第10讲-函数的图象（解析版）学案

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第10讲-函数的图象
一、 考情分析
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
二、 知识梳理
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换

(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
[微点提醒]
记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
三、 经典例题
考点一　作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象：
(1)y＝； (2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝x2－2|x|－1.
【解析】　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.
规律方法　作函数图象的一般方法
(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
考点二　函数图象的辨识
【例2】 (1)(一题多解)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)

(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(　　)


【解析】　　(1)法一　易知g(x)＝x＋为奇函数，故y＝1＋x＋的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x∈(0，1)时，y>0，排除A；当x＝π时，y＝1＋π，排除B，选项D满足.
法二　当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.
(2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B；
当x≥0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，
所以f′(0)＝－1<0，f′(2)＝8－e2>0，
所以函数f(x)在(0，2)上有解，
故函数f(x)在[0，2]上不单调，排除C，故选D.
规律方法　1.抓住函数的性质，定性分析：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
考点三　函数图象的应用　
【例3－1】 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
【解析】　　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得
f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是减少的.

【例3－2】 已知函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)＝log2(x＋1)”，则不等式f(x)≥g(x)的解集是(　　)

A.{x|－1 B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1 D.{x|－1 【解析】　令g(x)＝y＝log2(x＋1)，
作出函数g(x)图象如图，

由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1 【例3－3】已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
【解析】　　在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象.

当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2 即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.
规律方法　1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x) [方法技巧]
1.识图
对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.
2.用图
借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.
3.图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错.
4.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.
5.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.
四、 课时作业
1．（2020·浙江省高三二模）函数的部分图象如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数图象的对称性可得，函数为奇函数.
在选项C中，,
不是奇函数，所以排除.
在选项D中，,
不是奇函数，所以排除.
在选项B中.
是奇函数,
由，当且时，，不满足条件，所以排除.
2．（2020·天津高一期末）已知函数，.若有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令可得，作出函数与函数的图象如下图所示：

由上图可知，当时，函数与函数的图象有个交点，
此时，函数有个零点.
因此，实数的取值范围是.
3．（2020·江西省临川一中高一开学考试）已知函数,则方程根的个数为( )
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】令,先解方程.
（1）当时,则,得；
（2）当时,则,即,解得,.
如下图所示：

直线,,与函数的交点个数为、、,
所以,方程的根的个数为.
4．（2020·福建省高三其他（理））设函数的导函数为，则图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
所以函数是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以选项B，C错误；又因为其图象过原点，所以选项A错误.
5．（2020·四川省泸县第一中学高三三模（文））函数的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数，可得，
即，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；
当时，，则＞0，
所以函数在上递增，排除A，
6．（2020·陕西省高三二模（文））现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）

A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①
【答案】A
【解析】①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；
②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，
在上的值为负数，故第三个图象满足；
③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；
④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
7．（2020·湖南省长郡中学高二月考）函数的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，函数的定义域为，其定义域关于原点对称，
因为，故为奇函数，故选项B、C排除；
又，，故选项D排除；
8．（2020·天津高二期中）已知定义在上的函数的图象（如图所示）与轴分别交于原点、点和点，若和3是函数的两个零点，则不等式的解集（ ）

A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【解析】由图，当时，故，为减函数；
当时，故，为增函数；
当时，故，为减函数；
由图，当时，故，为增函数；
又和3是函数的两个零点，画出的简图如下：

故不等式的解集为.
9．（2020·金华市曙光学校高二开学考试）函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数是奇函数，排除C，D
又因为 时，排除B
10．（2020·浙江省高三其他）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
所以函数是偶函数，排除A，D.
因为，，所以排除C.
11．（2020·河北省衡水中学高三期中（理））已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

由题意设，则，在递减，在上递增，且，在一个坐标系中画出两个函数图象如图：存在唯一的正整数，使得，即由图得，则，即，解得的取值范围是，故选C.
12．（2020·山西省高二期中（理））已知是函数的导函数，对任意的实数都有，且，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设函数，则，
因为，所以，
又因为，所以，即.
，在上单调递减，在上单调递增，
.且当时，，
如图所示：

所以当时，与有两个交点，
所以实数的取值范围是.
13．（2020·湖南省长郡中学高二月考）设函数，若函数有三个零点，则（　　）
A．12 B．11 C．6 D．3
【答案】B
【解析】作出函数的图象如图所示，

令，
由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），
所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），
由，可得的值分别为，
则
14．（2020·金华市曙光学校高二开学考试）定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，
由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，

由图象可知，，当时，，
则函数与函数在上没有交点，
结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.
15．（多选题）（2020·海南省高三其他）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】作出函数的图象，方程有四个不同的实根，
即函数与有四个不同的交点，如图所示：

依题意，且，
所以，即，
所以，即，
所以，所以，故选项A错误，选项B正确；
又，是方程的两根，
即，是方程的两根，
所以，，
因为方程有四个不同的实根，所以由图可知，
所以，故选项C，选项D均正确．
16．（多选题）（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数,则下列判断正确的是（ ）
A．为奇函数
B．对任意,,则有
C．对任意,则有
D．若函数有两个不同的零点,则实数m的取值范围是
【答案】CD
【解析】对于A选项，当时，，则
所以函数不是奇函数，故A错误；
对于B选项，的对称轴为，的对称轴为
所以函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，并且
所以在上单调递增
即对任意，都有
则，故B错误；
对于C选项，当时，，则
则
当时，，则
当时，，则
则
即对任意,则有，故C正确；
对于D选项，当时，，则不是该函数的零点
当时，
令函数，函数
由题意可知函数与函数的图象有两个不同的交点
因为时，，时，
所以
当时，设，
因为，所以，即
设，，即
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
同理可证，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增

函数图象如下图所示

由图可知，要使得函数与函数的图象有两个不同的交点
则实数m的取值范围是，故D正确；
17．（多选题）（2020·南京市大厂高级中学高一开学考试）下列命题中正确的为( )
A．在同一坐标系中，与的图象关于x轴对称
B．函数的最小值是
C．函数的图象关于点对称
D．函数只有两个零点
【答案】ABC
【解析】A. ，所以在同一坐标系中，与的图象关于x轴对称，故正确.
B. 令，则，所以的最小值是，故正确.
C. 因为，所以图象关于点对称，故正确.
D. 令的根，即为两图象交点的横坐标，如图所示：

有三个交点，故错误.
18．（多选题）（2020·山东省章丘四中高二月考）已知函数，则以下结论正确的是( )
A．在上单调递增 B．
C．方程有实数解 D．存在实数，使得方程有个实数解
【答案】BCD
【解析】，则，
故函数在上单调递减，在上单调递增，错误；
，根据单调性知，正确；
，，故方程有实数解，正确；
，易知当时成立，当时，，设，
则，故函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，且.
画出函数图象，如图所示：当时有3个交点.
综上所述：存在实数，使得方程有个实数解，正确；

19．（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知，.
（1）解不等式；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
【解析】（1）不等式，即为.
当时，即化为，得，
此时不等式的解集为，
当时，即化为，解得，
此时不等式的解集为.
综上，不等式的解集为.
（2）
即.
作出函数的图象如图所示，

当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.
所以实数的取值范围是.