山东省潍坊市2021-2022学年高二上学期期中考试考前适应性训练数学【试卷+答案】

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潍坊市2021—2022学年高二（上）期中考试考前适应性训练

                      数学试题              2021年10月31日

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共计150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，请将试题（卷）和答题纸上密封线内的项目填写清楚.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔填涂在答题卡上.
3. 非选择题用黑色签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，在试题（卷）上作答无效.
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知直线 ，则直线的倾斜角为

 A．  B．  C．  D．

2. 设 是 方向的单位向量，则其坐标为

 A．   B．   C． 或   D．

3. 关于直线 ，下列说法正确的是

 A．直线 的倾斜角为

 B．向量 是直线 的一个方向向量

 C．直线 经过点

 D．向量 是直线 的一个法向量

4. 对于空间向量 ，， 和实数 ，下列命题中为真命题的是

 A．若 ，则 或  B．若 ，则 或

 C．若 ，则 或  D．若 ，则

5. 如图， 是直三棱柱，，点 ， 分别是 ， 的中点，若 ，则 与 所成角的余弦值是

 A．       B．       C．       D．

6. 若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为

 A． B． C． D．

7. 若 ，，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是

 A．   B．   C．   D．

8. 已知点 是直线   上一动点， 是圆   的两条切线， 是切点，若四边形 的最小面积是 ，则 的值为

 A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. 已知点 ，，若直线 过原点，且 ， 两点到直线 的距离相等，则直线 的方程可以为

 A．  B．  C．  D．

10. 已知直线 与圆 ： 相交于 ， 两点（ 为坐标原点），且 为等腰直角三角形，则实数 的值为

 A．  B．  C．  D．

11. 如图，正方体 的棱长为 ， 是 的中点，则

 A．

 B．

 C．三棱锥 的体积为

 D．异面直线 与 所成的角为

12. （2020·单元测试）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ．若直线 上存在一点 ，使过 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 的取值可以是

 A．  B．  C．  D．

第II卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 如图，在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影数量是          ．
14. 已知点 ，，点 是圆 上任意一点，则 面积的最大值是          ．
15. 已知 ，，则直线 与圆： 的位置关系是           ．
16. 如图，正方体 的棱长为 ，点 为底面 的中心，点 在侧面 的边界及其内部运动，且 ．给出下列结论：

① ；

②三棱锥 体积为定值；

③点 在线段 上（ 为 的中点）；

④ 面积的最大值为 ．

其中所有正确结论的序号是    ．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知点 ，，求：

(1)  过点 ， 且周长最小的圆的方程；

(2)  过点 ， 且圆心在直线 上的圆的方程．

18. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，，， 是 的中点，作 交 于点 ．

(1)  证明：；

(2)  证明：；

(3)  求二面角 的大小．

19. 已知圆 ，在圆 上存在不同两点 ， 关于直线 对称．

(1)  求 的值；

(2)  当以 为直径的圆经过原点时，求直线 的方程．

20. 如图，在三棱锥 中，，，．

(1)  若 ，求证：；

(2)  若 与平面 所成角的大小为 ，求二面角 的余弦值．

21. 如图所示，在四棱锥 中，底面四边形 是菱形，， 是边长为 的等边三角形，，．

(1)  求证：．

(2)  求直线 与平面 所成角的大小．

(3)  在线段 上是否存在一点 ，使得 ？如果存在，求 的值，如果不存在，请说明理由．

22. 如图， 的边 边所在直线的方程为 ， 满足 ，点 在 边所在直线上且满足 ．

(1)  求 边所在直线的方程；

(2)  求 的外接圆的方程；

(3)  若点 的坐标为 ，其中 为正整数．试讨论在 的外接圆上是否存在点 ，使得 成立？说明理由．

答案

一、选择题（共8题）

1.  【答案】D

【解析】因为直线方程为 ，

所以直线的倾斜角为 ．

【知识点】直线倾斜角与斜率

2.  【答案】C

【解析】设 ，，

所以 方向的单位向量为 ，

所以 ．

故选C．

【知识点】空间向量的坐标运算

3.  【答案】B

【知识点】直线的一般式方程

4.  【答案】B

【解析】对于选项A，还包括 的情形；对于选项C，结论应是 ；对于选项D，也包括 ， 的情形．

【知识点】空间向量的数量积运算

5.  【答案】A

【解析】以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

设 ，则 ，，，，

可得 ，，

 ，

此时，向量的夹角等于两条直线的夹角．

【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题

6.  【答案】B

【解析】由题意，得直线 过圆心 ，则 ，则 ，

所以 ，所以 的最小值为 ．

【知识点】函数的最大（小）值、圆的一般方程

7.  【答案】B

【解析】由 与 的夹角为钝角，得 ，解得 ．

又因为当 时，，， 与 共线，不符合题意，

所以 的取值范围是 ．

【知识点】空间向量的坐标运算

8.  【答案】D

【解析】提示：如图，当 垂直于直线时，四边形 面积最小．

【知识点】直线与圆的位置关系

二、不定项选择题（共4题）

9.  【答案】A；B

【解析】当斜率不存在时，直线 过原点，可得直线 ：，经检验满足条件．

当斜率存在时，直线 过原点，设直线方程为 ，

则 ，解得 ，即 ．

【知识点】点到直线的距离与两条平行线间的距离、直线的点斜式与斜截式方程

10.  【答案】B；D

【解析】因为直线 与圆 ： 相交于 ， 两点（ 为坐标原点），且 为等腰直角三角形，所以 到直线 的距离为 ，由点到直线的距离公式可得 ，所以 ．

【知识点】直线与圆的综合问题

11.  【答案】A；B；D

【解析】如图建立空间直角坐标系，

 ，，，，，，，，，

 ，，，，

所以 ，即 ，

所以 ，故B正确；

 ，，，

设异面直线 与 所成的角为 ，则 ，又 ，

所以 ，故D正确；

设平面 的法向量为 ，则 即

取 ，则 ，即 ，

又 ，

所以 ，故A正确；

 ，故C错误．

【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题

12.  【答案】A；B

【解析】因为 ，

所以 ，

过点 所作的圆的两条切线相互垂直，

所以点 ，圆心 ，两切点构成正方形，

所以 ， 在直线 上，

所以圆心到直线的距离 ，

解得 ，故选AB．

【知识点】直线与圆的位置关系

三、填空题（共4题）

13.  【答案】

【解析】向量 在向量 方向上的投影数量为 ．

【知识点】空间向量的数量积运算

14.  【答案】

【解析】直线 的方程为 ，，圆心 到直线 的距离 ，点 到直线 的最大距离为 ，故 面积的最大值是 ．

【知识点】直线与圆的综合问题

15.  【答案】相切

【知识点】直线与圆的位置关系

16.  【答案】①②③

【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、棱锥的表面积与体积

四、解答题（共6题）

17.  【答案】

(1)  当 为直径时，过 ， 的圆的半径最小，从而周长最小．

此时圆心为 的中点 ，半径 ．

所以所求圆的方程为 ．

(2)  解法一： 的斜率 ，

则 的垂直平分线的方程是 ，即 ．

又圆心在直线 上，

所以两直线交点为圆心，

由 得

即圆心是 ．

设圆的半径为 ，

则 ，

所以圆的方程是 ．

解法二：设圆的方程为 ．

由题易知

所以圆的方程是 ．

【知识点】圆的标准方程

18.  【答案】

(1)  连接 交 于点 ，连接 ，

在 中，

因为 ， 分别是 ， 的中点，

所以 是 的中位线，

所以 ，

因为 ，，

所以 ．

(2)  因为 ，，，

所以 ，，

因为 可知 是等腰直角三角形，而 是斜边 的中点，

所以 ，

因为底面 是正方形，

所以 ，

又 ，，

所以 ，

而 ，

所以 ，

又 ， 于 点，，

所以 ，

所以 ，

又 ，且 ，，

所以 ．

(3)  以 为原点，，， 所在直线为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，

设 ，则 ，，，

设平面 的一个法向量为 ，

由（Ⅱ）中 ，可得 为平面 的一个法向量，可取 ，

设平面 的一个法向量为 ，

则 ，，

因为  

取 ，则

 ，

所以二面角 的大小为 ．

【知识点】直线与平面垂直关系的判定、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、直线与平面平行关系的判定

19.  【答案】

(1)  圆 可化为 ，圆心为 ，

在圆 上存在两点 ， 满足条件，

则圆心 在直线 上，即 ．

(2)  由（）可知，，设 ，

代入圆 的方程，整理得：，

由 ，解得 ，

设 ，，

则 ，，

由题意知 ，则有 ，

也就是

得 或 ，均满足 ，所以 或 ，

即直线的方程为 或 ．

【知识点】直线与圆的综合问题

20.  【答案】

(1)  因为 ，

 ，，

 ，

所以 ，

因为 ，

所以 ．

又 ，，

所以 ，

因为 ，

所以 ．

(2)  如图，过 作 于点 ，

因为 ，

所以 ，

所以 ，

不妨设 ，所以 ，

以 为原点，分别以 ， 所在直线为 轴， 轴，以过 点且平行于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 ，，，，

因此 ，，，．

设 为平面 的一个法向量，

则 即

令 ，可得 ，

设 为平面 的一个法向量，

则 即

令 ，可得 ，

所以 ，

易知二面角 为锐角，

所以二面角 的余弦值为 ．

【知识点】平面与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角

21.  【答案】

(1)  因为底面 是菱形，，

所以 为 ， 中点．

又因为 ，，

所以 ，，

所以 ．

(2)  由底面 是菱形可得 ，

又由（Ⅰ）可知 ，．

如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ．

由 是边长为 的等边三角形，，

可得 ，．

所以 ，，，．

所以 ，．

由已知可得 ，

设平面 的法向量为 ，则

令 ，则 ，

所以 ．

因为 ，

所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，

所以直线 与平面 所成角的大小为 ．

(3)  设 ，

则 ．

若使 ，需且仅需 且 ，

解得 ，

所以在线段 上存在一点 ，使得 ．

此时 ．

【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角、直线与平面垂直关系的判定

22.  【答案】

(1)  因为 ，

所以 ，又 在 上，所以 ， 为 ，

又 边所在直线的方程为 ，

所以直线 的斜率为 ．

又因为点 在直线 上，

所以 边所在直线的方程为 ．

即 ．

(2)   与 的交点为 ，

所以由 解得点 的坐标为 ，

因为 ，

所以 ，

所以 为 斜边上的中点，即为 外接圆的圆心．

又 ．

从 外接圆的方程为：．

(3)  若在 的外接圆圆 上存在点 ，使得 成立，则 为线段 的垂直平分线 与圆 的公共点．

所以当 与圆 相离时，不存在满足条件的点 ；当 与圆 相交或相切时则存在满足条件的点 ．

由 ，，知 的斜率为 ，线段 的中点为 ．

线段 的垂直平分线 为 ，即 ．

圆 的圆心 到直线 的距离为 ，

（）当 时， 而 ，由 ，此时直线 与圆 相交，存在满足条件的点 ；

（）当 时 ，此时直线 与圆 相交，存在满足条件的点 ；

（）当 时，，，，

所以

此时直线 与圆 相离，不存在满足条件的点 ．

【知识点】平面向量数量积的坐标运算、圆的标准方程、直线与圆的综合问题