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内蒙古包头市第三十五中学2020-2021学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】
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这是一份内蒙古包头市第三十五中学2020-2021学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年内蒙古包头三十五中八年级第一学期期中
数学试卷
一、选择题
1．计算的平方根结果是（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
2．△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1：：2
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣2与 B．与3 C．﹣2与 D．与
4．已知P（2﹣x，3x﹣4）到两坐标轴的距离相等，则x的值为（ ）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．或1
5．已知A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
6．两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a，它们在一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．
8．如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有（ ）
A．a2+b2+4ab＝c2 B．a2+b2＝c2
C．a2+b2﹣2ab＝c2 D．a2+b2＝2c2
9．若+（y+2）2＝0，则（x+y）2020等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．32020 D．﹣32020
10．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝，则（2@6）@6＝（ ）
A．4 B．2 C．6 D．24
11．如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A． B．4 C． D．5
12．下列说法：①有理数与数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③a2的算术平方根是a；④a、b是两个连续整数，若a＜＜b，则a+b的值是7；⑤一次函数y＝4x﹣1与y＝﹣2x﹣1交点在y轴上．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
13．数，，﹣，0.303030…，π，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为 个．
14．已知直角三角形两边长分别是6、8，则第三边长的值是 ．
15．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为 cm2．
16．已知点P（2a﹣6，a+1），若点P在坐标轴上，则点P的坐标为 ．
17．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为 ．
18．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是
19．如图所示，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m，那么梯子底端B也外移 m．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为EF，则BE的长为 ．
三、解答题
21．计算题
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．如图，小区有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC．为响应沙区创文，美化小区的号召，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点A作了垂直于BC的小路AE．经测量，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．
（1）求这块空地ABCD的面积；
（2）求小路AE的长．（答案可含根号）
23．甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．
（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；
（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？
（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．
24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝18，BC＝36．点P从B点出发沿射线BC方向以每秒4个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝3秒时，BP＝ ；AP＝ ；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）当AP恰好平分∠BAC时，求t的值．
25．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．
（1）经过3秒时，△BPQ的面积为多少？
（2）当t为何值时，BP＝BQ？
（3）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？
26．如图，直线L1的解析表达式为：y＝−3x+3，且L1与x轴交于点D，直线L2经过点A、B，直线L1，L2交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线L2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标．
参考答案
一、选择题
1．计算的平方根结果是（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
【分析】先求得＝4，然后再求4的平方根即可．
解：＝4，4的平方根是±2．
故选：A．
2．△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1：：2
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理求出最大角，即可判断．
解：A、由b2＝（a+c）（a﹣c）可得：c2+b2＝a2，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、12+（）2＝22，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，可得：∠A＝90°，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣2与 B．与3 C．﹣2与 D．与
【分析】先求出每个式子的值，再根据相反数的定义判断即可．
解：A、﹣2和﹣不互为相反数，故本选项不符合题意；
B、＝3和3不互为相反数，故本选项不符合题意；
C、＝﹣2和﹣2不互为相反数，故本选项不符合题意；
D、＝2，＝﹣2，两数互为相反数，故本选项符合题意；
故选：D．
4．已知P（2﹣x，3x﹣4）到两坐标轴的距离相等，则x的值为（ ）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．或1
【分析】根据到两坐标轴的距离相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：由题意，得
2﹣x＝3x﹣4或2﹣x+（3x﹣4）＝0，
解2﹣x＝3x﹣4得x＝，
解2﹣x+（3x﹣4）＝0得x＝1，
x的值为或1，
故选：D．
5．已知A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2，y3的值，比较后可得出结论．
解：∵A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，
∴y1＝1+b，y2＝+b，y3＝﹣3+b．
∵﹣3+b＜1+b＜+b，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
6．两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a，它们在一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先由一次函数y1＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与一次函数y2＝bx+a的图象相比较看是否一致．
解：A、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一三四象限，
∴a＞0，b＜0；
由一次函数y2＝bx+a图象可知，b＜0，a＜0，两结论矛盾，故错误；
B、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一二三象限，
∴a＞0，b＞0；
由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论相矛盾，故错误；
C、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一三四象限，
∴a＞0，b＜0；
由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论不矛盾，故正确；
D、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一二四象限，
∴a＜0，b＞0；
由y2的图象可知，a＜0，b＜0，两结论相矛盾，故错误．
故选：C．
7．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．
解：∵AB＝3，AD＝1，
∴AC＝＝，
∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，
AM＝AC＝，
∵A点表示﹣1，
∴M点表示的数为：﹣1，
故选：A．
8．如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有（ ）
A．a2+b2+4ab＝c2 B．a2+b2＝c2
C．a2+b2﹣2ab＝c2 D．a2+b2＝2c2
【分析】根据梯形的面积相等列出等式，根据完全平方公式计算，得到答案．
解：由题意得：＝ab+，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：B．
9．若+（y+2）2＝0，则（x+y）2020等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．32020 D．﹣32020
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解：∵+（y+2）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴（x+y）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故选：B．
10．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝，则（2@6）@6＝（ ）
A．4 B．2 C．6 D．24
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
解：根据题中的新定义得：原式＝4@6＝2，
故选：B．
11．如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A． B．4 C． D．5
【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，
解：如图，
它运动的最短路程AB＝＝，
故选：C．
12．下列说法：①有理数与数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③a2的算术平方根是a；④a、b是两个连续整数，若a＜＜b，则a+b的值是7；⑤一次函数y＝4x﹣1与y＝﹣2x﹣1交点在y轴上．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应的即可判断①；根据无理数的定义即可判断②；根据算术平方根的定义即可判断③；估算的范围，即可判断④；求出两函数解析式组成的方程组的解，即可判断⑤．
解：①、实数与数轴上的点是一一对应的，有理数都可以在数轴上表示出来，但是数轴上表示的数不一定是有理数，故①错误；
②、如π也是无理数，无理数是指无限不循环小数，不一定是开方开不尽的数，故②错误；
③、a2的算术平方根是|a|（只有当a≥0时，a2的算术平方根才是a，故③错误；
④、∵a、b是两个连续整数，若a＜＜b，
∴a＝3，b＝4，
∴a+b＝3+4＝7，故④正确；
⑤解方程组得：，
即一次函数y＝4x﹣1与y＝﹣2x﹣1交点在y轴上，故⑤正确；
即正确的有2个，
故选：C．
二、填空题
13．数，，﹣，0.303030…，π，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为 3 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：＝2，是整数，属于有理数；
，﹣，是分数，属于有理数；
0.303030…，是循环小数，属于有理数；
无理数有π，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）共3个．
故答案为：3．
14．已知直角三角形两边长分别是6、8，则第三边长的值是 2或10 ．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解：当8是斜边时，第三边长＝＝2；
当6和8是直角边时，第三边长＝＝10；
∴第三边的长为：2或10，
故答案为：2或10．
15．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为 49 cm2．
【分析】如下图，根据正方形的面积公式等于边长的平方，四边形A的面积是a2，四边形B的面积是b2，a、b是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有a2+b2＝e2；同理，四边形C的面积是c2，四边形D的面积是d2，c、d是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有c2+d2＝f2；根据正方形的对边相等，e、f就是下面大直角三角形的直角边，根据勾股定理，得到e2+f2＝g2，g是最大的正方形边长为7cm，所以正方形A、B、C、D面积之和为7×7平方厘米．
解：
7×7＝49（平方厘米）
答：正方形A、B、C、D面积之和为49平方厘米．
故答案为：49．
16．已知点P（2a﹣6，a+1），若点P在坐标轴上，则点P的坐标为 （﹣8，0）或（0，4） ．
【分析】分点P在x轴上，纵坐标为0；在y轴上，横坐标为0，分别列式求出a的值，再求解即可．
解：当P在x轴上时，a+1＝0，解得a＝﹣1，P（﹣8，0）；
当P在y轴上时，2a﹣6＝0，解得a＝3，P（0，4）．
所以P（﹣8，0）或（0，4）．
故答案为（﹣8，0）或（0，4）．
17．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为 45° ．
【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠BAC的度数．
解：连接BC．
根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，
∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠BAC＝45°．
故答案为：45°．
18．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 2a
【分析】结合数轴知b＜0＜a，b﹣a＜0，再利用＝|a|化简可得．
解：由数轴知b＜0＜a，
则b﹣a＜0，
原式＝|b﹣a|+|a|﹣|b|
＝a﹣b+a+b
＝2a，
故答案为：2a．
19．如图所示，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m，那么梯子底端B也外移 1 m．
【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形即可．
解：在Rt△ABO中，根据勾股定理知，BO＝＝3，
在Rt△COD中，根据勾股定理知，DO＝，
所以BD＝DO﹣BO＝1（米）．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为EF，则BE的长为 4 ．
【分析】设BE＝x，则由折叠的性质可得DE＝AE＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BED中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
解：设BE＝x，由折叠的性质可得DE＝AE＝9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝3，
在Rt△EBD中，x2+32＝（9﹣x）2，
解得x＝4．
即BE＝4．
故答案为：4．
三、解答题
21．计算题
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并即可求解；
（2）先利用乘法分配律进行乘法运算，再化简合并即可求解；
（3）先将第一项化简，同时利用乘法结合律计算后两项，再合并即可求解；
（4）利用平方差公式，完全平方公式计算，再合并即可求解．
解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝6﹣3×15
＝6﹣45
＝﹣39；
（3）原式＝
＝
＝1×3
＝3；
（4）原式＝
＝12﹣6﹣（3﹣+2）
＝6﹣5+
＝1+．
22．如图，小区有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC．为响应沙区创文，美化小区的号召，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点A作了垂直于BC的小路AE．经测量，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．
（1）求这块空地ABCD的面积；
（2）求小路AE的长．（答案可含根号）
【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理可证明△ACD是直角三角形，根据面积和可得结论；
（2）利用三角形的面积公式求解即可．
解：（1）如图，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝9，AB＝4，
∴AC＝＝＝，
∵AD＝7，CD＝4，
∴AD2+CD2＝72+42＝65，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠D＝90°，
∴这块空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝＝＝2+14，
答：这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；
（2）S△ABC＝，
4×＝9×AE，
∴AE＝m．
23．甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．
（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；
（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？
（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．
【分析】（1）根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可；
（2）根据收费相同，列出方程求解即可；
（3）根据函数解析式分别求出x＝5时的函数值，即可得解．
解：（1）当x＝1时，y1＝3000；
当x＞1时，y1＝3000+3000（x﹣1）×（1﹣30%）＝2100x+900．
∴y1＝2100x+900（x≥1），
y2＝3000x（1﹣25%）＝2250x，
∴y2＝2250x；
（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x+900＝2250x，
解得x＝6，
答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；
（3）x＝5时，y1＝2100x+900＝2100×5+900＝11400，
y2＝2250x＝2250×5＝11250，
∵11400＞11250，
∴所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．
24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝18，BC＝36．点P从B点出发沿射线BC方向以每秒4个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝3秒时，BP＝ 12 ；AP＝ 30 ；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）当AP恰好平分∠BAC时，求t的值．
【分析】（1）根据题意求出BP，根据勾股定理计算，求出AP；
（2）分BP＝AB、AP＝AB、PA＝PB三种情况，根据勾股定理计算即可；
（3）过点P作PF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到PC＝PF，进而证明Rt△APF≌Rt△APC，根据全等三角形的性质得到AF＝AC，根据勾股定理计算，得到答案．
解：（1）由题意得：BP＝4t，
∴当t＝3秒时，BP＝4×3＝12，
∵BC＝36，
∴PC＝BC﹣BP＝36﹣12＝24，
由勾股定理得：AP＝＝＝30，
故答案为：12；30；
（2）在Rt△ABC中，AC＝18，BC＝36，
∴AB＝＝＝18，
当BP＝AB＝18时，t＝18÷4＝；
当AP＝AB时，BP＝2BC＝72，则t＝72÷4＝18；
当PA＝PB＝4t时，
在Rt△APC中，AP2＝PC2+AC2，即（4t）2＝（36﹣4t）2+182，
解得：t＝，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝或18或；
（3）如图，过点P作PF⊥AB于F，
∵AP平分∠BAC，PF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴PC＝PF＝36﹣4t，
在Rt△APF和Rt△APC中，
，
∴Rt△APF≌Rt△APC（HL），
∴AF＝AC＝18，
∴BF＝18﹣18，
在Rt△BPF中，BP2＝PF2+BF2，即（4t）2＝（18﹣18）2+（36﹣4t）2，
解得：t＝，即AP恰好平分∠BAC时，t＝．
25．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．
（1）经过3秒时，△BPQ的面积为多少？
（2）当t为何值时，BP＝BQ？
（3）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？
【分析】（1）根据三角形的周长公式求出三边长，根据勾股定理的逆定理得出∠B＝90°，根据三角形的面积公式求出△BPQ的面积；
（2）根据题意列出方程，解方程得到答案；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到BP＝BQ，进而列出方程，解方程即可得出答案．
解：（1）设AB、BC、CA分别为3x、4x、5x，
由题意得：3x+4x+5x＝36，
解得：x＝3，
则AB＝3x＝9，BC＝4x＝12，AC＝5x＝15，
∵AB2+BC2＝92+122＝225，AC2＝152＝225，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
当t＝3时，AP＝3cm，BQ＝6cm，
则BP＝9﹣3＝6cm，
∴S△BPQ＝×6×6＝18（cm2）；
（2）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，
则BP＝6﹣t，
当BP＝BQ时，6﹣t＝×2t，
解得：t＝3；
（3）当点B在PQ的垂直平分线上时，BP＝BQ，即6﹣t＝2t，
解得：t＝2．
26．如图，直线L1的解析表达式为：y＝−3x+3，且L1与x轴交于点D，直线L2经过点A、B，直线L1，L2交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线L2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标．
【分析】（1）把y＝0代入y＝−3x+3，得出一元一次方程﹣3x+3＝0，解方程，得出点D的横坐标，则点D的坐标为（1，0）；
（2）根据点C在L1的函数图像上，可求C点坐标为（2，﹣3），通过图像可知（0，6）用待定系数法，求出直线L2的函数关系式；
（3）先根据L1，L2的函数关系式，求出两条直线的交点坐标，把AD作为△ADC的底，点C的纵坐标的绝对值为AD边上的高，即可求解；
（4）根据△ADP与△ADC的面积相等，底相等，得出AD边上的高也相等，在根据C点纵坐标为﹣3，则D点的纵坐标为3，然后把y＝3代入y＝x﹣6，得出点P的横坐标，即可求解．
解：（1）∵y＝−3x+3，
∴令y＝0，得﹣3x+3＝0，
解得：x＝1，
∴D（1，0）；
（2）设直线L2的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵点C的横坐标为2，且在y＝−3x+3上，
∴C（2，﹣3），
图象可得：x＝0，y＝﹣6，
代入表达式y＝kx+b，
，
解得，
∴直线L2的解析式为y＝x﹣6，
（3）如图所示：
∵y＝x﹣6，
∴令y＝0，得x﹣6＝0，
解得：x＝4，
∴A（4，0），
∵D（1，0）；
∴AD＝3，
∵C（2，﹣3），
∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；
（4）∵点P与点C到AD的距离相等，
∴P点的纵坐标为3，
当y＝3时，，
解得x＝6，
∴P点坐标为（6，3）．
2020-2021学年内蒙古包头三十五中八年级第一学期期中
数学试卷
一、选择题
1．计算的平方根结果是（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
2．△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1：：2
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣2与 B．与3 C．﹣2与 D．与
4．已知P（2﹣x，3x﹣4）到两坐标轴的距离相等，则x的值为（ ）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．或1
5．已知A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
6．两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a，它们在一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．
8．如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有（ ）
A．a2+b2+4ab＝c2 B．a2+b2＝c2
C．a2+b2﹣2ab＝c2 D．a2+b2＝2c2
9．若+（y+2）2＝0，则（x+y）2020等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．32020 D．﹣32020
10．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝，则（2@6）@6＝（ ）
A．4 B．2 C．6 D．24
11．如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A． B．4 C． D．5
12．下列说法：①有理数与数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③a2的算术平方根是a；④a、b是两个连续整数，若a＜＜b，则a+b的值是7；⑤一次函数y＝4x﹣1与y＝﹣2x﹣1交点在y轴上．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
13．数，，﹣，0.303030…，π，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为 个．
14．已知直角三角形两边长分别是6、8，则第三边长的值是 ．
15．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为 cm2．
16．已知点P（2a﹣6，a+1），若点P在坐标轴上，则点P的坐标为 ．
17．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为 ．
18．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是
19．如图所示，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m，那么梯子底端B也外移 m．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为EF，则BE的长为 ．
三、解答题
21．计算题
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．如图，小区有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC．为响应沙区创文，美化小区的号召，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点A作了垂直于BC的小路AE．经测量，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．
（1）求这块空地ABCD的面积；
（2）求小路AE的长．（答案可含根号）
23．甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．
（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；
（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？
（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．
24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝18，BC＝36．点P从B点出发沿射线BC方向以每秒4个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝3秒时，BP＝ ；AP＝ ；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）当AP恰好平分∠BAC时，求t的值．
25．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．
（1）经过3秒时，△BPQ的面积为多少？
（2）当t为何值时，BP＝BQ？
（3）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？
26．如图，直线L1的解析表达式为：y＝−3x+3，且L1与x轴交于点D，直线L2经过点A、B，直线L1，L2交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线L2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标．
参考答案
一、选择题
1．计算的平方根结果是（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
【分析】先求得＝4，然后再求4的平方根即可．
解：＝4，4的平方根是±2．
故选：A．
2．△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1：：2
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理求出最大角，即可判断．
解：A、由b2＝（a+c）（a﹣c）可得：c2+b2＝a2，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、12+（）2＝22，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，可得：∠A＝90°，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣2与 B．与3 C．﹣2与 D．与
【分析】先求出每个式子的值，再根据相反数的定义判断即可．
解：A、﹣2和﹣不互为相反数，故本选项不符合题意；
B、＝3和3不互为相反数，故本选项不符合题意；
C、＝﹣2和﹣2不互为相反数，故本选项不符合题意；
D、＝2，＝﹣2，两数互为相反数，故本选项符合题意；
故选：D．
4．已知P（2﹣x，3x﹣4）到两坐标轴的距离相等，则x的值为（ ）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．或1
【分析】根据到两坐标轴的距离相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：由题意，得
2﹣x＝3x﹣4或2﹣x+（3x﹣4）＝0，
解2﹣x＝3x﹣4得x＝，
解2﹣x+（3x﹣4）＝0得x＝1，
x的值为或1，
故选：D．
5．已知A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2，y3的值，比较后可得出结论．
解：∵A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，
∴y1＝1+b，y2＝+b，y3＝﹣3+b．
∵﹣3+b＜1+b＜+b，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
6．两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a，它们在一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先由一次函数y1＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与一次函数y2＝bx+a的图象相比较看是否一致．
解：A、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一三四象限，
∴a＞0，b＜0；
由一次函数y2＝bx+a图象可知，b＜0，a＜0，两结论矛盾，故错误；
B、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一二三象限，
∴a＞0，b＞0；
由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论相矛盾，故错误；
C、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一三四象限，
∴a＞0，b＜0；
由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论不矛盾，故正确；
D、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一二四象限，
∴a＜0，b＞0；
由y2的图象可知，a＜0，b＜0，两结论相矛盾，故错误．
故选：C．
7．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．
解：∵AB＝3，AD＝1，
∴AC＝＝，
∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，
AM＝AC＝，
∵A点表示﹣1，
∴M点表示的数为：﹣1，
故选：A．
8．如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有（ ）
A．a2+b2+4ab＝c2 B．a2+b2＝c2
C．a2+b2﹣2ab＝c2 D．a2+b2＝2c2
【分析】根据梯形的面积相等列出等式，根据完全平方公式计算，得到答案．
解：由题意得：＝ab+，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：B．
9．若+（y+2）2＝0，则（x+y）2020等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．32020 D．﹣32020
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解：∵+（y+2）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴（x+y）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故选：B．
10．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝，则（2@6）@6＝（ ）
A．4 B．2 C．6 D．24
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
解：根据题中的新定义得：原式＝4@6＝2，
故选：B．
11．如图，桌面上的正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A． B．4 C． D．5
【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，
解：如图，
它运动的最短路程AB＝＝，
故选：C．
12．下列说法：①有理数与数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③a2的算术平方根是a；④a、b是两个连续整数，若a＜＜b，则a+b的值是7；⑤一次函数y＝4x﹣1与y＝﹣2x﹣1交点在y轴上．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应的即可判断①；根据无理数的定义即可判断②；根据算术平方根的定义即可判断③；估算的范围，即可判断④；求出两函数解析式组成的方程组的解，即可判断⑤．
解：①、实数与数轴上的点是一一对应的，有理数都可以在数轴上表示出来，但是数轴上表示的数不一定是有理数，故①错误；
②、如π也是无理数，无理数是指无限不循环小数，不一定是开方开不尽的数，故②错误；
③、a2的算术平方根是|a|（只有当a≥0时，a2的算术平方根才是a，故③错误；
④、∵a、b是两个连续整数，若a＜＜b，
∴a＝3，b＝4，
∴a+b＝3+4＝7，故④正确；
⑤解方程组得：，
即一次函数y＝4x﹣1与y＝﹣2x﹣1交点在y轴上，故⑤正确；
即正确的有2个，
故选：C．
二、填空题
13．数，，﹣，0.303030…，π，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为 3 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：＝2，是整数，属于有理数；
，﹣，是分数，属于有理数；
0.303030…，是循环小数，属于有理数；
无理数有π，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）共3个．
故答案为：3．
14．已知直角三角形两边长分别是6、8，则第三边长的值是 2或10 ．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解：当8是斜边时，第三边长＝＝2；
当6和8是直角边时，第三边长＝＝10；
∴第三边的长为：2或10，
故答案为：2或10．
15．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为 49 cm2．
【分析】如下图，根据正方形的面积公式等于边长的平方，四边形A的面积是a2，四边形B的面积是b2，a、b是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有a2+b2＝e2；同理，四边形C的面积是c2，四边形D的面积是d2，c、d是对应直角三角形的直角边，根据勾股定理，则有c2+d2＝f2；根据正方形的对边相等，e、f就是下面大直角三角形的直角边，根据勾股定理，得到e2+f2＝g2，g是最大的正方形边长为7cm，所以正方形A、B、C、D面积之和为7×7平方厘米．
解：
7×7＝49（平方厘米）
答：正方形A、B、C、D面积之和为49平方厘米．
故答案为：49．
16．已知点P（2a﹣6，a+1），若点P在坐标轴上，则点P的坐标为 （﹣8，0）或（0，4） ．
【分析】分点P在x轴上，纵坐标为0；在y轴上，横坐标为0，分别列式求出a的值，再求解即可．
解：当P在x轴上时，a+1＝0，解得a＝﹣1，P（﹣8，0）；
当P在y轴上时，2a﹣6＝0，解得a＝3，P（0，4）．
所以P（﹣8，0）或（0，4）．
故答案为（﹣8，0）或（0，4）．
17．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为 45° ．
【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠BAC的度数．
解：连接BC．
根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，
∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠BAC＝45°．
故答案为：45°．
18．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 2a
【分析】结合数轴知b＜0＜a，b﹣a＜0，再利用＝|a|化简可得．
解：由数轴知b＜0＜a，
则b﹣a＜0，
原式＝|b﹣a|+|a|﹣|b|
＝a﹣b+a+b
＝2a，
故答案为：2a．
19．如图所示，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m，那么梯子底端B也外移 1 m．
【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形即可．
解：在Rt△ABO中，根据勾股定理知，BO＝＝3，
在Rt△COD中，根据勾股定理知，DO＝，
所以BD＝DO﹣BO＝1（米）．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为EF，则BE的长为 4 ．
【分析】设BE＝x，则由折叠的性质可得DE＝AE＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BED中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
解：设BE＝x，由折叠的性质可得DE＝AE＝9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝3，
在Rt△EBD中，x2+32＝（9﹣x）2，
解得x＝4．
即BE＝4．
故答案为：4．
三、解答题
21．计算题
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并即可求解；
（2）先利用乘法分配律进行乘法运算，再化简合并即可求解；
（3）先将第一项化简，同时利用乘法结合律计算后两项，再合并即可求解；
（4）利用平方差公式，完全平方公式计算，再合并即可求解．
解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝6﹣3×15
＝6﹣45
＝﹣39；
（3）原式＝
＝
＝1×3
＝3；
（4）原式＝
＝12﹣6﹣（3﹣+2）
＝6﹣5+
＝1+．
22．如图，小区有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC．为响应沙区创文，美化小区的号召，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点A作了垂直于BC的小路AE．经测量，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．
（1）求这块空地ABCD的面积；
（2）求小路AE的长．（答案可含根号）
【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理可证明△ACD是直角三角形，根据面积和可得结论；
（2）利用三角形的面积公式求解即可．
解：（1）如图，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝9，AB＝4，
∴AC＝＝＝，
∵AD＝7，CD＝4，
∴AD2+CD2＝72+42＝65，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠D＝90°，
∴这块空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝＝＝2+14，
答：这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；
（2）S△ABC＝，
4×＝9×AE，
∴AE＝m．
23．甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．
（1）分别求出y1，y2与x之间的关系式；
（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？
（3）当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．
【分析】（1）根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可；
（2）根据收费相同，列出方程求解即可；
（3）根据函数解析式分别求出x＝5时的函数值，即可得解．
解：（1）当x＝1时，y1＝3000；
当x＞1时，y1＝3000+3000（x﹣1）×（1﹣30%）＝2100x+900．
∴y1＝2100x+900（x≥1），
y2＝3000x（1﹣25%）＝2250x，
∴y2＝2250x；
（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x+900＝2250x，
解得x＝6，
答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；
（3）x＝5时，y1＝2100x+900＝2100×5+900＝11400，
y2＝2250x＝2250×5＝11250，
∵11400＞11250，
∴所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．
24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝18，BC＝36．点P从B点出发沿射线BC方向以每秒4个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝3秒时，BP＝ 12 ；AP＝ 30 ；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）当AP恰好平分∠BAC时，求t的值．
【分析】（1）根据题意求出BP，根据勾股定理计算，求出AP；
（2）分BP＝AB、AP＝AB、PA＝PB三种情况，根据勾股定理计算即可；
（3）过点P作PF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到PC＝PF，进而证明Rt△APF≌Rt△APC，根据全等三角形的性质得到AF＝AC，根据勾股定理计算，得到答案．
解：（1）由题意得：BP＝4t，
∴当t＝3秒时，BP＝4×3＝12，
∵BC＝36，
∴PC＝BC﹣BP＝36﹣12＝24，
由勾股定理得：AP＝＝＝30，
故答案为：12；30；
（2）在Rt△ABC中，AC＝18，BC＝36，
∴AB＝＝＝18，
当BP＝AB＝18时，t＝18÷4＝；
当AP＝AB时，BP＝2BC＝72，则t＝72÷4＝18；
当PA＝PB＝4t时，
在Rt△APC中，AP2＝PC2+AC2，即（4t）2＝（36﹣4t）2+182，
解得：t＝，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝或18或；
（3）如图，过点P作PF⊥AB于F，
∵AP平分∠BAC，PF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴PC＝PF＝36﹣4t，
在Rt△APF和Rt△APC中，
，
∴Rt△APF≌Rt△APC（HL），
∴AF＝AC＝18，
∴BF＝18﹣18，
在Rt△BPF中，BP2＝PF2+BF2，即（4t）2＝（18﹣18）2+（36﹣4t）2，
解得：t＝，即AP恰好平分∠BAC时，t＝．
25．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．
（1）经过3秒时，△BPQ的面积为多少？
（2）当t为何值时，BP＝BQ？
（3）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？
【分析】（1）根据三角形的周长公式求出三边长，根据勾股定理的逆定理得出∠B＝90°，根据三角形的面积公式求出△BPQ的面积；
（2）根据题意列出方程，解方程得到答案；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到BP＝BQ，进而列出方程，解方程即可得出答案．
解：（1）设AB、BC、CA分别为3x、4x、5x，
由题意得：3x+4x+5x＝36，
解得：x＝3，
则AB＝3x＝9，BC＝4x＝12，AC＝5x＝15，
∵AB2+BC2＝92+122＝225，AC2＝152＝225，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
当t＝3时，AP＝3cm，BQ＝6cm，
则BP＝9﹣3＝6cm，
∴S△BPQ＝×6×6＝18（cm2）；
（2）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，
则BP＝6﹣t，
当BP＝BQ时，6﹣t＝×2t，
解得：t＝3；
（3）当点B在PQ的垂直平分线上时，BP＝BQ，即6﹣t＝2t，
解得：t＝2．
26．如图，直线L1的解析表达式为：y＝−3x+3，且L1与x轴交于点D，直线L2经过点A、B，直线L1，L2交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线L2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标．
【分析】（1）把y＝0代入y＝−3x+3，得出一元一次方程﹣3x+3＝0，解方程，得出点D的横坐标，则点D的坐标为（1，0）；
（2）根据点C在L1的函数图像上，可求C点坐标为（2，﹣3），通过图像可知（0，6）用待定系数法，求出直线L2的函数关系式；
（3）先根据L1，L2的函数关系式，求出两条直线的交点坐标，把AD作为△ADC的底，点C的纵坐标的绝对值为AD边上的高，即可求解；
（4）根据△ADP与△ADC的面积相等，底相等，得出AD边上的高也相等，在根据C点纵坐标为﹣3，则D点的纵坐标为3，然后把y＝3代入y＝x﹣6，得出点P的横坐标，即可求解．
解：（1）∵y＝−3x+3，
∴令y＝0，得﹣3x+3＝0，
解得：x＝1，
∴D（1，0）；
（2）设直线L2的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵点C的横坐标为2，且在y＝−3x+3上，
∴C（2，﹣3），
图象可得：x＝0，y＝﹣6，
代入表达式y＝kx+b，
，
解得，
∴直线L2的解析式为y＝x﹣6，
（3）如图所示：
∵y＝x﹣6，
∴令y＝0，得x﹣6＝0，
解得：x＝4，
∴A（4，0），
∵D（1，0）；
∴AD＝3，
∵C（2，﹣3），
∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；
（4）∵点P与点C到AD的距离相等，
∴P点的纵坐标为3，
当y＝3时，，
解得x＝6，
∴P点坐标为（6，3）．
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