考点28 空间几何体外接球（讲解） （解析版）练习题

考点28 空间几何体的外接球

【思维导图】

【常见考法】

考法一 汉堡模型

1．（2020·广州市广外）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为正四棱柱高为2，体积为8，所以它的底面边长是2，

所以它的体对角线的长是，因此它的外接球的直径是，所以这个球的表面积是：.故选：B．

2．（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（    ）

A．4π B．3π C．2π D．4π

【答案】D

【解析】因为BD⊥平面ADC，所以，，

所以，，

所以，所以，

所以以、、为棱的长方体与三棱锥A﹣BCD具有相同的外接球，

所以该外接球的直径为，半径为，

则该外接球的体积为故选：D.

考法二 墙角模型

1．（2020·天津高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，

即，

所以，这个球的表面积为.故选：C.

2．（2019·绥德中学）球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，

设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.

3．（2020·兴化市板桥高级中学）棱长为的正方体的8个顶点在同一个球面上，则这个球的体积与表面积的比值为________

【答案】1

【解析】该球的直径就是正方体的对角线，设球的半径为，则，故答案为：1

考法三  斗笠模型

1．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.

【答案】

【解析】过点作平面于点，记球心为.

∵在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，

∴，

∴.

∵球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，

∴，.

在中，，

即，解得，

∴外接球的表面积为.

故答案为：.

2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，

记为O，PO=AO=R，，=4-R，

在Rt△中，，

由勾股定理得，

∴球的表面积，故选A.

考法四 怀表模型

1．（2020·广东省高三）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A．7π B．8π C． D．

【答案】D

【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH

因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形

所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°

设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F

则由AH＝2可得AEAH，EHAH

分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点

记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°

所以OE＝1，则R＝OA

则三棱锥外接球的表面积

故选：D

2．（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（    ）

A．π B．π C．π D．3π

【答案】A

【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，

由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，

∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，

由题意得BC⊥平面ADS，

分别取AD，SD的三等分点E，F，

在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，

两条直线的交点即球心O，

连结OA，则球O半径R＝|OA|，

由题意知BD，AD，DE，AE，

连结OD，在Rt△ODE中，，OEDE，

∴OA2＝OE2+AE2，

∴球O的表面积为S＝4πR2．

故选：A．

考法五 矩形模型

1．（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，，

所以，

可得，所以，

即为外接球的球心，球的半径 所以四面体的外接球的表面积为：

.故选：B

2．（2020·黑龙江省哈尔滨三中）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图所示：

由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O，

因为,且,所以,

所以,

所以四面体的外接球半径,则表面积.故答案选：C

考法六 L模型

1．（2020·黑龙江省铁人中学高三）在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取BC的中点为，是正三角形ABC的中心,

为正方形BCDE的中心，连接,则有，

，平面平面，平面平面=，

⊥平面ABC，AM⊥平面BCDE，过分别做，

，则⊥平面ABC，⊥平面BCDE，交于，

则为球心，，

所以四边形为矩形，，

所以外接球的体积为.

故选:D.

2．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在中，由余弦定理得，

又，所以为直角三角形，.

又平面平面且交于，

所以平面.

将三棱锥放入直三棱柱中，如图所示：

，分别为上下底面外接圆的圆心，

为三棱锥外接球的球心，且为，的中点.

所以.

设的外接圆半径为，则，所以.

设几何体的外接球半径为，则，

所求外接球的表面积.

故选：B

考点七 麻花模型

1．（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，

所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，

所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．

故答案为．

考点八 最值问题

1．（2020·河南省高三三模）已知三棱锥的底面是等边三角形，且，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在上找中点，连接，，如下图所示，

因为三棱锥的底面是等边三角形，即是等边三角形，

所以，又因为，所以.

设，与平面所成的角，则，当时，最大，此时，，两两垂直，

所以三棱锥的外接球即为以，，为长宽高的长方体的外接球，如下图，

因为，

所以外接球的半径.

则其外接球的表面积为.

故选：C.

2．已知点，，，均在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球的表面积为__________

【答案】

【解析】设的外接圆的半径为，
∵，，

则，

为直角三角形，且
，

∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，
∴到平面的最大距离，
设球的半径为，则，
即

解得，
∴球的表面积为.
故答案为：.