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广东省深圳实验学校中学2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】
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这是一份广东省深圳实验学校中学2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共28页。试卷主要包含了方程x2＝4的根为，两个相似多边形的面积之比是1，函数y＝的图象大致是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳实验学校中学部九年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（每题3分，共30分）
1．方程x2＝4的根为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝±2
2．下列四个点，在反比例函数y＝﹣的图象上的点是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（2，﹣1）
3．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
4．函数y＝的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．32×20﹣20x﹣30x＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
6．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（ ）
A．32米 B．28米 C．24米 D．16米
7．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
8．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AF＝1，则BC的长是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
9．如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弧交x轴于点B、C，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，BC＝4OC，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝③AD＝AH；④GH＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分，共15分
11．如果5a＝4b，那么＝ ．
12．在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 个．
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，若BD＝2AD，AE＝2，那么AC＝ ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，则AD的长度为 ．
三、解答题（共55分）
16．解方程：
（1）x2＝3x；
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
17．先化简，再求值：÷（a﹣），其中a是方程x2+x﹣6＝0的解．
18．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m＝ ，n＝ ，B等级所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）对甲、乙、丙、丁4名参加知识竞赛学生进行分组作业调查，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
19．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
20．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
21．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）求AB的长；
（2）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（3）直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值；
（4）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
22．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．
参考答案
一.选择题（每题3分，共30分）
1．方程x2＝4的根为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝±2
【分析】利用直接开平方法求解即可．
解：∵x2＝4，
∴x＝±2，
故选：D．
2．下列四个点，在反比例函数y＝﹣的图象上的点是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（2，﹣1）
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征进行判断．
解：把y＝﹣化简后得xy＝﹣2，
∵1×2＝2，﹣1×（﹣2）＝2，2×1＝2，2×（﹣1）＝﹣2，
∴点（2，﹣1）是反比例函数y＝﹣图象上的点，
故选：D．
3．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比．
解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，
∴这两个相似多边形的相似比是1：2，
则这两个相似多边形的周长之比是1：2，
故选：A．
4．函数y＝的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
解：∵y＝中，k＝2＞0，
∴函数图象是双曲线，图象在第一、三象限，
只有B选项符合题意．
故选：B．
5．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．32×20﹣20x﹣30x＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
【分析】设道路的宽为x米，利用平移思想将横向道路向上平移，纵向道路向左平移，则余下部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设道路的宽为x米，将横向道路向上平移，纵向道路向左平移，则余下部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，
∴可得方程（32﹣x）（20﹣x）＝540，
矩形地面面积为32×20平方米，横向道路面积为32x平方米，纵向道路面积为20x平方米，两条道路的重叠部分面积为x2平方米，
∴可得方程32×20﹣20x﹣30x+x2＝540，
故A选项符合题意，B，C，D选项不符合题意；
故选：A．
6．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（ ）
A．32米 B．28米 C．24米 D．16米
【分析】因同学和大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
解：根据题意，易得到△ABP∽△PDC．
即＝
故CD＝×AB＝×1＝32米；
那么该大厦的高度是32米．
故选：A．
7．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜．
故选：A．
8．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AF＝1，则BC的长是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，进而可得FD的长，然后可得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝4，AD＝BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝4，
∵AF＝1，
∴AD＝4+1＝5，
∴BC＝5．
故选：B．
9．如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弧交x轴于点B、C，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，BC＝4OC，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC＝CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA＝1，进而根据题意求得S△AOE＝，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵以点A为圆心画弧交x轴于点B、C，
∴AB＝AC，
∴CE＝BE＝BC，
∵BC＝4OC，
∴，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴，
∵△BCD的面积等于1，OB＝OC+BC＝5OC，
∴，
∴S△CEA＝4S△COD＝4×＝1，
∵，
∴，
∴，
∵ （k＞0），
∴k＝3，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝③AD＝AH；④GH＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF＝∠CDE，由余角的性质可得CF⊥DE；由勾股定理可求DE的长，由面积法可求CH，由相似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即可判断②；如图，过点A作AM⊥DE，由△ADM≌△DCH，可得CH＝DM＝＝MH，由垂直平分线的性质可得AD＝AH；由平行线分线段成比例可求GH的长，即可判断④．
解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵DC＝6，CE＝3，
∴DE＝＝＝3，
∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴＝，故②正确；
如图，过点A作AM⊥DE，
∵DC＝6，CH＝，
∴DH＝＝＝，
∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠CDH＝∠DAM，且AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS）
∴CH＝DM＝，AM＝DH＝，
∴MH＝DM＝，且AM⊥DH，
∴AD＝AH，故③正确；
∵DE＝3，DH＝，
∴HE＝，ME＝HE+MH＝，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴AM∥CF，
∴，
∴＝
∴HG＝，故④正确，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共15分
11．如果5a＝4b，那么＝ ．
【分析】根据比的比性质可直接求解．
解：∵5a＝4b，
∴．
故答案为：．
12．在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 9 个．
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
解：由题意可得，
30×0.3＝9（个），
即袋子中白球的个数最有可能是9个，
故答案为：9．
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，若BD＝2AD，AE＝2，那么AC＝ 6 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵BD＝2AD，AE＝2，
∴＝，
解得：AC＝6，
故答案为：6．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为 ．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．
解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
∴BH＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
根据勾股定理得，CF＝＝＝．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，则AD的长度为 ．
【分析】过D作DM⊥BD交AB于M，过M作MN⊥AC于N，由勾股定理的BC＝12，再证△DMN≌△BDC（AAS），得DN＝BC＝12，MN＝CD＝5，然后证△AMN∽△ABC，得＝，解得AN＝，即可求解．
解：如图，过D作DM⊥BD交AB于M，过M作MN⊥AC于N，
则∠BDM＝∠MND＝∠MNA＝90°，
在△BCD中，∠C＝90°，BD＝13，CD＝5，
∴BC＝＝＝12，
∵∠ABD＝45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴MD＝BD，
∵∠MND＝∠BDM＝90°，
∴∠DMN+∠MDN＝∠MDN+∠BDC＝90°，
∴∠DMN＝∠BDC，
在△DMN与△BDC中，
，
∴△DMN≌△BDC（AAS），
∴DN＝BC＝12，MN＝CD＝5，
∴CN＝DN+CD＝17，
∵MN⊥AC，BC⊥AC，
∴MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：AN＝，
∴AD＝AN+DN＝+12＝，
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．解方程：
（1）x2＝3x；
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法求解可得．
解：（1）移项，得x2﹣3x＝0，
因式分解，得x（x﹣3）＝0，
于是x＝0，或x﹣3＝0，
∴x1＝0，x2＝3；
（2）移项，得x2﹣2x＝4．
配方，得 （x﹣1）2＝5，
由此可得x﹣1＝，
∴x1＝，x2＝．
17．先化简，再求值：÷（a﹣），其中a是方程x2+x﹣6＝0的解．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据方程的解可得：a2+a＝6，整体代入计算可得．
解：∵a是方程x2+x﹣6＝0的解，
∴a2+a﹣6＝0，
∴a2+a＝6，
原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝
＝．
18．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m＝ 15 ，n＝ 5 ，B等级所占扇形的圆心角度数为 252° ．
（3）对甲、乙、丙、丁4名参加知识竞赛学生进行分组作业调查，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
【分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；
（2）根据（1）中补全的图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）被调查的总人数为4÷10%＝40（人），
∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），
补全图形如下：
（2）∵m%＝6÷40×100%＝15%，n%＝2÷40×100%＝5%，∴m＝15，n＝5；
B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，
故答案为：15，5，252°；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有4种，
∴甲和乙恰好分在同一组的概率为＝．
19．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案；
（3）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解集，可得答案．
解：（1）A（﹣5，n）B（3，﹣5）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣5n＝3×（﹣5），
∴m＝﹣15，n＝3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，点A的坐标是（﹣5，3），
将A、B两点坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C点坐标（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝8；
（3）不等式kx+b﹣＜0的解集是﹣5＜x＜0或x＞3．
20．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类服装的出厂价＝2019年该类服装的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）件，利用每天销售该服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合要减少库存即可得出结论．
解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）件，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）求AB的长；
（2）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（3）直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值；
（4）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可；
（3）分三种情况：①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，则BH＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，根据平行线分线段成比例定理得到，即解得t＝，②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，解得t＝，③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，通过△BGQ∽△ACB，得到比例式，解得：t＝．
（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝10cm；
（2）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，＝，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴＝，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，＝，
∴＝，解得，t＝；
∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；
（3）分三种情况：
①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，
则BH＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，
∴PH∥AC，
∴，即
解得：t＝，
②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，
解得：t＝，
③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，
则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，
∵△BGQ∽△ACB，
∴，
即，
解得：t＝．
综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：或或．
（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：
则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t＝．
22．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．
【分析】（1）通过证明△CAF∽△BAG，可得＝；
（2）过点C作CH∥EF，由“ASA”可证△CMH≌△FME，可得CH＝EF，ME＝HM，由“SAS”可证△BCH≌△BAE，可得BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，由三角形中位线定理可得结论；
（3）取AB中点O，连接ON，OQ，AF，由三角形中位线定理可得OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，则点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，即可求解．
解：（1）如图①，连接AF，AC，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAG，，
∴△CAF∽△BAG，
∴＝；
（2）BE＝2MN，MN⊥BE，
理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，
∵CH∥EF，
∴∠FCH＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，
∴CM＝MF，
又∵∠CMH＝∠FME，
∴△CMH≌△FME（ASA），
∴CH＝EF，ME＝HM，
∴AE＝CH，
∵CH∥EF，AG∥EF，
∴CH∥AG，
∴∠HCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，
∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，
∴∠BAE＝∠BCH，
又∵BC＝AB，CH＝AE，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，
∴∠HBE＝∠CBA＝90°，
∵MH＝ME，点N是BE中点，
∴BH＝2MN，MN∥BH，
∴BE＝2MN，MN⊥BE；
（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，
∵AE＝6，
∴AF＝6，
∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，
∴OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，
∴点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．
2021-2022学年广东省深圳实验学校中学部九年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（每题3分，共30分）
1．方程x2＝4的根为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝±2
2．下列四个点，在反比例函数y＝﹣的图象上的点是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（2，﹣1）
3．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
4．函数y＝的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．32×20﹣20x﹣30x＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
6．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（ ）
A．32米 B．28米 C．24米 D．16米
7．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
8．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AF＝1，则BC的长是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
9．如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弧交x轴于点B、C，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，BC＝4OC，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝③AD＝AH；④GH＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分，共15分
11．如果5a＝4b，那么＝ ．
12．在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 个．
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，若BD＝2AD，AE＝2，那么AC＝ ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，则AD的长度为 ．
三、解答题（共55分）
16．解方程：
（1）x2＝3x；
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
17．先化简，再求值：÷（a﹣），其中a是方程x2+x﹣6＝0的解．
18．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m＝ ，n＝ ，B等级所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）对甲、乙、丙、丁4名参加知识竞赛学生进行分组作业调查，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
19．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
20．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
21．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）求AB的长；
（2）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（3）直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值；
（4）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
22．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．
参考答案
一.选择题（每题3分，共30分）
1．方程x2＝4的根为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝±2
【分析】利用直接开平方法求解即可．
解：∵x2＝4，
∴x＝±2，
故选：D．
2．下列四个点，在反比例函数y＝﹣的图象上的点是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（2，﹣1）
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征进行判断．
解：把y＝﹣化简后得xy＝﹣2，
∵1×2＝2，﹣1×（﹣2）＝2，2×1＝2，2×（﹣1）＝﹣2，
∴点（2，﹣1）是反比例函数y＝﹣图象上的点，
故选：D．
3．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比．
解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，
∴这两个相似多边形的相似比是1：2，
则这两个相似多边形的周长之比是1：2，
故选：A．
4．函数y＝的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
解：∵y＝中，k＝2＞0，
∴函数图象是双曲线，图象在第一、三象限，
只有B选项符合题意．
故选：B．
5．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．32×20﹣20x﹣30x＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
【分析】设道路的宽为x米，利用平移思想将横向道路向上平移，纵向道路向左平移，则余下部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设道路的宽为x米，将横向道路向上平移，纵向道路向左平移，则余下部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，
∴可得方程（32﹣x）（20﹣x）＝540，
矩形地面面积为32×20平方米，横向道路面积为32x平方米，纵向道路面积为20x平方米，两条道路的重叠部分面积为x2平方米，
∴可得方程32×20﹣20x﹣30x+x2＝540，
故A选项符合题意，B，C，D选项不符合题意；
故选：A．
6．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（ ）
A．32米 B．28米 C．24米 D．16米
【分析】因同学和大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
解：根据题意，易得到△ABP∽△PDC．
即＝
故CD＝×AB＝×1＝32米；
那么该大厦的高度是32米．
故选：A．
7．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m＞ D．m≥
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜．
故选：A．
8．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AF＝1，则BC的长是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，进而可得FD的长，然后可得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝4，AD＝BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝4，
∵AF＝1，
∴AD＝4+1＝5，
∴BC＝5．
故选：B．
9．如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弧交x轴于点B、C，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，BC＝4OC，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC＝CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA＝1，进而根据题意求得S△AOE＝，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵以点A为圆心画弧交x轴于点B、C，
∴AB＝AC，
∴CE＝BE＝BC，
∵BC＝4OC，
∴，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴，
∵△BCD的面积等于1，OB＝OC+BC＝5OC，
∴，
∴S△CEA＝4S△COD＝4×＝1，
∵，
∴，
∴，
∵ （k＞0），
∴k＝3，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝③AD＝AH；④GH＝，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的性质可得AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF＝∠CDE，由余角的性质可得CF⊥DE；由勾股定理可求DE的长，由面积法可求CH，由相似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即可判断②；如图，过点A作AM⊥DE，由△ADM≌△DCH，可得CH＝DM＝＝MH，由垂直平分线的性质可得AD＝AH；由平行线分线段成比例可求GH的长，即可判断④．
解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵DC＝6，CE＝3，
∴DE＝＝＝3，
∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴＝，故②正确；
如图，过点A作AM⊥DE，
∵DC＝6，CH＝，
∴DH＝＝＝，
∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠CDH＝∠DAM，且AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS）
∴CH＝DM＝，AM＝DH＝，
∴MH＝DM＝，且AM⊥DH，
∴AD＝AH，故③正确；
∵DE＝3，DH＝，
∴HE＝，ME＝HE+MH＝，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴AM∥CF，
∴，
∴＝
∴HG＝，故④正确，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共15分
11．如果5a＝4b，那么＝ ．
【分析】根据比的比性质可直接求解．
解：∵5a＝4b，
∴．
故答案为：．
12．在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 9 个．
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
解：由题意可得，
30×0.3＝9（个），
即袋子中白球的个数最有可能是9个，
故答案为：9．
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，若BD＝2AD，AE＝2，那么AC＝ 6 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵BD＝2AD，AE＝2，
∴＝，
解得：AC＝6，
故答案为：6．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为 ．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．
解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
∴BH＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
根据勾股定理得，CF＝＝＝．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，则AD的长度为 ．
【分析】过D作DM⊥BD交AB于M，过M作MN⊥AC于N，由勾股定理的BC＝12，再证△DMN≌△BDC（AAS），得DN＝BC＝12，MN＝CD＝5，然后证△AMN∽△ABC，得＝，解得AN＝，即可求解．
解：如图，过D作DM⊥BD交AB于M，过M作MN⊥AC于N，
则∠BDM＝∠MND＝∠MNA＝90°，
在△BCD中，∠C＝90°，BD＝13，CD＝5，
∴BC＝＝＝12，
∵∠ABD＝45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴MD＝BD，
∵∠MND＝∠BDM＝90°，
∴∠DMN+∠MDN＝∠MDN+∠BDC＝90°，
∴∠DMN＝∠BDC，
在△DMN与△BDC中，
，
∴△DMN≌△BDC（AAS），
∴DN＝BC＝12，MN＝CD＝5，
∴CN＝DN+CD＝17，
∵MN⊥AC，BC⊥AC，
∴MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：AN＝，
∴AD＝AN+DN＝+12＝，
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．解方程：
（1）x2＝3x；
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法求解可得．
解：（1）移项，得x2﹣3x＝0，
因式分解，得x（x﹣3）＝0，
于是x＝0，或x﹣3＝0，
∴x1＝0，x2＝3；
（2）移项，得x2﹣2x＝4．
配方，得 （x﹣1）2＝5，
由此可得x﹣1＝，
∴x1＝，x2＝．
17．先化简，再求值：÷（a﹣），其中a是方程x2+x﹣6＝0的解．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据方程的解可得：a2+a＝6，整体代入计算可得．
解：∵a是方程x2+x﹣6＝0的解，
∴a2+a﹣6＝0，
∴a2+a＝6，
原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝
＝．
18．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m＝ 15 ，n＝ 5 ，B等级所占扇形的圆心角度数为 252° ．
（3）对甲、乙、丙、丁4名参加知识竞赛学生进行分组作业调查，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
【分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；
（2）根据（1）中补全的图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）被调查的总人数为4÷10%＝40（人），
∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），
补全图形如下：
（2）∵m%＝6÷40×100%＝15%，n%＝2÷40×100%＝5%，∴m＝15，n＝5；
B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，
故答案为：15，5，252°；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有4种，
∴甲和乙恰好分在同一组的概率为＝．
19．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案；
（3）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解集，可得答案．
解：（1）A（﹣5，n）B（3，﹣5）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣5n＝3×（﹣5），
∴m＝﹣15，n＝3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，点A的坐标是（﹣5，3），
将A、B两点坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C点坐标（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝8；
（3）不等式kx+b﹣＜0的解集是﹣5＜x＜0或x＞3．
20．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类服装的出厂价＝2019年该类服装的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）件，利用每天销售该服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合要减少库存即可得出结论．
解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）件，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）求AB的长；
（2）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（3）直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值；
（4）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可；
（3）分三种情况：①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，则BH＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，根据平行线分线段成比例定理得到，即解得t＝，②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，解得t＝，③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，通过△BGQ∽△ACB，得到比例式，解得：t＝．
（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝10cm；
（2）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，＝，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴＝，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，＝，
∴＝，解得，t＝；
∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；
（3）分三种情况：
①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，
则BH＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，
∴PH∥AC，
∴，即
解得：t＝，
②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，
解得：t＝，
③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，
则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，
∵△BGQ∽△ACB，
∴，
即，
解得：t＝．
综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：或或．
（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：
则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t＝．
22．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．
【分析】（1）通过证明△CAF∽△BAG，可得＝；
（2）过点C作CH∥EF，由“ASA”可证△CMH≌△FME，可得CH＝EF，ME＝HM，由“SAS”可证△BCH≌△BAE，可得BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，由三角形中位线定理可得结论；
（3）取AB中点O，连接ON，OQ，AF，由三角形中位线定理可得OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，则点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，即可求解．
解：（1）如图①，连接AF，AC，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAG，，
∴△CAF∽△BAG，
∴＝；
（2）BE＝2MN，MN⊥BE，
理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，
∵CH∥EF，
∴∠FCH＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，
∴CM＝MF，
又∵∠CMH＝∠FME，
∴△CMH≌△FME（ASA），
∴CH＝EF，ME＝HM，
∴AE＝CH，
∵CH∥EF，AG∥EF，
∴CH∥AG，
∴∠HCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，
∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，
∴∠BAE＝∠BCH，
又∵BC＝AB，CH＝AE，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，
∴∠HBE＝∠CBA＝90°，
∵MH＝ME，点N是BE中点，
∴BH＝2MN，MN∥BH，
∴BE＝2MN，MN⊥BE；
（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，
∵AE＝6，
∴AF＝6，
∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，
∴OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，
∴点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．
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