初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理教学设计

第1课时  垂径定理

1、通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.

2、在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决.

3、通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.

教学重点

使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论.

教学难点

对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.

一、导入新课

1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称）

2、实验：探究圆的轴对称性.

若将⊙O沿直径对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片亲自实验，教师引导学生努力发现：

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴.

3、引入新知：如图，左图中AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E.此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？

（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容.

二、探索新知

（一）猜想，证明，形成垂径定理

1、提问：继续观察右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？

2、猜想：可能出现的位置关系是：

线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合.

可能出现的数量关系是：

3、证明：

利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等.板书：

4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

（二）分析垂径定理的条件和结论

1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象.

2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解.

练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？

3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段.

（三）例题

例1  已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)

作法：

⒈连结AB.

⒉作AB的垂直平分线 CD，　交弧AB于点E.

点E就是所求弧AB的中点．

变式一： 求弧AB的四等分点．

思路：先将弧AB平分，再用同样方法将弧AE、弧BE平分．

（图略）

有一位同学这样画，错在哪里？

1．作AB的垂直平分线CD

2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH（图略）

教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．[来源:www.shulihua.net]

变式二：你能确定弧AB的圆心吗？

方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．

例2   一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC ．

思路：

先作出圆心O到水面的距离OC，即画 OC⊥AB，∴AC=BC=8，[来源:www.shulihua.net]

在Rt△OCB中，

∴圆心O到水面的距离OC为6．

例3  已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．

思路：

作OM⊥AB，垂足为M， ∴CM=DM

∵OA=OB  ，  ∴AM=BM ， ∴AC=BD．

概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．

小结：

1．画弦心距是圆中常见的辅助线； [来源:www.shulihua.net]

2．半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长．

注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

做一做

1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于       ．

答案：24

2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（   ）

A．∠COE=∠DOE  B．CE=DE    C．OE=BE        D．BD=BC

[来源:www.shulihua.net]

答案：C

3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（   ）

 A．3    B．6cm    C．  cm    D．9cm [来源:www.shulihua.net]

答案：A

注：圆内过定点M的弦中，最长的弦是过定点M的直径，最短的弦是过定点M与OM垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．

4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（   ）

 A．3≤OM≤5    B．4≤OM≤5    C．3<OM<5      D．4<OM<5

答案：A

5． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为       ．[来源:数理化网]

答案：2或24

注：要分两种情况讨论：（1）弦AB、CD在圆心O的两侧；（2）弦AB、CD在圆心O的同侧．

6．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．[来源:数理化网]

思路：由垂径定理可得M、N分别是AB、AC的中点，

所以MN=BC=2．

三、归纳小结

１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．

2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．

3．解题的主要方法：

（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；

（2）半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长．

请完成本课时对应练习！