2022年中考数学一轮复习4.6《多边形与平行四边形》讲解（含答案）学案

第六节  多边形与平行四边形

课标呈现

'指引方向

1．了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念：探索并掌握多边形内角和与外角和公式．

2．理解平行四边形的概念，理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，了解四边形的不稳定性．

3．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分：探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

    考点梳理

    夯实基础

1．多边形的性质：n边形的内角和等于  (n－2)·180°  ；外角和为360°  ；对角线的条数 ．

2．正多边形的定义：  每条边都相等  、  每个角都相等  的多边形是正多边形．

3．平行四边形的性质：平行四边形的对边  平行且相等  ，对角  相等  ，对角线  互相平分  ，是  中心  对称图形．

4．平行四边形的判定：

  (1)两组对边分别  平行  的四边形是平行四边形；

  (2)两组对边分别  相等  的四边形是平行四边形；

  (3)－组对边  平行且相等  的四边形是平行四边形；

  (4)两组对角分别  相等  的四边形是平行四边形；

  (5)对角线  互相平分  的四边形是平行四边形，

  考点精析

  专项突破

 考点一   多边形的内角和与外角和

 【例1】(1)(临沂)一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于    (    )

  A．108°    B．90°    C．72°     D．60°

 【答案】C

 解题点拨：首先设此多边形为n边形，根据题意得：180°(n－2)＝540°，即可求得n＝5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．

  (2)(十堰)如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°再沿直线前进10米，又问左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是    (    )

  A．140米  B．150米  C．160米  D．240米

【答案】B

解题点拨：多边形的外角和为360°，每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．

考点二 平行四边形的性质

【例2】(巴中)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD．连结CE，求证：CE平分∠BCD．

【答案】

解题点拨：由平行四边形的性质得出AB∥CD、AB＝CD、AD＝BC、由平行线的性质得出∠E＝∠DCE．由已知条件得出BE＝BC，由等腰三角形的性质得出∠E＝∠BCE，得出∠DCE＝∠BCE即可．

  证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

  ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，

  ∴∠E＝∠DCE．

  ∵AE＋CD＝AD．

  ∴BE＝BC．

  ∴∠E＝∠BCE．

  ∴∠DCE＝∠BCE．

  即CE平分∠BCD．

考点三   平行四边形的判定

【例3】(菏泽)如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．

  (1)求证：四边形DEFG是平行四边形；

  (2)若M为EF的中点，OM ＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

解题点拨：(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF＝BC，DG∥BC且DG＝BC，以而得到DG＝EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；

  (2)先判断出∠BOC＝ 90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．

【答案】

 解：(1)∵D、G分别是AB、AC的中点，

  ∴DG∥BC，DG＝BC，

  ∵E、F分别是OB、OC的中点，

  ∴EF∥BC，EF＝BC，

  ∴DG＝EF，DG∥EF，

  ∴四边形DEFG是平行四边形：

(2)∵∠OBC和∠OCB互余，

∴∠OBC＋∠OCB＝90°，

∴∠BOC＝90°．

∵M为EF的中点，OM＝3，

∴EF＝2OM＝6，

由(1)有四边形DEFG是平行四边形，

∴DG＝EF＝6．

    课堂训练

  当堂检测

1．(广安)若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是    (    )

A．7    B．10    C．35    D．70

【答案】C

2．(丹东)如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为    (    )2

  A．8    B．10    C．12    D．14

 第2题

【答案】B

3．(十堰)如图，在□ABCD中，AB＝2cm，AD＝4cm．AC⊥BC．则△DBC比△ABC的周长

长          cm．

 第3题

【答案】4 

4．(黄冈)如图，在□ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H．

求证：AG＝ CH．

第4题

证明：∵E，F分别是AD，BC的中点，

∴AE＝DE＝AD，CF＝BF＝BC，

又∵AD∥BC，且AD＝BC，

∴DE∥BF，且DE＝BF，

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴∠BED＝∠DFB．

∴∠AEG＝∠DFC．

又∵AD∥BC，∴∠EAG＝∠FCH，

在△AGE和△CHF中

  ∴△AGE≌△CHF(ASA)，

  ∴AG＝CH．

中考达标/模拟自测

A组  基础训练

一、选择题

1．（凉山）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（   ）

A．7      B．7或8      C．8或9      D．7或8或9

【答案】D

2．（绍兴）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是(   )

 A．①，②    B．①，④  C．③，④  D．②，③

【答案】D

3．（泸州）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是(  )

A．10    B．14    C．20    D．22

【答案】B

4．（泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于(  )

A．2    B．3    C．4    D．6

【答案】C

二、填空题

5．（镇江）如图，□ABCD中，E为AD的中点，BE，CD的延长线相交于点F．若△DEF的面积为l，则□ABCD的面积等于______．

【答案】4

6．（武汉）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD’与CE交于点F．若∠B =52°．∠DAE= 20°，则∠FED'的大小为______．

【答案】36°

7．（东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC>AB．点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中．DE的最小值是_______．

【答案】4

三、解答题

8．（鄂州）如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．

  (1)求证：四边形CMAN是平行四边形．

  (2)已知DE =4，FN=3，求BN的长.

【答案】

解：(1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥ BD，

∴AE∥CF，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴四边形CMAN是平行四边形；

(2)由(1)知四边形CMAN是平行四边形，

∴CM=AN．

又∵四边形ABCD是平行四边形．

∴AB=CD，∠MDE=∠NBF，

∴AB-AN= CD-CM，即DM= BN,

在△MDE和△NBF中

∴△MDE≌△NBF．

∴DE=BF=4．

∴BN===5.

9．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE．点M为线段CF上一点，使DM=BE，CM=BC.

  (1)若AB=13，CF=12，求DE的长度；

  (2)求证：∠DCM=∠DMF．

【答案】

解：(1)∵平行四边形ABCD，AB=13．

∴CD=AB=13，

又∵CF⊥DE，CF=12，

∴DF==5．

又∵F为DE中点，∴DE=2DF=10．

(2)连接CE，∵CF⊥DE，F为DE中点，

∴CD=CE．∴∠1=∠2．

在△CDM和△CEB中

∴△CDM≌△CEB,∴∠3=∠4,

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD,

∴∠4=∠1+∠2=2∠2,

∴∠DMF=∠3+∠1=3∠2,

∴∠2=∠DMF,即∠DCM =∠DMF.

B组提高练习

10．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2 S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．其中正确的个数有 （   ）

  A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【答案】C

（提示：①∵F是AD的中点，∴AF= FD,∵在□ABCD中,AD=2AB，∴AF=FD=CD,∴∠DFC=∠DCF, ∵ AD∥BC，∴∠DFC= ∠FCB, ∴∠DCF=∠BCF, ∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；

②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF= FD，∴△AEF≌△DMF (ASA)，∴FE =MF, ∠AEF=∠M，∵CE⊥AB,∴∠AEC= 90°，∴∠AEC=∠ECD=90°,∵FM=EF,∴ FC= FM，故②正确；

③∵EF=FM,∴S△EFC=S△CFM，∵MC>BE，∴S△BEC<2 S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；

④设∠FEC=x,则∠FCE=x,∴∠DCF=∠DFC=90°-x,∴∠EFC=180°-2x,∴∠EFD= 90° -x+180°-2x= 270°-3x,∴∠AEF= 90°-x,∴∠DFE=3∠AEF,故此选项正确．）

11.（无锡）如图，已知□OABC的顶点A、C分别在直线x=l和x=4上,O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为______．

【答案】5

（提示：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：直线x=l与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，根据题意得：

∠ADO=∠CEB=90°,OD =1,OE =4，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OA∥BC，OA= BC，∴∠AOD=∠CBE，∴△AOD≌△CBE(AAS)，∴OD=BE=1，∴OB=OE+BE=5．）

12．在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

  (1)在图1中证明CE =CF；

  (2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

  (3)若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数.

【答案】

证明：(1)如图1，∵AF平分∠BAD,

∴∠BAF= ∠DAF,

∵四边形ABCD是平行四边形．

∴AD∥BC,AB∥CD,

∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F,

∴∠CEF=∠F,∴CE =CF；

(2)解：如答案图1，连接GC.BG,

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°,

∴四边形ABCD为矩形，

∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°,

∵∠DCB=90°,DF∥AB,

∴∠DFA=45°,∠ECF=90°.

∴△ECF为等腰直角三角形，

∵G为EF中点，∴EG=CG=FG,CG⊥ EF,

∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC,

∴BE=DC,

∵∠CEF=∠GCF =45°,∴∠BEG=∠DCG= 135°,

∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG,

∵CG⊥EF,∴∠DGC+∠DGA=90°,

又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°,

∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG= 45°；

 (3)解：如答案图2，延长AB、FG交于H，连接HD,

∵AD∥GF,AB∥DF,

∴四边形AHFD为平行四边形，

．∵∠ABC=120°,AF平分∠BAD,

∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA =30°,

∴△DAF为等腰三角形，

∴AD=DF，∴平行四边形AHFD为菱形，

∴△ADH,△DHF为全等的等边三角形，

∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°,

∵FG=CE,CE=CF,CF=BH,

∴BH=GF,

∴△BHD≌△GFD,

∴∠BDH=∠GDF,

∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.