初中数学青岛版九年级上册第4章 一元二次方程综合与测试单元测试课时训练

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第4章 一元二次方程》单元测试卷

一．选择题

1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）

A．x2﹣＝2 B．ax2﹣bx+c＝0 

C．3x2﹣2xy+y2＝0 D．（x﹣）2＝0

2．根据下列表格对应值：

判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　）

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜1 C．1.1＜x＜1.2 D．1.2＜x＜1.3

3．方程（m﹣2）﹣mx+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．2 C．3 D．2或﹣3

4．下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x2﹣2x＝0 B．＝1 

C．（x﹣1）2+y2＝2 D．（x﹣1）（x﹣3）＝x2

5．下列配方正确的是（　　）

A．x2+2x+5＝（x+1）2+6 

B．x2+3x＝（x+）2﹣ 

C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2 

D．x2﹣

6．一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0的一次项系数为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

7．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）

A．﹣1 B．2 C．22 D．30

8．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（　　）

A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8

9．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　）

A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5

二．填空题

10．方程：的二次项系数是　 　，一次项系数是　 　．

11．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0配方后得到方程　         　．

12．若关于x的方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣3m﹣18＝0的常数项为0，则m的值等于　     　．

13．关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为　   　．

14．关于x的一元二次方程（m﹣2）xm2﹣4+2mx﹣1＝0的根是　                　．

15．多项式a2﹣2ab+2b2﹣6b+27的最小值为　   　．

16．关于x的方程是一元二次方程，则k的值是　   　．

17．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是　   　．

18．已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是　           　．

三．解答题

19．（教材变式题）把关于x的方程+3x＝（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常数项．

20．判断下列方程是否为一元二次方程？

（1）3x+2＝5y﹣3；

（2）x2＝4；

（3）3x2﹣＝0；

（4）x2﹣4＝（x+2）2；

（5）ax2+bx+c＝0．

21．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．

22．x2a+b﹣2xa+b+3＝0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．

23．（1）（y﹣1）2﹣4＝0

（2）（配方法）2x2﹣5x+2＝0．

24．方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？

（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为　 　；

（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；

（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）

（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．解：A．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B．当a＝0时，b≠0时，是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意；

C．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意方程；

故选：D．

2．解：∵一元二次方程的解即为对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，

∴当二次函数函数值y发生正负变化时，说明图象与x轴有交点，

∴正负变化的范围即为方程解的范围．

当x＝1.1，y＝﹣0.59，x＝1.2，y＝0.84，

∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是1.1＜x＜1.2．

故选：C．

3．解：∵方程（m﹣2）﹣mx+5＝0是关于x的一元二次方程，

∴m﹣2≠0且m2+m﹣4＝2，

解得：m＝﹣3，

故选：A．

4．解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；

B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

C、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

D、化简整理后是一元一次方程，故此选项不合题意；

故选：A．

5．解：A选项，（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4；故A不符合题意；

B选项，（x2+2×x+（）2）﹣（）2＝（x+）2﹣（）2，故B不符合题意；

C选项，3x2+6x+1＝3（x2+2x+1）﹣2＝3（x+1）2﹣2，故C符合题意；

D选项，x2﹣x+＝[x2﹣2×x+（）2]﹣（）2+＝（x﹣）2+，故D不符合题意；

故选：C．

6．解：一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0，则它的一次项系数为﹣2，

故选：D．

7．解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，

∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0，

∴α2＝2α+4

∴α3+8β+6＝α•α2+8β+6

＝α•（2α+4）+8β+6

＝2α2+4α+8β+6

＝2（2α+4）+4α+8β+6

＝8α+8β+14

＝8（α+β）+14＝30，

故选：D．

8．解：由（a2+b2﹣3）2＝25，得

a2+b2﹣3＝±5，

所以 a2+b2＝3±5，

解得 a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去）．

故选：C．

9．解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，

配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，

故选：A．

二．填空题

10．解：由方程，得

8x2﹣14x﹣x2+2﹣15＝0，即7x2﹣14x﹣13＝0，

∴原方程的二次项系数是7，一次项系数是﹣14．

故答案是：7、﹣14．

11．解：把方程x2﹣4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝1

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝1+4

配方得（x﹣2）2＝5．

12．解：由题意知，方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣3m﹣18＝0的常数项为m2﹣3m﹣18，

所以m2﹣3m﹣18＝0，

解得：m＝6或﹣3．

13．解：由题意可知：，解得：m＝﹣2．

14．解：根据一元二次方程的定义，得

，

解，得

m＝﹣2．

则有方程﹣4x2﹣4x﹣1＝0，

即（2x+1）2＝0，

x1＝x2＝﹣．

故答案为：．

15．解：原式＝a2﹣2ab+b2+b2﹣6b+9+18

＝（a﹣b）2+（b﹣3）2+18

∵（a﹣b）2≥0，（b﹣3）2≥0．

∴原式≥0+0+18．

∴原式≥18．

故答案为：18．

16．解：由题意得：k2﹣2＝2；k﹣2≠0；

解得k＝±2；k≠2；

∴k＝﹣2．

17．解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，

则t2+mt+1＝0①，

t2+t+m＝0②，

①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，

如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，不符合题意；

如果m≠1，那么t＝1，

把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．

故常数m的值为﹣2．

故答案为：﹣2．

18．解：∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，

∴方程m（x+a﹣2）2+n＝0可变形为m[（x﹣2）+a]2+n＝0，

∵此方程中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，

解得x1＝﹣1或x2＝3．

故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．

三．解答题

19．解：解法一：整理得，x2﹣2x+1+6x＝5x+5，

所以x2﹣x﹣4＝0．

二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4．

解法二：整理得： +3x＝+，

﹣x﹣2＝0，

二次项x2，一次项系数为﹣，常数项为﹣2．

20．解：①3x+2＝5y﹣3，中含有2个未知数，属于二元二次方程；

②x2＝4，符合一元二次方程的定义；

③3x2﹣＝0，属于分式方程；

④x2﹣4＝（x+2）2，化简后未知数的次数是1，属于一元一次方程；

（5）ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程．

21．解：由题意，得：m2﹣3m+2＝0①，m﹣1≠0②，

解①得：m＝2或1；解②得：m≠1，∴m＝2．

22．解：∵x2a+b﹣2xa+b+3＝0是关于x的一元二次方程，

∴①，解得；

②，解得；

③，解得；

④，解得；

⑤，解得．

综上所述，，，，．

23．解：（1）移项得：（y﹣1）2＝4，

开方得：y﹣1＝±2，

解得：y1＝3，y2＝﹣1．

（2），

，

，

，

∴，x2＝2．

24．解：（1）关于x的方程x2+1＝0的解的个数为0，

故答案为0；

（2）∵（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0，

∴x+1＝0或x﹣2＝0或x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝2，x3＝3；

（3）有无数个，理由如下：

|x+1|+|x﹣3|＝4，

当x≤﹣1时，有﹣x﹣1+3﹣x＝4，解得x＝﹣1；

当﹣1＜x≤3时，有x+1+3﹣x＝4，x为﹣1＜x≤3中任意一个数；

当x＞3时，有x+1+x﹣3＝4，解得x＝3（舍）；

综上，方程的解为：﹣1≤x≤3中任意一个数；

（4）根据题意分两种情况：

①m＜3时，如图①数轴，

当m≤x≤3时，|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1，即3﹣m＝2m+1，

解得m＝，

即≤x≤3，x有无数个解；

②m≥3，如图②数轴，

∵3≤x≤m时，|x﹣m|+|x﹣3|＝m﹣3＝2m+1，解得m＝﹣4（与m≥3矛盾，故舍去），

∴x在3的左侧或m的右侧，

当x1 在3左侧时，|x1﹣m|+|x1﹣3|＝m﹣x1+3﹣x1＝2m+1，解得x1＝；

当x2 在m右侧时，|x2﹣m|+|x2﹣3|＝x2﹣m+x2﹣3＝2m+1，解得x2＝．

综上所述：方程的解的个数与对应的m的取值情况为：

当m＝时，方程有无数个解；当m≥3时，方程有2个解；m＜时无解．