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河南省南阳市淅川县2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷（a卷） 解析版
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这是一份河南省南阳市淅川县2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷（a卷） 解析版，共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．0B．﹣C．D．3.14
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5B．4，5，6C．2，3，4D．1，，3
3．已知等腰三角形两边分别是10cm和5cm，那么它的周长是（ ）
A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm
4．如图，已知AB＝DC，需添加下列（ ）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．
A．AO＝BOB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．BO＝CO
5．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z）B．﹣x2y+4xy＝﹣xy（x+4）
C．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2D．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1）
6．一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，16，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为（ ）
A．20B．22C．24D．30
7．已知20102022﹣20102020＝2010x×2009×2011，那么x的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
8．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cmB．12cmC．15cmD．17cm
9．下列是真命题的个数有（ ）
①同旁内角互补，两直线平行；
②若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等；
③平行于同一条直线的两条直线也互相平行；
④全等三角形的周长相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知：m+2n﹣3＝0，则2m•4n的值为 ．
12．一位同学随手写下了一串数字10100100011000110000，在这一串数字中，1出现的频率是 ．
13．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝ ．
14．如图所示，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是 ．
15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为 cm．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）（π﹣3）0+|﹣5|﹣（﹣）2019（）2020﹣（﹣1）3．
（2）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝5，y＝2．
17．（9分）已知（x2+mx+n）（x﹣1）的结果中不含x2项和x项，求m、n的值．
18．（9分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？
19．（9分）为了解龙华区某校七年级学生对A《最强大脑》、B《朗读者》、C《中国诗词大会》、D《极限挑战》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了m位学生进行调查统计（要求每位学生选出并且只能选一个自己最喜爱的节目）．并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ．
（2）在图1中，喜爱《极限挑战》节目所对应的扇形的圆心角度数是 度；
（3）请根据以上信息补全图2的条形统计图；
（4）已知该校七年级共有500位学生，那么他们最喜欢《最强大脑》这个节目的学生约有 人．
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．求证：
（1）DE＝DF；
（2）△DEF为等腰直角三角形．
21．（10分）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这种变形方法叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如；x2+11x+24＝x2+11x+（）2﹣（）2+24
＝（x+）2﹣＝（x++）（x+﹣）
＝（x+8）（x+3）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法将x2+4x﹣5化成＝（x+m）2+n的形式，则x2+4x﹣5＝ ；
（2）用配方法和平方差公式把多项式x2﹣6x﹣7因式分解；
（3）对于任意实数x，y，多项式x2+y2﹣2x﹣8y+19的值总为 （填序号）．
①正数；②非负数；③0．
22．（10分）如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝16，CF＝12，求OC的长．
23．（11分）在ABC中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．
（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由．
（2）在点P滑动的过程中，是否存在△ADP≌△BPC．若存在，求出AP长度；若不存在，说明理由．
2020-2021学年河南省南阳市淅川县老城、大石桥、滔河三乡八年级（上）期末数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内.
1．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．0B．﹣C．D．3.14
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：A、0是有理数，故A错误；
B、﹣是有理数，故B错误；
C、是无理数，故C正确；
D、3.14是有理数，故D错误；
故选：C．
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5B．4，5，6C．2，3，4D．1，，3
【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、1.52+22＝2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：A．
3．已知等腰三角形两边分别是10cm和5cm，那么它的周长是（ ）
A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为5cm时，5+5＝10，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为10cm时，10﹣5＜10＜10+5，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为10+10+5＝25cm．
故选：C．
4．如图，已知AB＝DC，需添加下列（ ）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．
A．AO＝BOB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．BO＝CO
【分析】利用三角形全等的判定方法进行分析即可．
【解答】解：A、添加AO＝BO不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加∠ACB＝∠DBC不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加AC＝DB可利用SSS判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
D、添加BO＝CO不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
故选：C．
5．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z）B．﹣x2y+4xy＝﹣xy（x+4）
C．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2D．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1）
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：A、x2y2﹣z2＝（xy+z）（xy﹣z），故此选项错误；
B、﹣x2y+4xy＝﹣xy（x﹣4），故此选项错误；
C、9﹣12a+4a2＝（3﹣2a）2，故此选项错误；
D、（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1），正确．
故选：D．
6．一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，16，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为（ ）
A．20B．22C．24D．30
【分析】直接利用频数与频率的关系得出第5组的频数，进而得出答案．
【解答】解：∵一组数据共100个，第5组的频率为0.20，
∴第5组的频数是：100×0.20＝20，
∵一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，16，20，
∴第6组的频数为：100﹣20﹣10﹣14﹣16﹣20＝20．
故选：A．
7．已知20102022﹣20102020＝2010x×2009×2011，那么x的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【分析】将式子2010x×2009×2011化为2010x+2﹣2010x，则有20102022﹣20102020＝2010x+2﹣2010x，即可求x．
【解答】解：2010x×2009×2011＝2010x×（2010+1）（2010﹣1）＝2010x×（20102﹣1）＝2010x+2﹣2010x，
∵20102022﹣20102020＝2010x+2﹣2010x，
∴x＝2020，
故选：C．
8．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cmB．12cmC．15cmD．17cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DA，AB＝2AE＝8cm，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，AB＝2AE＝8（cm），
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9（cm），
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17（cm），
故选：D．
9．下列是真命题的个数有（ ）
①同旁内角互补，两直线平行；
②若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等；
③平行于同一条直线的两条直线也互相平行；
④全等三角形的周长相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用平行线的性质、实数的性质、平行线的判定及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
②若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故原命题错误，不符合题意；
③平行于同一条直线的两条直线也互相平行，正确，是真命题，符合题意；
④全等三角形的周长相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
10．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10．
设BE＝a，则CE＝8﹣a，
根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∴FC＝4．
在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，
∴CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，
解得：a＝3，
∴8﹣a＝5．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知：m+2n﹣3＝0，则2m•4n的值为 8 ．
【分析】由m+2n﹣3＝0可得m+2n＝3，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则可得2m•4n＝2m•22n＝2m+2n，再把m+2n＝3代入计算即可．
【解答】解：由m+2n﹣3＝0可得m+2n＝3，
∴2m•4n＝2m•22n＝2m+2n＝23＝8．
故答案为：8．
12．一位同学随手写下了一串数字10100100011000110000，在这一串数字中，1出现的频率是 0.35 ．
【分析】首先计算数字的总数，以及1出现的频数，根据频率公式：频率＝即可求解．
【解答】解：数字的总数是20，有7个1，
因而1出现的频率是：＝0.35．
故答案为：0.35．
13．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝ ﹣y（3x﹣y）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2，
故答案为：﹣y（3x﹣y）2
14．如图所示，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是 5 ．
【分析】连接OA，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OG＝OH＝OD＝1，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接OA，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+BC+AC＝10，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OG⊥AB，OH⊥AC，
∴OG＝OH＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△ABO的面积+△OBC的面积+△AOC的面积
＝×AB×OG+×BC×OD+×AC×OH
＝×10×1
＝5，
故答案为：5．
15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为 5 cm．
【分析】只要证明△BDF和△CEF为等腰三角形，即可解决问题．
【解答】证明：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形；
∵DF＝BD，CE＝EF，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），
∴EC＝5（cm），
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）（π﹣3）0+|﹣5|﹣（﹣）2019（）2020﹣（﹣1）3．
（2）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝5，y＝2．
【分析】（1）根据零指数幂的意义以及实数的运算法则即可求出答案．
（2）先根据整式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝1+5+（×）2019×+1
＝1+5++1
＝8．
（2）原式＝（x2﹣4y2﹣x2﹣8xy﹣16y2）÷4y
＝（﹣20xy2﹣8xy）÷4y
＝﹣5y﹣2x，
当x＝5，y＝2时，
原式＝﹣10﹣10＝﹣20．
17．（9分）已知（x2+mx+n）（x﹣1）的结果中不含x2项和x项，求m、n的值．
【分析】把式子展开，合并同类项后找到x2项和x项的系数，令其为0，可求出m和n的值．
【解答】解：（x2+mx+n）（x﹣1）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n．
∵结果中不含x2的项和x项，
∴m﹣1＝0且n﹣m＝0，
解得：m＝1，n＝1．
18．（9分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？
【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【解答】解：如图1，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，
∴MN＝＝20（cm）；
如图2，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，
∴MN＝＝2（cm）．
如图3中，
MN＝＝2（cm），
∵20＜2＜2，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm．
19．（9分）为了解龙华区某校七年级学生对A《最强大脑》、B《朗读者》、C《中国诗词大会》、D《极限挑战》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了m位学生进行调查统计（要求每位学生选出并且只能选一个自己最喜爱的节目）．并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）m＝ 50 ，n＝ 30 ．
（2）在图1中，喜爱《极限挑战》节目所对应的扇形的圆心角度数是 36 度；
（3）请根据以上信息补全图2的条形统计图；
（4）已知该校七年级共有500位学生，那么他们最喜欢《最强大脑》这个节目的学生约有 100 人．
【分析】（1）从两个统计图中可知，D组的人数为5人，占调查人数的10%，可求出调查人数即m的值，C组15人占调查人数50人的30%，因此n的值为30；
（2）用360°乘以喜爱《极限挑战》节目的人数所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以B组所占的百分比求出B组的人数，即可补全条形统计图；
（4）用总人数乘以最喜欢《最强大脑》这个节目的学生所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）（1）m＝5÷10%＝50（人），
n%＝15÷50＝30%，即n＝30，
故答案为：50，30；
（2）喜爱《极限挑战》节目所对应的扇形的圆心角度数是：360°×10%＝36°，
故答案为：36．
（3）50×40%＝20（人），补全统计图如图所示：
（4）500×（1﹣30%﹣40%﹣10%）＝100（人），
答：他们最喜欢《最强大脑》这个节目的学生约有100人．
故答案为：100．
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．求证：
（1）DE＝DF；
（2）△DEF为等腰直角三角形．
【分析】（1）连接AD，证明△BFD≌△AED即可得出DE＝DF；
（2）根据三线合一性质可知AD⊥BC，由△BFD≌△AED可知∠BDF＝∠ADE，根据等量代换可知∠EDF＝90°，可证△DEF为等腰直角三角形．
【解答】证明：（1）连接AD，
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵AB＝AC，DB＝CD，
∴∠DAE＝∠BAD＝45°．
∴∠BAD＝∠B＝45°．
∴AD＝BD，∠ADB＝90°．
在△DAE和△DBF中，
，
∴△DAE≌△DBF（SAS）．
∴DE＝DF；
（2）∵△DAE≌△DBF
∴∠ADE＝∠BDF，DE＝DF，
∵∠BDF+∠ADF＝∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠ADF＝90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
21．（10分）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这种变形方法叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如；x2+11x+24＝x2+11x+（）2﹣（）2+24
＝（x+）2﹣＝（x++）（x+﹣）
＝（x+8）（x+3）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法将x2+4x﹣5化成＝（x+m）2+n的形式，则x2+4x﹣5＝ （x+2）2﹣9 ；
（2）用配方法和平方差公式把多项式x2﹣6x﹣7因式分解；
（3）对于任意实数x，y，多项式x2+y2﹣2x﹣8y+19的值总为 ① （填序号）．
①正数；②非负数；③0．
【分析】（1）利用配方法把原式变形即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形，再根据平方差公式解答；
（3）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质判断即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5
＝x2+4x+4﹣9
＝（x+2）2﹣9，
故答案为：（x+2）2﹣9；
（2）x2﹣6x﹣7
＝x2﹣6x+9﹣16
＝（x﹣3）2﹣42
＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）
＝（x+1）（x﹣7）；
（3）x2+y2﹣2x﹣8y+19
＝x2﹣2x+1+y2﹣8y+16+2
＝（x﹣1）2+（y﹣4）2+2＞0，
∴x2+y2﹣2x﹣8y+19是正数，
故答案为：①．
22．（10分）如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝16，CF＝12，求OC的长．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；
（2）根据已知得出∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长．
【解答】证明：（1）如图，
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝16，CF＝12，
∴EF＝＝＝20，
∴OC＝EF＝10．
23．（11分）在ABC中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．
（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由．
（2）在点P滑动的过程中，是否存在△ADP≌△BPC．若存在，求出AP长度；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先判断△ACP的形状，然后根据题目中的条件和直角三角形的判定，即可说明理由；
（2）先判断在点P滑动的过程中，是否存在△ADP≌△BPC，然后根据题目中的条件和全等三角形的性质，可以得到AP的长．
【解答】解：（1）当PN∥BC时，△ACP是直角三角形，
理由：∵PN∥BC，∠MNP＝30°，
∴∠MNP＝∠PCB＝30°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝90°，
∴△ACP是直角三角形；
（2）在点P滑动的过程中，存在△ADP≌△BPC，
∵∠ACB＝120°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝30°，
∵∠APC＝∠B+∠PCB，∠APC＝∠DPA+∠MNP，∠MNP＝30°，
∴30°+∠PCB＝∠DPA+30°，
∴∠PCB＝∠DPA，
∵△ADP≌△BPC，
∴AP＝BC，
∵BC＝5，
∴AP＝5．
1．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．0B．﹣C．D．3.14
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5B．4，5，6C．2，3，4D．1，，3
3．已知等腰三角形两边分别是10cm和5cm，那么它的周长是（ ）
A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm
4．如图，已知AB＝DC，需添加下列（ ）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．
A．AO＝BOB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．BO＝CO
5．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z）B．﹣x2y+4xy＝﹣xy（x+4）
C．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2D．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1）
6．一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，16，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为（ ）
A．20B．22C．24D．30
7．已知20102022﹣20102020＝2010x×2009×2011，那么x的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
8．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cmB．12cmC．15cmD．17cm
9．下列是真命题的个数有（ ）
①同旁内角互补，两直线平行；
②若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等；
③平行于同一条直线的两条直线也互相平行；
④全等三角形的周长相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知：m+2n﹣3＝0，则2m•4n的值为 ．
12．一位同学随手写下了一串数字10100100011000110000，在这一串数字中，1出现的频率是 ．
13．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝ ．
14．如图所示，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是 ．
15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为 cm．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）（π﹣3）0+|﹣5|﹣（﹣）2019（）2020﹣（﹣1）3．
（2）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝5，y＝2．
17．（9分）已知（x2+mx+n）（x﹣1）的结果中不含x2项和x项，求m、n的值．
18．（9分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？
19．（9分）为了解龙华区某校七年级学生对A《最强大脑》、B《朗读者》、C《中国诗词大会》、D《极限挑战》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了m位学生进行调查统计（要求每位学生选出并且只能选一个自己最喜爱的节目）．并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ．
（2）在图1中，喜爱《极限挑战》节目所对应的扇形的圆心角度数是 度；
（3）请根据以上信息补全图2的条形统计图；
（4）已知该校七年级共有500位学生，那么他们最喜欢《最强大脑》这个节目的学生约有 人．
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．求证：
（1）DE＝DF；
（2）△DEF为等腰直角三角形．
21．（10分）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这种变形方法叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如；x2+11x+24＝x2+11x+（）2﹣（）2+24
＝（x+）2﹣＝（x++）（x+﹣）
＝（x+8）（x+3）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法将x2+4x﹣5化成＝（x+m）2+n的形式，则x2+4x﹣5＝ ；
（2）用配方法和平方差公式把多项式x2﹣6x﹣7因式分解；
（3）对于任意实数x，y，多项式x2+y2﹣2x﹣8y+19的值总为 （填序号）．
①正数；②非负数；③0．
22．（10分）如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝16，CF＝12，求OC的长．
23．（11分）在ABC中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．
（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由．
（2）在点P滑动的过程中，是否存在△ADP≌△BPC．若存在，求出AP长度；若不存在，说明理由．
2020-2021学年河南省南阳市淅川县老城、大石桥、滔河三乡八年级（上）期末数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内.
1．下列实数中，是无理数的为（ ）
A．0B．﹣C．D．3.14
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：A、0是有理数，故A错误；
B、﹣是有理数，故B错误；
C、是无理数，故C正确；
D、3.14是有理数，故D错误；
故选：C．
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5B．4，5，6C．2，3，4D．1，，3
【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、1.52+22＝2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选：A．
3．已知等腰三角形两边分别是10cm和5cm，那么它的周长是（ ）
A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为5cm时，5+5＝10，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为10cm时，10﹣5＜10＜10+5，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为10+10+5＝25cm．
故选：C．
4．如图，已知AB＝DC，需添加下列（ ）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．
A．AO＝BOB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．BO＝CO
【分析】利用三角形全等的判定方法进行分析即可．
【解答】解：A、添加AO＝BO不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加∠ACB＝∠DBC不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加AC＝DB可利用SSS判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
D、添加BO＝CO不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
故选：C．
5．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z）B．﹣x2y+4xy＝﹣xy（x+4）
C．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2D．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1）
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：A、x2y2﹣z2＝（xy+z）（xy﹣z），故此选项错误；
B、﹣x2y+4xy＝﹣xy（x﹣4），故此选项错误；
C、9﹣12a+4a2＝（3﹣2a）2，故此选项错误；
D、（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1），正确．
故选：D．
6．一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，16，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为（ ）
A．20B．22C．24D．30
【分析】直接利用频数与频率的关系得出第5组的频数，进而得出答案．
【解答】解：∵一组数据共100个，第5组的频率为0.20，
∴第5组的频数是：100×0.20＝20，
∵一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，16，20，
∴第6组的频数为：100﹣20﹣10﹣14﹣16﹣20＝20．
故选：A．
7．已知20102022﹣20102020＝2010x×2009×2011，那么x的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【分析】将式子2010x×2009×2011化为2010x+2﹣2010x，则有20102022﹣20102020＝2010x+2﹣2010x，即可求x．
【解答】解：2010x×2009×2011＝2010x×（2010+1）（2010﹣1）＝2010x×（20102﹣1）＝2010x+2﹣2010x，
∵20102022﹣20102020＝2010x+2﹣2010x，
∴x＝2020，
故选：C．
8．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cmB．12cmC．15cmD．17cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DA，AB＝2AE＝8cm，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，AB＝2AE＝8（cm），
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9（cm），
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17（cm），
故选：D．
9．下列是真命题的个数有（ ）
①同旁内角互补，两直线平行；
②若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等；
③平行于同一条直线的两条直线也互相平行；
④全等三角形的周长相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用平行线的性质、实数的性质、平行线的判定及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
②若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故原命题错误，不符合题意；
③平行于同一条直线的两条直线也互相平行，正确，是真命题，符合题意；
④全等三角形的周长相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
10．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10．
设BE＝a，则CE＝8﹣a，
根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∴FC＝4．
在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，
∴CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，
解得：a＝3，
∴8﹣a＝5．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知：m+2n﹣3＝0，则2m•4n的值为 8 ．
【分析】由m+2n﹣3＝0可得m+2n＝3，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则可得2m•4n＝2m•22n＝2m+2n，再把m+2n＝3代入计算即可．
【解答】解：由m+2n﹣3＝0可得m+2n＝3，
∴2m•4n＝2m•22n＝2m+2n＝23＝8．
故答案为：8．
12．一位同学随手写下了一串数字10100100011000110000，在这一串数字中，1出现的频率是 0.35 ．
【分析】首先计算数字的总数，以及1出现的频数，根据频率公式：频率＝即可求解．
【解答】解：数字的总数是20，有7个1，
因而1出现的频率是：＝0.35．
故答案为：0.35．
13．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝ ﹣y（3x﹣y）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2，
故答案为：﹣y（3x﹣y）2
14．如图所示，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是 5 ．
【分析】连接OA，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OG＝OH＝OD＝1，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接OA，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+BC+AC＝10，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OG⊥AB，OH⊥AC，
∴OG＝OH＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△ABO的面积+△OBC的面积+△AOC的面积
＝×AB×OG+×BC×OD+×AC×OH
＝×10×1
＝5，
故答案为：5．
15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为 5 cm．
【分析】只要证明△BDF和△CEF为等腰三角形，即可解决问题．
【解答】证明：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形；
∵DF＝BD，CE＝EF，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），
∴EC＝5（cm），
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）（π﹣3）0+|﹣5|﹣（﹣）2019（）2020﹣（﹣1）3．
（2）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝5，y＝2．
【分析】（1）根据零指数幂的意义以及实数的运算法则即可求出答案．
（2）先根据整式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝1+5+（×）2019×+1
＝1+5++1
＝8．
（2）原式＝（x2﹣4y2﹣x2﹣8xy﹣16y2）÷4y
＝（﹣20xy2﹣8xy）÷4y
＝﹣5y﹣2x，
当x＝5，y＝2时，
原式＝﹣10﹣10＝﹣20．
17．（9分）已知（x2+mx+n）（x﹣1）的结果中不含x2项和x项，求m、n的值．
【分析】把式子展开，合并同类项后找到x2项和x项的系数，令其为0，可求出m和n的值．
【解答】解：（x2+mx+n）（x﹣1）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n．
∵结果中不含x2的项和x项，
∴m﹣1＝0且n﹣m＝0，
解得：m＝1，n＝1．
18．（9分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？
【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【解答】解：如图1，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，
∴MN＝＝20（cm）；
如图2，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，
∴MN＝＝2（cm）．
如图3中，
MN＝＝2（cm），
∵20＜2＜2，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm．
19．（9分）为了解龙华区某校七年级学生对A《最强大脑》、B《朗读者》、C《中国诗词大会》、D《极限挑战》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了m位学生进行调查统计（要求每位学生选出并且只能选一个自己最喜爱的节目）．并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）m＝ 50 ，n＝ 30 ．
（2）在图1中，喜爱《极限挑战》节目所对应的扇形的圆心角度数是 36 度；
（3）请根据以上信息补全图2的条形统计图；
（4）已知该校七年级共有500位学生，那么他们最喜欢《最强大脑》这个节目的学生约有 100 人．
【分析】（1）从两个统计图中可知，D组的人数为5人，占调查人数的10%，可求出调查人数即m的值，C组15人占调查人数50人的30%，因此n的值为30；
（2）用360°乘以喜爱《极限挑战》节目的人数所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以B组所占的百分比求出B组的人数，即可补全条形统计图；
（4）用总人数乘以最喜欢《最强大脑》这个节目的学生所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）（1）m＝5÷10%＝50（人），
n%＝15÷50＝30%，即n＝30，
故答案为：50，30；
（2）喜爱《极限挑战》节目所对应的扇形的圆心角度数是：360°×10%＝36°，
故答案为：36．
（3）50×40%＝20（人），补全统计图如图所示：
（4）500×（1﹣30%﹣40%﹣10%）＝100（人），
答：他们最喜欢《最强大脑》这个节目的学生约有100人．
故答案为：100．
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．求证：
（1）DE＝DF；
（2）△DEF为等腰直角三角形．
【分析】（1）连接AD，证明△BFD≌△AED即可得出DE＝DF；
（2）根据三线合一性质可知AD⊥BC，由△BFD≌△AED可知∠BDF＝∠ADE，根据等量代换可知∠EDF＝90°，可证△DEF为等腰直角三角形．
【解答】证明：（1）连接AD，
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵AB＝AC，DB＝CD，
∴∠DAE＝∠BAD＝45°．
∴∠BAD＝∠B＝45°．
∴AD＝BD，∠ADB＝90°．
在△DAE和△DBF中，
，
∴△DAE≌△DBF（SAS）．
∴DE＝DF；
（2）∵△DAE≌△DBF
∴∠ADE＝∠BDF，DE＝DF，
∵∠BDF+∠ADF＝∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠ADF＝90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
21．（10分）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这种变形方法叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如；x2+11x+24＝x2+11x+（）2﹣（）2+24
＝（x+）2﹣＝（x++）（x+﹣）
＝（x+8）（x+3）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法将x2+4x﹣5化成＝（x+m）2+n的形式，则x2+4x﹣5＝ （x+2）2﹣9 ；
（2）用配方法和平方差公式把多项式x2﹣6x﹣7因式分解；
（3）对于任意实数x，y，多项式x2+y2﹣2x﹣8y+19的值总为 ① （填序号）．
①正数；②非负数；③0．
【分析】（1）利用配方法把原式变形即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形，再根据平方差公式解答；
（3）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质判断即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5
＝x2+4x+4﹣9
＝（x+2）2﹣9，
故答案为：（x+2）2﹣9；
（2）x2﹣6x﹣7
＝x2﹣6x+9﹣16
＝（x﹣3）2﹣42
＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）
＝（x+1）（x﹣7）；
（3）x2+y2﹣2x﹣8y+19
＝x2﹣2x+1+y2﹣8y+16+2
＝（x﹣1）2+（y﹣4）2+2＞0，
∴x2+y2﹣2x﹣8y+19是正数，
故答案为：①．
22．（10分）如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝16，CF＝12，求OC的长．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；
（2）根据已知得出∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长．
【解答】证明：（1）如图，
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝16，CF＝12，
∴EF＝＝＝20，
∴OC＝EF＝10．
23．（11分）在ABC中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．
（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由．
（2）在点P滑动的过程中，是否存在△ADP≌△BPC．若存在，求出AP长度；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先判断△ACP的形状，然后根据题目中的条件和直角三角形的判定，即可说明理由；
（2）先判断在点P滑动的过程中，是否存在△ADP≌△BPC，然后根据题目中的条件和全等三角形的性质，可以得到AP的长．
【解答】解：（1）当PN∥BC时，△ACP是直角三角形，
理由：∵PN∥BC，∠MNP＝30°，
∴∠MNP＝∠PCB＝30°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝90°，
∴△ACP是直角三角形；
（2）在点P滑动的过程中，存在△ADP≌△BPC，
∵∠ACB＝120°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝30°，
∵∠APC＝∠B+∠PCB，∠APC＝∠DPA+∠MNP，∠MNP＝30°，
∴30°+∠PCB＝∠DPA+30°，
∴∠PCB＝∠DPA，
∵△ADP≌△BPC，
∴AP＝BC，
∵BC＝5，
∴AP＝5．
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