2021届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试题（解析版）

2021届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试题

一、单选题

1．“”是“”成立的 （   ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论．

【详解】

解：，

，，

“”是“”成立的充分非必要条件，

故选：．

【点睛】

本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．

2．函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据的解析式，可检验的正负，根据零点存在性定理，即可得答案.

【详解】

因为函数，

所以，，

所以，

由零点存在性定理可知，零点在区间内，

故选：B

【点睛】

本题考查函数的零点存在性定理的应用，考查分析计算的能力，属基础题.

3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（    ）

A．18种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】C

【解析】根据题意，分2步进行分析：①将甲、乙、丙、丁四位专家分为3组，②将分好的三组全排列，对应3所乡镇卫生院，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】

解：根据题意，分2步进行分析：

①将甲、乙、丙、丁四位专家分为3组，有种分组分法；

②将分好的三组全排列，对应3所乡镇卫生院，有种情况，

则有种选派方案；

故选：．

【点睛】

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

4．若，使得成立，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用基本不等式求出的最大值，即可.

【详解】

可得，当且仅当，即时等号成立，

若，使得成立，则，

.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的能成立问题，求最值即可解决，属于基础题.

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直接利用分段函数的解析式，求解函数值即可．

【详解】

因为 ，

所以

．

故选：．

【点睛】

本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．

6．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由函数图象关于原点对称，排除AC，再根据当从正数趋近于时，函数值为负数排除D，进而得答案.

【详解】

解：根据图象得函数图象关于原点对称，且定义域为，即为奇函数.

对于A选项，，故函数为偶函数，排除；

对于B选项，函数定义域为，，故函数为奇函数，满足条件；

对于C选项，函数定义域为，，故函数为偶函数，排除；

对于D选项，函数定义域为，当时，，故在为正数，故排除，

故选：B.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性与特殊值选函数图象，是中档题.

7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：

设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可．

【详解】

由图知，众数是；

中位数是第15个数与第16个数的平均值，

由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，

所以中位数是；

平均数是；

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题．

8．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】通过周期性奇偶性找到周期性，再由单调性确定函数值大小.

【详解】

是偶函数,得，即，

是奇函数，得，即，

，得

由是奇函数，得，

因为在上单调递增，所以

，

所以，

故选：B

【点睛】

是函数的对称轴，

是函数 的对称中心.

二、多选题

9．设全集，集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】根据幂函数的值域得出集合A，解一元二次不等式得集合B，按照集合间的交、并、补混合运算逐一判断即可.

【详解】

∵，，

∴，即A正确；，即B正确；

或，即C错误；

或，即D错误；

故选：AB.

【点睛】

本题主要考查了集合的表示以及集合间的混合运算，属于基础题.

10．已知函数的图象的一个最高点为，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）

A．为偶函数 B．的一个单调递增区间为

C．为奇函数 D．在上只有一个零点

【答案】BD

【解析】先根据余弦函数的图象和性质，求得的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解.

【详解】

由题意，可得，所以，可得，

所以，

因为，所以，

因为，所以，即，

所以，

可得函数为非奇非偶函数，

令，可得，

当时，函数的一个单调递增区间为；

由，解得，

所以函数在上只有一个零点.

故选：BD

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

11．下列说法正确的是（    ）

A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；

B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为；

C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；

D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.

【答案】BD

【解析】A.根据数据的变化与方差的定义进行判断.B．利用古典概型的概率公式进行判断.C．结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D．根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可．

【详解】

A:设一组数据为,则每个数据都乘以同一个非零常数后,可得，

则，所以方差也变为原来的倍，故A不正确.

B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为，故B正确.

C: 由，两个变量的线性相关性越强，，两个变量的线性相关性越弱，故C不正确.

D: 根据题意可得,

设

则，得，即

解得或（舍）

所以事件发生的概率为，故D正确.

故选：B D

【点睛】

本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题.

12．定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（    ）

A．是的一个“完美区间”

B．是的一个“完美区间”

C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

【答案】AC

【解析】根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.

【详解】

对于A，当时，，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；

对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；

对于C，由定义域为，可知，

当时，，此时，所以在内单调递减，

则满足，化简可得，

即，所以或，

解得（舍）或，

由解得或（舍），

所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；

当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为 ，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；

②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，

解得，， 所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.

综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；

故选：AC.

【点睛】

本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.

三、填空题

13．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ＜2）＝0.3，则P（2＜ξ＜6）＝_____．

【答案】0.4

【解析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，结合，求得，则可求．

【详解】

随机变量服从正态分布，其对称轴方程为，

又，，

则．

故答案为：0.4．

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．

14．的展开式中的系数为__________.

【答案】

【解析】写出的展开式通项，令的指数为，求出参数的值，再代入通项即可得解.

【详解】

的展开式通项为，令，解得.

因此，的展开式中的系数为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.

15．若是函数的极值点，则的极小值为 _________ ．

【答案】

【解析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．

【详解】

函数，
可得，
是函数的极值点，
可得，即．
解得．
可得，

函数的极值点为：，
当，函数是增函数，时，函数是减函数，时，函数取得极小值： ．

即答案为-1.

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．

四、双空题

16．已知函数①若，则不等式的解集为__________.②若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】       

【解析】第一空：时，分和分别求解不等式，取并集得答案；
第二空：将在平面直角坐标系内作出两函数与的图象，数形结合即可求得使函数有两个零点的实数的取值范围．

【详解】

解：第一空：当时，，

则或．

即不等式的解集为；

第二空：将在平面直角坐标系内作出两函数与的图象如图，

由图可知，当时，与有两个交点，
即函数有两个零点，
∴实数的取值范围是．
故答案为：；．

【点睛】

本题考查分段函数的应用，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法，是中档题．

五、解答题

17．已知，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先根据条件，利用诱导公式可得，进而可得，将目标式化简，代入，计算即可；

（2）利用倍角公式求出，代入的展开式中计算即可．

【详解】

解：（1）由已知，

又，

，

；

（2），，

，，

.

【点睛】

本题考查诱导公式，倍角公式在三角运算中的应用，考查了学生计算能力，是中档题．

18．设函数，其中．

（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；

（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；

（3），，解关于x的不等式．

【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.

【解析】（1）先由求得的值，再根据偶函数的定义验证，得到答案；

（2）换元法令，则转化成在上有最小值，再由的对称轴大于0，得到的取值范围；

（3）由化简得到，再分类讨论的范围，得到不等式的解集.

【详解】

解：（1），所以，

所以，检验，此时，，

所以，为偶函数；

（2），令，

则在上有最小值，

所以，得；

（3），所以，所以，

因为，，所以．

①，即，解集为R；

②，即，解集为．

【点睛】

本题考查了奇偶性的应用，指数不等式的解法，指数与对数的综合应用，考查了学生的分析推理能力，分类讨论思想，属于中档题.

19．江苏实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“”指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．

（1）求该校最终选地理的学生概率；

（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量．

①求随机变量的概率；

②求的概率分布列以及数学期望．

【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析，.

【解析】（1）利用独立事件的概率乘法公式可求得事件“该校最终选地理的学生”的概率；

（2）①由题意可知，利用独立重复试验的概率公式可求得随机变量的概率；

②利用二项分布可求得随机变量的分布列，并由此可计算出随机变量的数学期望.

【详解】

（1）该校最终选地理的学生为事件，；

因此，该校最终选地理的学生为；

（2）①由题意可知，，所以，；

②由于，则，

，，

，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

．

【点睛】

本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，同时也考查了利用二项分布计算随机变量的概率分布列以及数学期望，考查计算能力，属于中等题.

20．已知函数．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域．

【答案】（Ⅰ）最小正周期，[]（k∈Z）．（Ⅱ）[0，3]．

【解析】(Ⅰ)先用降幂公式,辅助角公式将化简,然后求得最小正周期和单调减区间;

(Ⅱ)先通过平移得到的解析式,由x∈,可计算得到,结合余弦函数的图象和单调性,可得解.

【详解】

（Ⅰ）函数1﹣cos（2x）．

所以函数的最小正周期为，

令（k∈Z），整理得（k∈Z），

所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝2cos（2x）+1的图象，

由于x∈，所以，故，所以0≤g（x）≤3，故函数的值域为[0，3]．

【点睛】

本题考查了三角函数的性质综合,考查了学生综合分析,转化化归,数学运算的能力,难度较易.

21．某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表：

现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率；

（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；

（3）根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值（精确到0.01）

【答案】（1）0.84；（2）61200元；（3）.

【解析】（1）记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，且由频率分布直方图估计,用公式估计出事件A的概率；

（2）由（1）可以求出任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值，任取一件产品是三等品的概率估计值，这样可以求出10000件产品估计有一等品、二等品、三等品的数量，最后估计出利润；

（3）求出质量指标值的频率和质量指标值的频率，这样可以求出质量指标值M的中位数估计值.

【详解】

解：（1）记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，且由频率分布直方图估计，

，

又，

故事件A的概率估计为0.84..

（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19，065，

故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16，

从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，

故利润估计为元

（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，

质量指标值的频率为，

质量指标值的频率为，

故质量指标值M的中位数估计值为.

【点睛】

本题考查了频率直方图的应用，考查了互斥事件的概率、和事件概率的求法，考查了应用数学知识解决实际问题的能力.

22．已知函数，，其中，为自然对数的底数.

（1）求函数的最小值；

（2）若对于任意的，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，最小值为，当时，最小值为，当时，最小值为；（2）

【解析】（1）求出导函数，对a进行分类讨论求得函数的单调区间，即可求得最小值；

（2）求出，的值域，结合（1）的单调性和值域讨论不等关系即可得解.

【详解】

（1）由题：，

，

当时，恒成立，

所以函数在单调递增，最小值为，

当时，恒成立，

所以函数在单调递减，最小值为，

当时，由得，由得，

在递减，在递增，

所以函数的最小值为

综上所述：当时，最小值为，当时，最小值为，当时，最小值为；

（2）函数，，当且仅当x=0时，导数值为0，

所以在单调递增，值域为，

结合（1）可得：

当时，函数在单调递增，

，，只需，解得：，

当时，函数在单调递减，，不合题意，舍去，

当时，在递减，在递增，

，，

所以只需，解得

综上所述

【点睛】

此题考查利用导函数研究函数的单调性求解函数的最值，涉及分类讨论思想，等价转化思想，关键在于根据单调性分析函数的值域.