1.如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限中有两个全等的直角三角形区域Ⅰ和Ⅱ，两区域充满了方向均垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B0，区域Ⅱ的磁感应强度大小可调，C点坐标为(4L,3L)，M点为OC的中点。质量为m、带电荷量为－q的粒子从C点以平行于y轴方向射入磁场Ⅱ中，速度大小为v0＝，不计粒子所受重力，粒子运动轨迹与磁场区域相切时认为粒子能再次进入磁场。

(1)若粒子无法进入区域Ⅰ中，求区域Ⅱ磁感应强度大小范围；

(2)若粒子恰好不能从AC边射出，求区域Ⅱ磁感应强度大小。

解析：(1)磁感应强度越小，粒子运动轨迹半径越大，当粒子运动轨迹与x轴相切时，粒子恰好能进入区域Ⅰ，此时粒子在区域Ⅱ中运动轨迹半径R1＝3L，粒子运动满足qBv0＝m，代入v0＝，解得Bm＝，所以粒子无法进入区域Ⅰ中时，有B＜。

(2)粒子在区域Ⅰ中的运动半径r＝＝，

若粒子在区域Ⅱ中的运动半径R较小，则粒子会从AC边射出磁场。恰好不从AC边射出时粒子运动轨迹如图所示，则满足∠O2O1Q＝2θ，

sin 2θ＝2sin θcos θ＝，

由于O1P1＝R，O2P1＝O2Q＝r，则有sin 2θ＝，

解得R＝r＝L，

又R＝，代入v0＝，可得B＝B0。

答案：(1)B＜　(2)B0

2．(2017·天津高考)平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，问：

(1)粒子到达O点时速度的大小和方向；

(2)电场强度和磁感应强度的大小之比。

解析：(1)在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为L，到y轴距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t，有

2L＝v0t　 ①

L＝at2　 ②

设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为vy

vy＝at　 ③

设粒子到达O点时速度方向与x轴正方向夹角为α，有

tan α＝　 ④

联立①②③④式得α＝45°　 ⑤

即粒子到达O点时速度方向与x轴正方向成45°角斜向上

设粒子到达O点时速度大小为v，由运动的合成有

v＝　 ⑥

联立①②③⑥式得v＝v0。　 ⑦

(2)设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，由牛顿第二定律可得F＝ma ⑧

又F＝qE　 ⑨

设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，所受的洛伦兹力提供向心力，有

qvB＝m　 ⑩

粒子运动轨迹如图所示，

由几何关系可知R＝L　 ⑪

联立①②⑦⑧⑨⑩⑪式得＝。　 ⑫

答案：(1)v0，与x轴正方向成45°角斜向上　(2)

3.如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，在x轴上的a点以速度v0与x轴负方向成60°角射入磁场，从y＝L处的b点沿垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x＝2L处的c点。不计粒子重力。求：

(1)磁感应强度B的大小；

(2)电场强度E的大小；

(3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比。

解析：(1)带电粒子在磁场中运动轨迹如图，由几何关系可知：

r＋rcos 60°＝L，r＝

又因为qv0B＝m

解得：B＝。

(2)带电粒子在电场中运动时，沿x轴有：2L＝v0t2

沿y轴有：L＝at22，又因为qE＝ma

解得：E＝。

(3)带电粒子在磁场中运动时间为：t1＝·＝

带电粒子在电场中运动时间为：t2＝

所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比为：＝。

答案：(1)　(2)　(3)

[潜能激发]

4.如图所示，边长为3L的正方形区域分成相等的三部分，左右两侧为匀强磁场，中间区域为匀强电场。左侧磁场的磁感应强度大小为B1＝，方向垂直纸面向外；右侧磁场的磁感应强度大小为B2＝，方向垂直于纸面向里；中间区域电场方向与正方形区域的上下边界平行。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，从平行金属板的正极板开始由静止被加速，加速电压为U，加速后粒子从a点进入左侧磁场，又从距正方形上下边界等间距的b点沿与电场平行的方向进入电场，不计粒子重力。求：

(1)粒子经过平行金属板加速后的速度大小；

(2)粒子在左侧磁场区域内运动时的半径及运动时间；

(3)电场强度的取值在什么范围内时，粒子能从右侧磁场的上边缘cd间离开。

解析：(1)粒子在电场中运动时qU＝mv2，

解得v＝。

(2)粒子进入磁场B1后由洛伦兹力提供向心力

qvB1＝，解得R1＝

设粒子在磁场B1中转过的角度为α，

如图所示，由sin α＝，

解得α＝60°，周期T＝

粒子在磁场B1中运动的时间为

t＝T＝。

(3)粒子在磁场B2中运动，设在上边缘cd间离开的临界速度分别为vn与vm，与之相对应的半径分别为Rn与Rm。如图所示，由分析知Rn＝L，Rm＝L

由洛伦兹力提供向心力qvnB2＝

粒子在电场中qEnL＝mvn2－mv2，得En＝

同理Em＝，所以电场强度的范围为≤E≤。

答案：(1) 　(2)　　(3)≤E≤

5.如图所示，圆柱形区域的半径为R，在区域内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场；对称放置的三个相同的电容器，极板间距为d，板间电压为U，与磁场相切的极板在切点处均有一小孔。一带电粒子质量为m、带电荷量为＋q，自某电容器极板上的M点由静止释放，M点在小孔a的正上方，若经过一段时间后，带电粒子又恰好返回M点，不计带电粒子所受重力。求：