弦定理 ，
得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 周长为 。
【解析】【分析】（1）利用正弦定理的变形结合已知条件的关系式，借助两角和的正弦公式和三角形三内角和为180度求出角A的值。
（2）利用余弦定理和第一问求出的角A的值，借助三角形面积公式求出b+c的值，再利用已知条件a的值借助三角形周长公式求出三角形的周长。
18.【答案】 （1）解：因为 平面 ，所以 ，

又因为 ， ， ，
由 ，可得 ，
所以 ， ，即 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面

（2）解：以点 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，
如图所示，建立空间直角坐标系，

其中 ， ， ， ， .
从而 ， ， ，
设 ，从而得 ， ，
设平面 的法向量为 ，
若直线 平面 ，满足 ，
即 ，
得 ，取 ，且 ，
直线 与平面 所成角的正弦值等于
【解析】【分析】（1）利用四棱锥的结构特征结合已知条件，用线线垂直证出线面垂直，再利用线面垂直证出面面垂直。
（2）利用四棱锥的结构特征结合已知条件和线面平行的性质定理找出线面角，再利用空间向量求线面角的方法求出线面角的正弦值。
19.【答案】 （1）解：设点 的坐标为 ，因为点 的坐标分别为 、 ，
所以直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
由题目可知 ，化简得点 的轨迹方程

（2）解：直线 的方程为 ，与直线 的方程 联立，
可得点 ，故 .
将 与 联立，消去 ，整理得 ，
解得 ，或 ，根据题目可知点 ，
由 可得直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，故 ，
所以 ， 的面积为
又因为 的面积为 ，故 ，
整理得 ，解得 ，所以 。
【解析】【分析】（1）利用两点A,B的坐标，结合由A,M两点坐标求出的直线AM的斜率与由B,M两点坐标求出的直线BM的斜率之积为的已知条件求出点M的轨迹方程为椭圆。
（2）利用直线方程为 ，直线的方程为 ，直线 交 于 的已知条件，用直线AM和直线l的方程联立求出交点P的坐标，再利用点 ，关于 轴对称，由P的坐标求出Q的坐标，再利用点M,Q的坐标求出直线的两点式方程，再利用直线与 轴相交于点 求出点D的坐标，再利用点A,P,D三点的坐标结合三角形面积公式求出m的值。
20.【答案】 （1）解：由于礼盒的需求量为 ，进货量为 ，商店的日利润 关于需求量 的函数表达式为：
，即

（2）解：日利润 的分布列为：






















日利润 的数学期望为：
，
，
，
结合二次函数的知识，当 时，日利润 的数学期望最大，最大值为958.5元。
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件建立满足要求的数学模型为分段函数模型，从而确定出商店的日利润 关于需求量 的函数表达式。
（2）利用第一问求出的分段函数的模型结合已知条件求出日利润y的分布列，再利用日利润y的分布列结合离散型随机变量数学期望公式求出日利润y的数学期望，并利用二次函数求最值的方法求出日利润y的数学期望的最大值。
 
21.【答案】 （1）解： ，
因为 是 的极大值点，所以 ，解得 ，
当 时， ， ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ；当 时， ，
故 是 的极大值点

（2）解：令 ， ，
在 上只有一个零点即 在 上只有一个零点,
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以 .
（Ⅰ）当 ，即 时， 时， 在 上只有一个零点，即 在 上只有一个零点.
（Ⅱ）当 ，即 时，取 ， ，
①若 ，即 时， 在 和 上各有一个零点，即 在 上有2个零点，不符合题意；
②当 即 时， 只有在 上有一个零点，即 在 上只有一个零点，
综上得，当 时， 在 上只有一个零点。
【解析】【分析】（1）利用 是 的极大值点的已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值。
（2）利用分类讨论的方法借助求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再利用在 上只有一个零点的已知条件，借助零点存在性定理求出a的取值范围。
22.【答案】 （1）解：将 代入曲线 极坐标方程得：
曲线 的直角坐标方程为：
即

（2）解：将直线的参数方程代入曲线方程：
整理得
设点 ， 对应的参数为 ，
解得 ，
则
，因为
得 和
直线 的普通方程为 和
【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，将曲线C的极坐标方程转化为曲线C的直角坐标方程。
（2）利用直线与曲线C相交的位置关系，将直线l的参数方程代入曲线C的方程求交点A，b的有关参数的坐标，再利用两点距离公式结合 的长度为 的已知条件求出直线的倾斜角，再利用直线倾斜角与直线斜率的关系式求出直线的斜率，再利用斜截式和一般式求出直线l的普通方程。
23.【答案】 （1）解：当 时，
原不等式等价于
故有 或 或
解得： 或 或
综上，原不等式的解集

（2）解：由题意知 在 上恒成立，
即 在 上恒成立
所以
即 在 上恒成立
所以
即 在 上恒成立
由于 ，
所以 ，即 的取值范围是
【解析】【分析】（1）利用m的值代入函数解析式中确定函数解析式，再利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。
（2）利用绝对值不等式恒成立问题的解决方法结合集合包含关系的判断方法，借助数轴用分类讨论的方法求出m的取值范围。