2023重庆市万州二中高二上学期开学考试数学含答案

万州二中高2021级高二上入学考试试题（数学）

出题人：程远见   审题人：数学组

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 已知向量满足，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

3.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（    ）

A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

4．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)

A．    B． C．    D．

5．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）

A．11π B．12π C．13π D．14π

6．甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（　　）

A．65，280 B．68，280 C．65，296 D．68，296

7.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ）

A.  B.  C.  D.

8．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9. 若复数，则下列正确的是（     ）

A. 当或时，z为实数

B. 若z为纯虚数，则或

C. 若复数z对应的点位于第二象限，则

D. 若复数z对应的点位于直线上，则

10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且，则有（   ）

A.  B.  C.  D.

11．△ABC中，A＝，AB＝AC＝2，则下列结论中正确的是（　　）

A．若G为△ABC的重心，则 

B．若P为BC边上的一个动点，则为定值4 

C．若M、N为BC边上的两个动点，且的最小值为 

D．已知Q是△ABC内部（含边界）一点，若AQ＝1，且，则λ+μ的最大值是1

12．已知三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，PA＝PC＝，AB⊥BC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQ＝AB，PQ＝3，P与Q都在平面ABC的同侧，则（　　）

A．三棱锥P﹣ABC的体积为         B．PA⊥AB 

C．PC∥BQ                         D．球O的表面积为9π

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13、若，则_____

14.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）

15.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．

16.在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，

（1）求A的值；

（2）若b＝3，求△ABC外接圆的面积．

18．（本题满分12分）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．

（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；

（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．

19．（本题满分12分）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：

（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；

（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．

20、（本题满分12分）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

21．（本题满分12分）在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.

(1)求证：平面BCDE；

(2)求CM与平面所成角的大小；

(3)在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由.