专题8.62抛物线及其性质（二）（解析版）教案

抛物线及其性质（二）

一、          学习目标：

1.理解抛物线的定义及其标准方程；

2.理解抛物线的基本性质；

3.会解焦点弦和中点弦有关的简单问题。

二、          教学过程

（一）必备知识：

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(F ∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．

2．抛物线的标准方程及几何性质

3.抛物线的一些常用结论：

（1）过抛物线焦点的弦与抛物线交于，则焦半径      ,         ,焦点弦长为        ；过抛物线焦点的弦与抛物线交于，则焦半径      ,        ,焦点弦长为         .

（2）若抛物线焦准距为且过抛物线焦点的弦与抛物线交于，则      .

（3）以抛物线上的点和焦点为直径两端点的圆必与轴    ，以抛物线上的点和焦点为直径两端点的圆必与     相切，而以抛物线焦点弦为直径的圆必与         相切.

（4）若过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则，若直线斜率为，为中点，则.

自查自纠：

1．l　焦点　准线　

2．①③⑥x＝　⑧y＝ ⑩x≤0，y∈R　⑪y≥0，x∈R　⑬x轴　⑯e＝1⑰向右⑳向下

3. （1）, , ；, , ；（2）（3）相切，轴，准线

（二）题组训练：

 题组一：

例1.已知F是抛物线y2＝x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,则线段AB的中点到y轴的距离为（   ）

A．        B．1           C．        D．

【答案】C

【详解】：：∵F是抛物线y2＝x的焦点，F（，0）准线方程x=−，设A，B， |AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|=解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．

例2.已知直线过抛物线焦点且与抛物线相交于A，B两点.若线段AB的中点为，则________.

【答案】10 

例3.已知抛物线 的顶点坐标为原点，焦点在 轴上，直线 与抛物线 交于 两点．若 为线段 的中点，则抛物线 的方程为________________．

【答案】

课堂练习：

1．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.

2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（   ）

A．10        B．8       C．6        D．4

【答案】B

【详解】由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为，

由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|= =2×4=8

3．已知点是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则中点的横坐标为（   ）

A．          B．           C．           D．

【答案】B

【详解】设点坐标分别为，抛物线的准线方程为,由抛物线定义有,,所以,,,选B．

题组二：

例1．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若且，则中点坐标为           .

【答案】

【详解】如图，过作垂直准线于，过作垂直准线于，记准线与轴的交点为.由抛物线定义知，故，所以，即，解得，所以，代入即得答案，再求出直线方程，联立方程用韦达定理可解.

另法：焦点弦三段线方法。

例2．如图，已知抛物线焦点为，直线与抛物线交于两点，则.

【答案】

课堂练习：

1．直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知，，则（  ）

A.         B.         C.          D.

【答案】B

【详解】过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D.∵|AF|＝4，，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，

且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴

2．己知直线的斜率为k，它与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点， 若＝2，则|k|＝（   ）

A．2                B．                C．                 D．

【答案】A

【详解】根据抛物线过焦点弦的结论得，又因为，所以，，则弦长，又弦长（为直线的倾斜角），所以，则，，即，所以，故选A.

3．已知抛物线C：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与C的一个交点．若，则＝（   ）

A．         B．          C．         D．

【答案】B

【详解】设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为-2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=-2（x-2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3

4．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点，则的值等于（   ）

A．5          B．4         C．3        D．2

【答案】C

【详解】设A ，B ，则又 ，可得 ，则.

5．已知抛物线的焦点为，为抛物线上两点，若，为坐标原点，则的面积为（   ）

A．               B．              C．              D．

【答案】B

【详解】抛物线的焦点为，设所在直线为且，，，联立，消去得，根据韦达定理得①，由，可得②，联立①②解得，所以.

6．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴交点为，点在抛物线上且，则的面积为（   ）

A.              B.               C.             D.

【答案】C

【详解】双曲线的右焦点为，所以，抛物线方程为，准线方程为，所以，过点作准线，垂足为，则,所以，因此,,所以,故选C.

7．已知点A，抛物线C：的焦点F．射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则=（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），定点A（2，0），∴抛物线C的准线方程为y=-1.设准线与y轴的交点P，则FM：MN=FP：FN，又F（0，1），A（2，0），∴直线FA为：x+2y-2=0，

当y=-1时，x=4，即N（4，-1），，=.

8．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【详解】由于点在抛物线C：的准线上，所以，

设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），

将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.

强化培优：

1．设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（   ）

A．    B．C．D．

【答案】A

【详解】，故选A.

2.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（   ）

A．16 B．14 C．12 D．10

【答案】A

【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知

，当且仅当（或）时，取等号.

另法：设直线的倾斜角为，则，则，所以.