一轮复习专题9.2球体问题（原卷版）教案

球的内切外接问题

一、          学习目标：

1.理解正方体，长方体，正四面体斗的棱长与其内切和外接球半径间的转换关系；

2.掌握简单的几何体内切球和外接球问题的基本解题方法。

二、          教学过程

（一）必备知识：

1.球面与球的概念：

以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．

半圆的圆心叫做球的________．

2.球的截面性质：

球心和截面圆心的连线________截面，即球心；

球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．

3.球的表面积和体积公式：

表面积公式：                      体积公式：              

4.一些常用结论：

（1）边长分别为的正三角形面积为           ，其外接圆半径为            ，面积为             ，

内切圆半径为             ，面积为             .

（2）边长分别为的正方形面积为               ，其外接圆半径为              ，面积为          ，   

内切圆半径为                ，面积为                .

（3）共点三棱长分别为的长方体体积为            ，其外接球半径为                 ，三棱长不全相等的长方体没有内切球.

（4）棱长为的正方体体积为        ，其外接球半径为       ，表面积为        ，体积为       ，

其内切球半径为        ,表面积为          ，体积为        .

（5）棱长为的正四面体体积为              ，其外接球半径为         ，表面积为             ，体积为          ，其内切球半径为         ,表面积为            ，体积为              .

5.能补形成长方体（或正方体）的的三棱锥模型：

（1）共点三棱两两垂直；（2）共斜边两直角三角形；（3）三组对棱棱长两两相等；（4）棱长都相等。

6.能补形成长方体（或正方体）的四棱锥模型：

（1）底面是矩形，一侧棱垂直于底面。

（2）底面是矩形，一侧面是垂直于底面的直角三角形。

7.能补形成长方体（或正方体）的三棱柱模型：底面是直角三角形的直棱柱。

自查自纠：

1.直径  球心  2.垂直于    3.    

4. （1）        

（2）              

（3）    

（4）               

（5）  

（二）题组训练：

题组一：

应用举例：

例1．球内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球的体积是           ．

例2．已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________.

例3．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，则其外接球的表面积为（   ）

A．        B．          C．       D．

例4.已知三校锥中,, ,.则该三棱锥的外接球的体积为(   )
A.          B.        C.       D.

例4．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥，其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面，则球体毛坯体积的最小值应为       ．

例5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是                ．

练习： 

1．设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为 （  ）

A．     B．2π     C．4π       D．

2．若长方体中，，分别与底面所成的角为，，则长方体的外接球的体积为（    ）

A．      B．      C．      D．

3．点均在同一球面上，且两两垂直，且，则该球的表面积为（   ）

A．      B．      C．      D．

4．已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面,,则三棱锥的外接球的表面积为(   )

A．     B．     C．     D．

5．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为（  ）

A．      B．2      C．3      D．

6．正四面体的棱长为，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ）

A．           B．          C．          D．

提升培优：

1.如图，正方形中，分别是的中点,沿把这个正方形折成一个四面体,使三点重合，重合后的点记为.若四面体外接球的表面积为，则正方形的边长为         .

2.已知三棱锥的两条相对棱长为1,其余四条棱长为2,有下列命题:

①该三棱锥的体积是；②该三棱锥内切球的半径是；③该三棱锥外接球的表面积是6π.

其中正确的是(  )

A.①②③     B.①②      C.①③   D.②③ 

题组二：

例1．已知球的表面积为，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则球心到截面的距离

为        ．

例2．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，底面边长为，则这个球的表面积是       ．

例3．已知四面体，其中是边长为6的等边三角形，平面，，则四面体外接球的表面积为________．

例4．直三棱柱中，，若各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于              ．

例5．已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．

练习：

1．正方体的棱长为， 为正方形的中心，则四棱锥的外接球的表面积为（   ）

A．         B．     C．      D．

2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为（  ）

A．12π        B．36π        C．72π     D．108π

3．已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为（   ）

A．         B．         C．        D．