【压轴精讲】数学中考培优竞赛专题 第10讲 最值问题之三角形三边关系（含答案）学案

这是一份【压轴精讲】数学中考培优竞赛专题 第10讲 最值问题之三角形三边关系（含答案）学案，共19页。学案主要包含了例题讲解，巩固练习，另外三种情况等内容，欢迎下载使用。

第10讲 最值问题之三角形三边关系

模型讲解

问题：在直线l上找一点P，使得的值最大
解析：连接AB，并延长与1交点即为点P.
证明：如图，根据△ABP三边关系，BP-AP< AB，即PB - PA< PB - PA

【例题讲解】
例题1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为
____________.

【解答】
解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∠MON=90°，AB=2 OE=AE=AB=1，
BC=1，四边形ABCD是矩形， AD=BC=1， DE=，
根据三角形的三边关系，OD 故答案为：+1.


【总结】
1、我们如何知道是哪个三角形呢？
我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边”。




【巩固练习】
1、如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为____________.


2、在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是___________________.


3、如右图，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为___________________.

4、如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限.其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm
（1）若OB=6cm.
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值=_____________cm.



5、如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，已知BC//x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=BC，且AC=BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若Q为直线AB上一点，点D为抛物线与x轴的另一个交点，求|QC-QD|的取值范围.







模型讲解

如图，在⊙O外有一点P，在圆上找一点Q，使得PQ最短

在⊙O上任取一点Q，连接QO和OP，在△OQP中，根据三角形三边关系，
0Q+QP>OP OP=0Q+QP，且OQ=0Q 0Q+QP>0Q+QP QP>QP
所以连接OP，与圆的交点即为所求点Q，此时PQ最短.

【另外三种情况】

点P在圆外，PQ最长 点P在圆内，PQ最长 点P在圆内，PQ最短

【总结】可见，点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系。

【例题讲解】
例题1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EBF，连接BD，则BD的最小值是___________.

【解析】
如图，根据已知条件，在△EBD中，我们发现，EB为定值2，ED根据勾股定理计算可得也为定值，而BD即为要我们求的那条边，所以我们就知道，△EB'D就是我们要找的三角形，
BD≤ED-EB 当B在ED上时，BD最小
BD的最小值为-2




【巩固练习】
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_______________.

2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a>0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值_______________.

3、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是_____________.


4、如图，已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是________________.


5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△BCP，连接BA，则BA长度的最小值是________________.

6、如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△AMN，连接AC，则AC长度的最小值是____________.


7、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是____________.


8、如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为______________.

9、如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作，将一块直角三角板的直角顶点P放置在（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，则△CPQ周长的最小值为____________.








10、问题情境：如图1，P是⊙0外的一点，直线PO分别交⊙0于点A、B，则PA是点P到⊙0上的点的最短距离.


（1）探究：
如图2，在⊙0上任取一点C（不为点A、B重合），连接PC、OC.试证明：PA （2）直接运用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是______________.
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△AMN，连接AC，请求出AB长度的最小值.
解：由折叠知AM=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA=MD，故点A在以AD为直径的圆上.（请继续完成解题过程）
（4）综合应用：
①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H. 若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________.
②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（-2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于________________.





1.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴CD＝×2＝，
∵∠MON＝90°，
∴OD＝AB＝×2＝1，
由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，
最大值为+1．
故答案为：+1．



2.解：如图，取CA的中点D，连接OD、BD，
则OD＝CD＝AC＝×4＝2，
由勾股定理得，BD＝＝2，
当O、D、B三点共线时点B到原点的距离最大，
所以，点B到原点的最大距离是2+2．
故答案为：2+2．



3.解：当O、D、AB中点共线时，OD有最大值和最小值，
如图，BD＝2，BK＝1，
∴DK＝＝，OK＝BK＝1，
∴OD的最大值为：1+，
同理，把图象沿AB边翻折180°得最小值为：1+﹣1×2＝﹣1，
∴顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为：（+1）（﹣1）＝12．
故答案为：12．



4.解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：

在Rt△AOB中，AB＝12，OB＝6，则BC＝6，
∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，
又∵∠CBA＝60°，
∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°，
∴BD＝3，CD＝3，
所以点C的坐标为（﹣3，9）；
②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：

AO＝12×cos∠BAO＝12×cos30°＝6．
∴A'O＝6﹣x，B'O＝6+x，A'B'＝AB＝12
在△A'O B'中，由勾股定理得，
（6﹣x）2+（6+x）2＝122，
解得：x＝6（﹣1），
∴滑动的距离为6（﹣1）；
（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：

则OE＝﹣x，OD＝y，
∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵∠AEC＝∠BDC＝90°，
∴△ACE∽△BCD，
∴，即，
∴y＝﹣x，
OC2＝x2+y2＝x2+（﹣x）2＝4x2，
∴取AB中点D，连接CD，OD，则CD与OD之和大于或等于CO，当且仅当C，D，O三点共线时取等号，此时CO＝CD+OD＝6+6＝12，
故答案为：12．


5.解：（1）∵OA＝BC，AC＝BC
∴设OA＝3k，AC＝BC＝5k（k＞0）
∴OC＝
∵当x＝0时，y＝ax2﹣10ax+c＝c
∴C（0，c），即OC＝c＝4k
∴k＝
∴A（﹣，0）B（，c）
∵抛物线经过点A、B
∴
解得：
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+8
（2）如图2，在x轴上截取AE＝AC，连接QE
∵AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA
∵CB∥x轴
∴∠CBA＝∠BAD
∴∠CAB＝∠BAD
在△ACQ与△AEQ中

∴△ACQ≌△AEQ（SAS）
∴QC＝QE
∴|QC﹣QD|＝|QE﹣QD|≤DE
∵y＝0时，﹣x2+x+8＝0，解得：x1＝﹣6，x2＝16
∴A（﹣6，0），D（16，0）
∴AE＝AC＝＝10
∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AC＝16﹣（﹣6）﹣10＝12
∴0≤|QC﹣QD|≤12




1.解：如图1，取BC的中点E，
连接AE，交半圆于P'，在半圆上取一点P，连接AP，EP，
在△AEP中，AP+EP＞AE，
即：AP'是AP的最小值，
∵AE＝，P'E＝1，
∴AP'＝﹣1；
故答案为：﹣1；


2.解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
∴PA＝AB＝AC＝a，
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，
∵A（1，0），D（4，4），
∴AD＝5，
∴AP′＝5+1＝6，
∴a的最大值为6．
故答案为6．


3.解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，
∵∠OP1B＝90°，
∴OP1∥AC
∵AO＝OB，
∴P1C＝P1B，
∴OP1＝AC＝4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值＝5+3＝8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故答案为：9．


4.解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，

则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，
∴5×CM＝16，
∴CM＝，
∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最小距离是 ﹣1＝，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×＝，
故答案是：．

5.解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC＝＝＝4，
由轴对称的性质可知：BC＝CB′＝3，
当A、B′、C三点在一条直线上时，B′A有最小值，
∴B′Amin＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．
故答案为：1．



6.解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，
交CD的延长线于点E；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，
∵点M为AD的中点，∠BCD＝30°，
∴DM＝MA＝2，∠MDE＝∠BCD＝30°，
∴ME＝DM＝1，DE＝，
∴CE＝CD+DE＝4，由勾股定理得：
CM2＝ME2+CE2，
∴CM＝7；由翻折变换的性质得：MA′＝MA＝2，
显然，当折线MA′C与线段MC重合时，
线段A′C的长度最短，此时A′C＝7﹣2＝5，
故答案为5．



7.解：作A点关于直线DC的对称点A′，连接BD，DA′，
可得A′A⊥DC，则∠BAA′＝90°，故∠A′＝30°，
则∠ABA′＝60°，∠ADN＝∠A′DN＝60°，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ADB+∠ADA′＝180°，
∴A′，D，B在一条直线上，
由题意可得出：此时P与D重合，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，
∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴AB＝AD，则△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD＝3，
∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
∴PE＝1，DF＝2，
∴PE+PF的最小值是3．
故答案为：3．



8.解：∵EF＝2，点G为EF的中点，
∴DG＝1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB＝2，AD＝3，
∴AA′＝4，
∴A′D＝5，
∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4；
∴PA+PG的最小值为4；
故答案为4．



9.解：△CPQ的周长＝PQ+QC+CP＝BQ+QC+CP＝BC+PC＝1+PC；
又∵PC≥AC﹣PA＝﹣1，
∴△CPQ的周长≥1+﹣1＝，
即当点P运动至点P0时，△CPQ的周长最小值是．
10.解答：（1）证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC．
∵PO＜PC+OC，PO＝PA+OA，OA＝OC，
∴PA＜PC，
∴PA是点P到⊙O上的点的最短距离；
（2）解：连接AO与⊙O相交于点P，如图3，由已知定理可知，
此时AP最短，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BC为直径，
∴PO＝CO＝1，
∴AO＝＝，
∴AP＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（3）解：如图4，由折叠知A′M＝AM，又M是AD的中点，可得MA＝MA′＝MD，
故点A′在以AD为直径的圆上，
由模型可知，当点A′在BM上时，A′B长度取得最小值，
∵边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，
∴BM＝＝，
故A′B的最小值为：﹣1；

（4）①解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
故答案为：﹣1；
②解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图6，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（﹣2，3），
∴点A′坐标（﹣2，﹣3），
∵点B（3，4），
∴A′B＝＝，
∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴PM+PN的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．