一轮复习专题8.43椭圆及其性质（三）（解析版）教案

椭圆及其性质（三）

一、          学习目标：

1.理解椭圆的定义及其标准方程，并会求椭圆标准方程；

2.掌握椭圆的性质及其基本应用；

二、          教学过程

（一）必备知识：

1．椭圆的定义

(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．

※(2)椭圆第二定义(见人教A版教材选修1－1 P41例6、P43)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的__________．

2．椭圆的标准方程及几何性质

自查自纠：1．(1)＞　焦点　焦距　(2)离心率

2．(2)＋＝1(a＞b＞0) (5)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)

(7)F1(－c，0)，F2(c，0)　(9)e＝(0＜e＜1)

二、题组训练：

题组一：

1．已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是(   )

A．   B．或   C． D．以上均不正确

【答案】A

【详解】设经过两点P和点Q的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），

代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为+x2=1．选A．

2．已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为（    ）

A．    B．＝1    C．＝1    D．＝1

【答案】D

【详解】因为直线AB过点F（3,0）和点（1，－1），所以直线AB的方程为y＝（x－3），代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，椭圆方程为．

3．已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为，且与抛物线y2＝x交于A，B两点，若△OAB(O为坐标原点)的面积为，则椭圆C的方程为(   )

A．   B．＋y2＝1   C．   D．

【答案】A

【详解】∵椭圆C：与抛物线y2＝x交于A，B两点，∴设，则，解得x＝2，∴．由已知得，解得，

∴椭圆C的方程为，故选A.

4.已知椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，点在椭圆上，，，且四边形的面积为，则椭圆的方程为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由，可得.又，所以.不妨设，则，即，，即.将代入椭圆方程可得，即.又四边形的面积为，即，联立，解得，.故椭圆的方程为.故选：A.

题组二：

5．已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是(   ）

A.    B.    C.    D.

【答案】C

【详解】由题意可知，所以点P的轨迹为椭圆，其中，所以方程为

6．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)

A．   B．   C．   D．

【答案】D

【详解】由圆的方程可知，圆心，半径等于5，设点的坐标为，的垂直平分线交于，，又 ， ，由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，故椭圆方程为，即.

题组三：

7.在直角坐标平面内，已知，,动点满足 ，则动点的轨迹方程为                    .

【答案】

【详解】设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），所以有，整理得.

8．在直角坐标平面内，已知，,动点满足 ，则动点的轨迹方程为                    .

【答案】

【详解】设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），所以有，整理得.

9.在直角坐标平面内，已知，以及动点是的三个顶点，且，则动点的轨迹方程为                  .

【答案】

【详解】∵sinAsinB-2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，∴sinAsinB=2cosAcosB，即tanAtanB=2，∴，设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），所以有，整理得.

10．点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，则的轨迹方程是（  ）

A．    B．     C．      D．

【答案】C

【详解】设点为,由题意得,,即,,整理得到,故选：C

11．过椭圆内一点R（1,0）作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹方程为              .

【答案】

【详解】设，，P（x,y），则，，两式相减得，将代入可得P点轨迹方程为.

课外作业：

1．点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，则的轨迹方程是（    ）

A．    B．     C．      D．

【答案】D

【详解】设点为,由题意得,,即,,整理得到,故选：D

2．已知的周长为，，则顶点的轨迹方程为（　　）

A． B． C．  D．

【答案】A 

【详解】的周长为12，顶点，，，，，点到两个定点的距离之和等于定值，点的轨迹是椭圆，，，椭圆的方程：．

3．已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程为(　　)

A．  B．  C．   D．

【答案】D

【详解】已知AB、BC、CA成等差数列，则：|AB|+|AC|=2|BC|∵点B（-1，0），C（1，0），∴|BC|=2 所以，|AB|+|AC|=2|BC|=4 按照椭圆的定义，点A的轨迹就是以B、C为焦点，到B、C距离之和为4的椭圆 由已知有：c=1，a=2 所以，b2=a2-c2=4-1=3又已知|AB|＞|AC|所以点A位于上述椭圆的右半部分，且点A不能与B、C在同一直线（x轴）上（否则就不能构成三角形）所以，点A的轨迹方程是：故选：D．

4．已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（ ）

A．   B．    C．    D．

【答案】A

【解析】由，可知，直线为线段的中垂线，所以有，所以有，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，即，所以椭圆方程为,故选A．

5．已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为（  ）

A．   B．   C．   D．

【答案】A

【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为，则，

∴，由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，则，，椭圆的方程为：故选：A．

6．已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意圆标准方程为，圆心为，半径为6，∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，∴点轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，∴，，∴其轨迹方程为．

7．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（    ）

A．圆   B．双曲线    C．抛物线    D．椭圆

【答案】D

【详解】由题意知，关于CD对称，所以，故，可知点P的轨迹是椭圆.

8．在△ABC中，已知A(2，0)，B(－2，0)，G，M为平面上的两点且满足，，则顶点C的轨迹为(   )

A．焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)         B．焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)

C．焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)       D．焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)

【答案】B

【详解】设C(x，y)(y≠0)，因为，所以G为△ABC的重心，，即.又，即M为△ABC的外心，所以点M在y轴上，又，则有.

又因为，所以，化简得，y≠0.所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点)．故选B.

9．若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为焦距为，所以，即；又椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆方程为： ，又椭圆过点，所以，解得，因此所求椭圆的方程为：.故选：D

10．若中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x﹣y﹣2＝0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（　　）

A．1     B．1     C．    D．

【答案】C

【详解】设椭圆：1（a＞b＞0），则a2﹣b2＝50①又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）∵x0，∴代入直线方程得y02由，可得

∴AB的斜率k••3，∵1，∴a2＝3b2②联解①②，可得a2＝75，b2＝25，所以椭圆的方程为1，故选：C．

11．已知椭圆的左顶点和左焦点分别为和,,直线交椭圆于两点(在第一象限),若线段的中点在直线上,则该椭圆的方程为(    )

A．   B．    C．   D．

【答案】C

【详解】如图:

设点,则,的中点为, 则 有题意可知,

又 三点共线,可得: 可得: 解得: ,故——①

,可得: ——②  由①②可得:, 由,得

该椭圆的方程为: .故选:C.