2022年中考数学一轮复习第21讲《相似形》讲学案

这是一份2022年中考数学一轮复习第21讲《相似形》讲学案，共17页。学案主要包含了考点解析，典例解析，中考热点等内容，欢迎下载使用。
知识点一、平行线分线段成比例
【例1】（山东济宁）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．
【解答】解：∵AG=2，GD=1，
∴AD=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴=0.6，
故答案为：0.6．
【变式】
（浙江舟（福建宁德）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B．
【分析】根据平行线分线段成比例即可得．
【解析】∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得DF=4.5．故选B．
【点评】考查平行线分线段成比例，能够从图中找到对应线段是解题的关键。
知识点二、相似三角形及其判定
【例2】（湖北随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C
C． SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．
【解析】由题意得∠DAE=∠CAB，
A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
C、当 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
D、当 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；
故选D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式】
6.(河北3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ C ）
第15题图
答案：Ｃ
解析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。Ｃ项不成比例。
知识点：相似三角形
知识点三、相似三角形的性质
【例3】（重庆市A卷·4分）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16
【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．
【变式】
若△ADE∽△ACB，且 SKIPIF 1 < 0 ，DE=10，则BC= ．
【答案】15．
【解析】∵△ADE∽△ACB，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，DE=10，∴BC=15．故答案为：15．
2.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则 SKIPIF 1 < 0 = .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】根据相似三角形的判定和性质，可得答案：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵S△ADE=S四边形BCDE，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
知识点四、相似多边形与位似图形
【例4】（山东东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为 EQ \F(1,3)，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．（―1，2） B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2）
【知识点】相似三角形——位似图形、位似变换
【答案】D.
【解析】方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且 EQ \F(OA′,OA)＝ EQ \F(1,3).∴ EQ \F(A′E,AD)＝ EQ \F(OE,OD)＝ EQ \F(1,3).∴A′E＝ EQ \F(1,3)AD＝2，OE＝ EQ \F(1,3)OD＝1.∴A′（－1,2）
同理可得A′′（1,―2）.
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为 EQ \F(1,3)，
∴点A的对应点A′的坐标是（―3× EQ \F(1,3)，6× EQ \F(1,3)），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，
∴A′′（1,―2）.
故选择D.
【点拨】每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形．位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比．注意：本题中，△ABO以原点O为位似中心的图形有两个，所以本题答案有两解.
【变式】（四川宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ） D．（2，1）
【答案】B．
【分析】利用位似图形的位似比等于相似比，再利用坐标的特征，进而得出答案．
【解析】∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1， 0），∴BO=1，则AO=AB= SKIPIF 1 < 0 ，∴A（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，1）．故选B．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比等于相似比是解题关键．
知识点五、相似三角形的应用
【例5】（贵州黔南州）如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1．2米，BP=1．8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是 米（平面镜的厚度忽略不计）．
【答案】8．
【分析】根据题意得到Rt△ABP∽Rt△CDP，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式，求得答案即可
【解析】由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴CD= SKIPIF 1 < 0 =8（米）．故答案为：8．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．
【变式】
如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 米．
【答案】52.
【解析】根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论：
∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH. ∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵CD=DG=EF=2m，DF=50m，FH=4m，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得BD=50.
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得AB=52（米）．
【典例解析】
【例题1】11.（辽宁丹东·3分）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，
∴AC=3，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE=∠E，
∴∠CAE=∠E，
∴CE=CA=3，
∵FA⊥AE，
∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，
∴∠FAC=∠F，
∴CF=AC=3，
∴EF=CF+CE=3=6，
故答案为：6．
【例题2】（湖北随州）如图（1），PT与⊙O1相切于点T，PAB与⊙O1相交于A、B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT2=PA•PB．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与⊙O2相交于A、B、C、D四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，则CD= ．
【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．
【分析】如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T，根据PT2=PA•PB=PC•PD，求出PD即可解决问题．
【解答】解：如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T．
∵PT2=PA•PB=PC•PD，
∵PA=2，PB=7，PC=3，
∴2×7=3×PD，
∴PD=
∴CD=PD﹣PC=﹣3=．
【例题3】（四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===2，根据平行线分线段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性质得到==，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到==，求得AN=AF=，即可得到结论．
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF===2，
∵OH∥AE，
∴==，
∴OH=AE=，
∴OF=FH﹣OH=2﹣=，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴==，
∴AM=AF=，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴==，
∴AN=AF=，
∴MN=AN﹣AM=﹣=，
故选B．
【例题4】（广西南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．
【分析】（1）将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1；
（2）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2，求出直线AC与OB的交点，求出∠ACB的正弦值即可解决问题．
【解答】解：（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，如图1所示，
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，如图2所示，
∵A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），
∴直线AC解析式为y=﹣3x+8，与x轴交于点D（，0），
∵∠CBD=90°，
∴CD==，
∴sin∠DCB===．
∵∠A2C2B2=∠ACB，
∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB=．
【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
【中考热点】
【热点1】15.（黑龙江龙东）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】四边形综合题．
【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），则PB=2k
在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x2=（x﹣k）2+4k2，
∴x=，
∴sin=∠BQP==，故③正确；
∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE=BC，BF=BC，
∴BE：BF=1：，
∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，
∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．
故选：B．
【热点2】12. （四川内江）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形ABCD的边长是( )
A．( SKIPIF 1 < 0 ) B．( SKIPIF 1 < 0 ) C．( SKIPIF 1 < 0 ) D．( SKIPIF 1 < 0 )
x
O
y
C1
D1
A1
B1
E1
E2
E3
E4
C2
D2
A2
B2
C3
D3
A3
B3
图3
[答案] D
[考点]三角形的相似，推理、猜想。
[解析]易知△B2C2E2∽△C1D1E1，∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 30°．
∴B2C2＝C1D1· SKIPIF 1 < 0 30°＝ SKIPIF 1 < 0 ．∴C2D2＝ SKIPIF 1 < 0 ．
同理，B3C3＝C2D2· SKIPIF 1 < 0 30°＝( SKIPIF 1 < 0 )2；
由此猜想BnCn＝( SKIPIF 1 < 0 )n－1．
当n＝时，BC＝( SKIPIF 1 < 0 )．
故选D．
【热点3】（四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，求b的值；
(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
x
y
O
l1
Q
P
B
A
l
图15
x
y
O
l1
Q
P
B
A
l
答案图
C
E
D
[考点]二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。
解：(1)∵当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴方程组 SKIPIF 1 < 0 有且只有一组解．
消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根．
∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．
∴m＝4．
(2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△OAC∽△OPD，∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
同理， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝2．
∴ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝2．
∴ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
解方程组 SKIPIF 1 < 0 得x＝ SKIPIF 1 < 0 ，即PD＝ SKIPIF 1 < 0 ．
由方程组 SKIPIF 1 < 0 消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0．
∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4．
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
解得b＝8．
(3)不存在．理由如下：
假设存在，则当S△APQ＝S△BPQ时有AP＝PB，
于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．
由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴k＋3＝2× SKIPIF 1 < 0 ，即(k＋3)2＝16．
解得k＝1(舍去k＝－7)．
当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在．
∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ．
【热点4】2. （辽宁丹东·12分）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；
（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；
（3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明PM=kPN．
【解答】解：
（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM=BD，PN=AE，
∴PM=PM，
∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=BD，PM∥BD；
PN=AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．
（3）PM=kPN
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．
∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=BD，PN=AE．
∴PM=kPN．