(山东版)2021年中考数学模拟练习卷06（含答案）

中考数学模拟练习卷

一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）

1．设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（　　）

A．a=±B B．a=B 

C．a=﹣B D．以上结论都不对

2．据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积约为多少平方千米（　　）

A．36×107 B．3.6×108 C．0.36×109 D．3.6×109

3．下列运算正确的是（　　）

A．2a﹣a=1 B．2a+b=2ab 

C．（a4）3=a7 D．（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5

4．如果y=+3，那么yx的算术平方根是（　　）

A．2 B．3 C．9 D．±3

5．如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

6．已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（　　）

A．1 B．13 C．17 D．25

7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． 

C． D．

8．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　）

A．α+β+γ=180° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=360°

9．下列说法中不正确的是（　　）

A．选举中，人们通常最关心的数据是众数 

B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大

C．数据甲、乙的方差分别为S甲2=0.4，S乙2=0.6，则数据甲的波动小

D．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4

10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（　　）

A．4 B． C． D．

12．对于两个实数，规定max{a，b}表示a、b中的较大值，当a≥b时，max{a，b}=a，当a＜b时，max{a，b}=b，例如：max{1，3}=3．则函数y=max{x2+2x+2，﹣x2﹣1}的最小值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．0 D．2

二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

13．一元二次方程x2+4x﹣5=0的两根分别为a和b，则a2+b2的值为　   　．

14．用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是　   　．

15．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是　   　cm．

16．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限的图象如图所示，当P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，则四边形PAOB的面积为　   　．

17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．过点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，点P的坐标为　   　．

三．解答题（共7小题，满分52分）

18．（5分）先化简，再求值：．其中x=sin60°．

19．（5分）已知：等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，CE=CD，求证：DB=DE．

20．（8分）抛物线y1=ax2+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在抛物线上，过P（1，﹣3），B（4，0）两点作直线y2=kx+b．

（1）求a、c的值；

（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围；

（3）在抛物线上是否存在点M，使得S△ABP=5S△ABM，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

21．（8分）“足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分）

根据所给信息，解答以下问题：

（1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是　   　度；

（2）补全条形统计图；

（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在　   　等级；

（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？

22．（8分）人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．

（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？

（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）等于371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各自多少件？

23．（9分）阅读下列材料，完成任务：

自相似图形

定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．

任务：

（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为　   　；

（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为　   　；

（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．

请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择　   　题．

A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=　   　（用含b的式子表示）；

②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=　   　（用含n，b的式子表示）；

B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=　   　（用含b的式子表示）；

②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=　   　（用含m，n，b的式子表示）．

24．（9分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求∠ACB的度数；

（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）

1．【分析】由于正数的平方根有两个，且互为相反数，所以在此题中有a两种情况，要考虑全面．

【解答】解：∵a是9的平方根，

∴a=±3，

又B=（）2=3，

∴a=±b．

故选：A．

2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将360000000用科学记数法表示为：3.6×108．

故选：B．

3．【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的计算法则解答．

【解答】解：A、2a﹣a=a，故本选项错误；

B、2a与b不是同类项，不能合并，故本选项错误；

C、（a4）3=a12，故本选项错误；

D、（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5，故本选项正确．

故选：D．

4．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出x、y的值，根据算术平方根的概念解答即可．

【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，

解得，x=2，

∴y=3，

则yx=9，

9的算术平方根是3．

故选：B．

5．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．

【解答】解：从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致．

故选：D．

6．【分析】将x+y=5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入计算，即可求出所求式子的值．

【解答】解：将x+y=5两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=25，

将xy=6代入得：x2+12+y2=25，

则x2+y2=13．

故选：B．

7．【分析】根据不等式解集的四种情况，求出其公共解集即可．

【解答】解：根据大小小大中间找得出解集为﹣1＜x≤1，

故选：B．

8．【分析】延长AE交直线CD于F，根据平行线的性质得出∠α+∠AFD=180°，根据三角形外角性质得出∠AFD=∠β﹣∠γ，代入求出即可．

【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，

∵AB∥CD，

∴∠α+∠AFD=180°，

∵∠AFD=∠β﹣∠γ，

∴∠α+∠β﹣∠γ=180°，

故选：C．

9．【分析】利用众数、中位数、方差等有关知识分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、众数表示的是一组数据中出现次数最多的数，在选举中，若某人的选票最多，则此人当选的可能性就越大，故A正确；

B、五个数中有3个奇数，2个偶数，故取得奇数的可能性大，故B正确；

C、方差越大波动越大，故C正确；

D、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，故D错误，

故选：D．

10．【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．

【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．

∵OD⊥BC，BC⊥AB，

∴OD∥AB，

又∵OC=OA，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD=AB=3，

∴DE=2OD=6．

故选：B．

11．【分析】当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直与切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得；

【解答】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，

∵P是⊙D的切线，

∴DP垂直与切线，

延长PD交AC于M，则DM⊥AC，

∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，

∴AC==5，

∴OA=，

∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，

∴△ADM∽△ACD，

∴=，

∵AD=4，CD=3，AC=5，

∴DM=，

∴PM=PD+DM=1+=，

∴△AOP的最大面积=OA•PM=××=，

故选：D．

12．【分析】根据题意可以判断x2+2x+2与﹣x2﹣1的大小，并求出函数y=max{x2+2x+2，﹣x2﹣1}的最小值，从而可以解答本题．

【解答】解：∵y=max{x2+2x+2，﹣x2﹣1}，x2+2x+2=（x+1）2+1≥1，﹣x2﹣1≤﹣1，

∴x2+2x+2＞﹣x2﹣1，

∴函数y=max{x2+2x+2，﹣x2﹣1}的最小值是1，

故选：A．

二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

13．【分析】根据韦达定理得a+b=﹣4，ab=﹣5，代入a2+b2=（a+b）2﹣2ab计算可得．

【解答】解：∵方程x2+4x﹣5=0的两根分别为a和b，

∴a+b=﹣4，ab=﹣5，

则a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16+10=26，

故答案为：26．

14．【分析】先根据计算器计算出输入的值，再根据程序框图列出算式，继而根据二次根式的混合运算计算可得．

【解答】解：由题意知输入的值为32=9，

则输出的结果为[（9÷3）﹣]×（3+）

=（3﹣）×（3+）[来源:学§科§网Z§X§X§K]

=9﹣2

=7

故答案为：7．

15．【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．

【解答】解：设母线长为R，则：65π=π×5R，

解得R=13cm．

16．【分析】此题所求的四边形PAOB的面积可由分割法，S四边形PAOB=S□PCOD﹣S△DBO﹣S△ACO．

【解答】解：由于P点在y=上，则S□PCOD=2，A、B两点在y=上，

则S△DBO=S△ACO=×1=．

∴S四边形PAOB=S□PCOD﹣S△DBO﹣S△ACO=2﹣﹣=1．

∴四边形PAOB的面积为1．

故答案为：1．

17．【分析】由矩形性质可知OD=EF，据垂线段最短可得，当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点时，OD⊥AC，则DF=OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标．

【解答】解：连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．

根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，

根据等腰三角形的性质，D是AC的中点时，OD⊥AC．

又∵DF∥OC，

∴DF=OC=2，

∴点P的纵坐标是2．

则﹣x2+3x+4=2，

解得：x=，

∴当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）．

故答案为：（，2）或（，2）．

三．解答题（共7小题，满分52分）

18．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角函数值代入计算可得．

【解答】解：原式=•

=，

当x=sin60°=时，

原式==．

19．【分析】根据等边三角形的性质、外角的性质及等腰三角形的性质即可推理得出结论．

【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，

∴∠BCA=60°，∠DBC=30°，

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠E，

∴∠BCA=∠CDE+∠E=2∠E=60°，

∴∠E=30°，

∴∠DBC=∠E=30°，

∴DB=DE．

20．【分析】（1）把P点和B点的坐标代入抛物线解析式，即可求出答案；

（2）根据函数的图象得出即可；

（3）根据面积公式求出M点到x轴的距离，得出M点的纵坐标，再求出M点的横坐标即可．

【解答】解：（1）将P（1，﹣3）、B（4，0）代入y=ax2+c得：，

解得：；

（2）由图象得x＞4或x＜1；

（3）在抛物线上存在点M，使得S△ABP=5S△ABM，

理由是：抛物线的解析式是y=x2﹣，

设M点的纵坐标为e，

∵P（1，﹣3），

∴由S△ABP=5S△ABM得：×AB×|﹣3|=5×AB×|e|，[来源:学科网ZXXK]

解得；|e|=，

当e=时， x2﹣=，

解得：x=±，

当e=﹣时， x2﹣=﹣，[来源:Zxxk.Com]

解得：x=±，

即M点的坐标是（，）（﹣，）（，﹣）（﹣，﹣）．

21．【分析】（1）先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得；

（2）根据以上所求结果即可补全图形；

（3）根据中位数的定义求解可得；

（4）总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得．

【解答】解：（1）∵总人数为18÷45%=40人，

∴C等级人数为40﹣（4+18+5）=13人，

则C对应的扇形的圆心角是360°×=117°，

故答案为：117；

（2）补全条形图如下：

（3）因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级，

所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级，

故答案为：B．

（4）估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×=30人．

22．【分析】（1）设乙种牛奶的进价为x元/件，则甲种牛奶的进价为（x﹣5）元/件，根据数量=总价÷单价结合用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）设乙种牛奶的进价为x元/件，则甲种牛奶的进价为（x﹣5）元/件，

根据题意得： =，

解得：x=50，

经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义，

∴x﹣5=45．

答：乙种牛奶的进价是50元/件，甲种牛奶的进价是45元/件．

（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，

根据题意得：（49﹣45）（3y﹣5）+（55﹣50）y=371，

解得：y=23，

∴3y﹣5=64．

答：该商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件．

23．【分析】（1）先得出AH=AD，即可得出结论；

（2）根据勾股定理求出AB，即可得出结论；

（3）A、①根据矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出结论；

②同①的方法即可得出结论；

B、①分FM是矩形DFMN的长或DF是矩形DFMN的长两种情况，先根据相似矩形得出AF，AG，最后用矩形GABH∽矩形ABCD建立方程即可得出结论；

②同①的方法即可得出结论．

【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，

∴AH=AD，

∵正方形AEOH∽正方形ABCD，

∴相似比为： ==；

故答案为：；

（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，

∴△ACD与△ABC相似的相似比为： =，

故答案为：；

（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，

∴AF：AB=AB：AD，

即a：b=b：a，

∴a=b；

故答案为： b

②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，

则b： a=a：b，

∴a=b；

故答案为： b

B、①如图2，

由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，

∴DN=b，

Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，

∵矩形FMND∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AD：AB，

即FD： b=a：b，

解得FD=a，

∴AF=a﹣a=a，

∴AG===a，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即a：b=b：a

得：a=b；

Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，

∵矩形DFMN∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AB：AD

即FD： b=b：a

解得FD=，

∴AF=a﹣=，

∴AG==，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即：b=b：a，

得：a=b；

故答案为： b或b；

②如图3，

由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，

∴DN=b，

Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，

∵矩形FMND∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AD：AB，

即FD： b=a：b，

解得FD=a，

∴AF=a﹣a，

∴AG===a，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即a：b=b：a

得：a=b；[来源:学.科.网Z.X.X.K]

Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，

∵矩形DFMN∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AB：AD

即FD： b=b：a

解得FD=，

∴AF=a﹣，

∴AG==，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即：b=b：a，

得：a=b；

故答案为： b或b．

24．【分析】（1）先求得点C（0，3）的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣），最后，将点C的坐标代入求得a的值即可；

（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N．先求得AC的解析式，然后再求得BM的解析式，从而可求得点M的坐标，依据两点间的距离公式可求得MC=BM，最后，依据等腰直角三角形的性质可得到∠ACB的度数；

（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点E．依据题意可得到∠ECD＞45°，然后依据相似三角形的性质可得到∠CAO=∠ECD，则CE=AE，设点E的坐标为（a，0），依据两点间的距离公式可得到（a+1）2=32+a2，从而可得到点E的坐标，然后再求得CE的解析式，最后求得CE与抛物线的交点坐标即可．

【解答】解：（1）当x=0，y=3，

∴C（0，3）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣）．

将C（0，3）代入得：﹣a=3，解得：a=﹣2，

∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+x+3．

（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N．

∵OC=3，AO=1，

∴tan∠CAO=3．

∴直线AC的解析式为y=3x+3．

∵AC⊥BM，

∴BM的一次项系数为﹣．

设BM的解析式为y=﹣x+b，将点B的坐标代入得：﹣×+b=0，解得b=．

∴BM的解析式为y=﹣x+．

将y=3x+3与y=﹣x+联立解得：x=﹣，y=．

∴MC=BM═=．

∴△MCB为等腰直角三角形．

∴∠ACB=45°．

（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点F．

∵∠ACB=45°，点D是第一象限抛物线上一点，

∴∠ECD＞45°．

又∵△DCE与△AOC相似，∠AOC=∠DEC=90°，

∴∠CAO=∠ECD．

∴CF=AF．

设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2，解得a=4．

∴F（4，0）．

设CF的解析式为y=kx+3，将F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k=﹣．

∴CF的解析式为y=﹣x+3．

将y=﹣x+3与y=﹣2x2+x+3联立：解得：x=0（舍去）或x=．

将x=代入y=﹣x+3得：y=．

∴D（，）．