专题17 一次函数与反比例函数（解析版）-2021年中考数学真题分项汇编

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专题17一次函数与反比例函数
一、函数图像
1．（2021·江苏连云港市）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图像经过点；
乙：函数图像经过第四象限；
丙：当时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据所给函数的性质逐一判断即可．
【详解】
解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；
B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；
C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；
D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；
故选：D

本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．
2．（2021·江苏无锡市）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
根据反比例函数图像和性质，直接写出答案即可．
【详解】
解：∵函数图象在第二、四象限且关于原点对称，
∴函数可以是反比例函数且比例系数小于0，
∴函数表达式可以是：（答案不唯一）．
故答案是：（答案不唯一）．

本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数图像是中心对称图形，是解题的关键．
3．（2021·江苏南通市）如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分四段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，④点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．
【详解】
解：在Rt△ADE中AD=(cm)，
在Rt△CFB中，BC=(cm)，
AB=AE+EF+FB=15(cm)，
①点P在AD上运动，AP=t，AQ= t，即0，
如图，过点P作PG⊥AB于点G，

，则PG=(0)，
此时y=AQPG=(0)，图象是一段经过原点且开口向上的抛物线；
②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，即13，

此时y=AQDE=(13)，图象是一段线段；
③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，即15，

此时y=ABDE=(15)，图象是一段平行于x轴的水平线段；
④点P在BC上运动，PB=31-t，即18，
如图，过点P作PH⊥AB于点H，

，则PH=，
此时y=ABPH=(18)，图象是一段线段；
综上，只有D选项符合题意，
故选：D．

本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，
4．（2021·江苏常州市）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（ ）

A．B．C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数图像先求出关于t的函数解析式，进而求出关于t的解析式，再判断各个选项，即可．
【详解】
解：∵由题意得：当1≤t≤6时，=2t+3，
当6＜t≤25时，=15，
当25＜t≤30时，=-2t+65，
∴当1≤t≤6时，=，
当6＜t≤25时，=，
当25＜t≤30时，=
= ，
∴当t=30时，=13，符合条件的选项只有A．
故选A．

本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键．
5．（2021·江苏苏州市）如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意，先求出，，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．
【详解】
解：根据题意，
∵，，且已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，则，
∴，
∴，
由的长为半径的扇形的弧长为：
∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为
∴其底面的面积为
由的长为半径的扇形的弧长为：
∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为
∴其底面的面积为
∴两者的面积和
∴图像为开后向上的抛物线，且当时有最小值；
故选：D．

本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．
6．（2021·江苏宿迁市）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图：
(1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ．
(2)慢车出发多少小时候，两车相距200km．

【答案】（1）100，（8,480）；（2）1.75h和4.875h．
【分析】
（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km， 0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶，进而求出慢车速度，然后再求出快车的速度；A、B段为快车已维修好，两车共同行驶且快车在B点到站，BC段仅为慢车行驶；则可求出B点坐标，进而求出C点的横坐标即可解答；
（2）分快车出现故障前和故障后两种情况解答即可．
【详解】
解：（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km
在0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶
则慢车速度为=60km/h
设快车速度为v，则有：（v+60）×3=480，解得v=100km/h
∴B点的横坐标为+1=5.8，从坐标为60+（60+100）×（5.8-4）=348，即B（5.8,348）
∴慢车行驶时间为h，
∴C点的横坐标为8
∴C点的坐标为（8,480）；
（2）在快车出现故障前，两车相距200km 所用时间为：（480-200）÷（100+60）=1.75h；
在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60km，然后两车共同行驶了200-60=140km
共同行驶时间为140÷（100+60）=0.875h
∴两车相距200km 所用时间为4+0.875=4.875h．
答：两车相距200km 所用时间为1.75h和4.875h．

本题考查了从函数图象中获取信息和行程问题，从函数图象中获取有用的信息成为解答本题的关键．

二、反比例
7．（2021·江苏泰州市）函数：中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
【详解】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即.
8．（2021·江苏宿迁市）已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用分比例函数的增减性解答即可．
【详解】
解：∵
∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0；
∵0＜1＜3，-2＜0
∴y2＜y1＜0，y3＞0
∴．
故选A．

本题主要考查了反比例函数的增减性，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
9．（2021·江苏徐州市）如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________．

【答案】（2，3）
【分析】
根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），进而列出方程求解．
【详解】
解：∵四边形为正方形，
∴设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），
∴m-（）=，解得：m=±2（负值舍去），
经检验，m=2是方程的解，
∴D点坐标为（2，3），
故答案是：（2，3）．

本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
10．（2021·江苏无锡市）一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，且的面积为1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
先求出B的坐标，结合的面积为1和，列出方程，再根据在一次函数图像上，得到另一个方程，进而即可求解．
【详解】
∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴B(-n，0)，
∵的面积为1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴或，解得：n=-2或n=1或无解，
∴m=2或-1（舍去），
故选B．

本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
11．（2021·江苏宿迁市）如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则 =__________．

【答案】8
【分析】
由的面积为12，故作，设，即可表示的面积，再利用中点坐标公式表示B点坐标，利用B点在反比例图像上即可求解．
【详解】
解：作，设，

的面积为12

B点是AC中点
B点坐标
B点在反比例图像上

又



故答案是：8．


本题考查反比例函数的综合运用、中点坐标公式和设而不解的方程思想，属于中档难度的题型．解题的关键是设而不解的方程思想．此外设有两点，则的中点坐标是：．
12．（2021·江苏南京市）如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则________．

【答案】12
【分析】
先设出A点坐标，再依次表示出B、C两点坐标，求出线段BC和AC的表达式，最后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：设A（t，）,
∵正比例函数与函数的图像交于A，B两点，
∴B（-t，-）,
∵轴，轴，
∴C（t，-）,
∴；
故答案为：12．

本题考查了反比例函数与正比例函数的图像与性质、用平面直角坐标系内点的坐标表示线段长、三角形面积公式等内容，解决本题的关键是抓住反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们关于原点对称，能正确表示平面内的点的坐标，能通过坐标计算出线段长等．
13．（2021·江苏泰州市）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．

（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 　 　（只填序号）．
【答案】（1），见解析；（2）见解析，①（也可以选择②）
【分析】
（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；
（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k．
【详解】
（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故；
当x=-6时，；当x=-2时，
∵，k＜0
∴
即
（2）选择条件①
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴OD∙OC=2
∵OC=2
∴OD=1
即
∴点B的坐标为(-6,1)
把点B的坐标代入y＝中，得k=-6
若选择条件②，即BE=2AE
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴DE=OC，CE=OD
∵OC=2，DB=6
∴BE=DB-DE=DB-OC=4
∴
∵AE=AC-CE=AC-OD=
即
由（1）知：
∴k=-6

本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
14．（2021·江苏南通市）平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与双曲线y=kxk>2相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设Mm,2为双曲线y=kxk>2上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC-OD的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】
根据直线y=2x与双曲线y=kxk>2相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得A2k2,2k，B-2k2,-2k，再根据Mm,2为双曲线y=kxk>2上一点求得Mk2,2；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为y=22k-42k-kx+2-k2k2k-k，进而求得OC=22k-k2k2k-k，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为y=22k+42k+kx+2-k2k2k+k，进而求得OD=k2k-22k2k+k，最后计算OC-OD即可．
【详解】
解：∵直线y=2x与双曲线y=kxk>2相交于A，B两点，
∴联立可得：y=2x,y=kx,
解得：x1=2k2,y1=2k．或x2=-2k2,y2=-2k．
∵点A在第一象限，
∴A2k2,2k，B-2k2,-2k．
∵Mm,2为双曲线y=kxk>2上一点，
∴2=km．
解得：m=k2．
∴Mk2,2．
设直线AM的解析式为y=k1x+b1，
将点A2k2,2k与点Mk2,2代入解析式可得：2k=k1·2k2+b1,2=k1·k2+b1,
解得：k1=22k-42k-k,b1=22k-k2k2k-k．
∴直线AM的解析式为y=22k-42k-kx+22k-k2k2k-k．
∵直线AM与y轴交于C点，
∴xC=0．
∴yC=22k-42k-k·0+22k-k2k2k-k=22k-k2k2k-k．
∴C0,22k-k2k2k-k．
∵k>2，
∴OC=22k-k2k2k-k=22k-k2k2k-k．
设直线BM的解析式为y=k2x+b2，
将点B-2k2,-2k与点Mk2,2代入解析式可得：-2k=k2·-2k2+b2,2=k2·k2+b2,
解得：k2=22k+42k+k,b2=22k-k2k2k+k．
∴直线BM的解析式为y=22k+42k+kx+22k-k2k2k+k．
∵直线BM与y轴交于D点，
∴xD=0．
∴yD=22k+42k+k·0+22k-k2k2k+k=22k-k2k2k+k．
∴D0,22k-k2k2k+k．
∵k>2，
∴OD=22k-k2k2k+k=k2k-22k2k+k．
∴OC-OD=22k-k2k2k-k-k2k-22k2k+k
=22k-k2k2k+k2k-k2k+k-k2k-22k2k-k2k+k2k-k
=4k-2k2+2k2k-k22k2k-k2-2k2-4k-k22k+2k2k2k-k2
=8k-4k22k-k2
=42k-k22k-k2
=4．
故选：B．

本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．
15．（2021·江苏扬州市）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①
【答案】B
【分析】
设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．
【详解】
解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，
设P（m，），
则C（m，），A（m，0），B（0，），令，
则，即D（，），
∴PC==，PD==，
∵，，即，
又∠DPC=∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC=∠PBC，
∴CD∥AB，故①正确；
△PDC的面积===，故③正确；

=
=
=
=
=，故②错误；
故选B．

此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．

三、一次函数
16．（2021·江苏苏州市）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据一次函数的增减性加以判断即可．
【详解】
解：在一次函数y=2x+1中，
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大．
∵2