考点24 空间几何体体积及表面积（讲解）（解析版）练习题

考点24:空间几何体的表面积和体积

【思维导图】

【常见考法】

考法一：体积

1．（等体积法之换顶点）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面底面，且，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】（1）如图，

连接.因为底面是平行四边形，且是的中点，所以也是的中点.又因是的中点，

所以.因为平面，平面，

所以平面.

（2）在中，因为，

所以，则.

又因为侧面底面，交线为，而平面，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

（3）取中点为，连接.因为，为的中点，

所以，

又因为侧面底面，交线为，

所以平面.

因为，，

所以，

所以.

所以，所以三棱锥的体积

.

2.（等体积法之点面距）已知三棱锥中，，为的中点，为的中点，且为正三角形.

（1）求证：平面；

（2）若，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：如图，∵为正三角形，且为的中点，∴.

又∵为的中点，为的中点，∴,∴.

又已知,∴平面,∴.

又∵,∴平面.

（2）解：法一：记点到平面的距离为，则有

∵  ∴，

又,∴，

∴，又，∴，

在中，，又∵，

∴，

∴，∴

即点到平面的距离为.

法二：∵平面平面且交线为，过作，则平面，的长为点到平面的距离；

∵，∴，又，∴，∴.

又，

∴，

∴，即点到平面的距离为.

3．（补形法）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求几何体的体积．

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）取中点为，连接、、．

在正方形中，为的中点，为的中点．

在正方体中，

且，四边形为平行四边形，且，

、分别为、的中点，且，

所以，四边形为平行四边形，且，

且，且，

所以，四边形为平行四边形，且，

为的中点，且，则四边形为平行四边形，

，

又平面，平面，因此，平面；

（2）∵正方体的棱长为，

，．

又，且，而，

．

4．（分割法）如图，矩形中，，，、是边的三等分点.现将、分别沿、折起，使得平面、平面均与平面垂直.

（1）若为线段上一点，且，求证：平面；

（2）求多面体的体积.

【答案】(1)见证明(2)

【解析】（1）分别取，的中点，，连接，，，，

因为，，所以，且.

因为，，所以，且.

因为面、面均与面垂直，

所以面，面，

所以，且.

因为，所以，

所以是以为斜边的等腰直角三角形，故，

而，则，

故面面，

则面.

（2）如图，连接，，由（1）可知，，且，

则四边形为平行四边形，故.

因为 ，

所以 .

考法二：表面积

1．如图，在四棱锥中，，，，.为锐角，平面平面.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的表面积.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）如图所示：

作于，

因为平面平面

所以平面.

所以

取中点为，

则，且

所以

所以，

又为锐角，点与点不重合.

所以平面.

又，与为平面内两条相交直线，

故平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：平面，

故即为与平面所成角，

.

在中，，

故，，，

.

而，

所以

故所求表面积为：.

2．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为线段上的动点.

（1）证明：平面；

（2）若将直三棱柱沿平面截开，求四棱锥的表面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：连接，，因为，分别为，中点，

所以，，

又因为，，

所以，，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又为中点，

所以，

又，，

所以平面平面，

又平面，

所以平面.

（2）连接，因为，，，平面，平面，

所以平面，

所以，

，，，，

在中，，，，

所以，

所以，，

所以四棱锥的表面积.

3．如图,四棱锥中,底面是菱形,平面,,是上一动点.

（1）求证:平面平面;

（2）若,三棱锥的体积为,求四棱锥的侧面积.

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】(1)平面,平面,

.

底面是菱形

.

又,平面,平面,

平面.

又平面,

平面平面.

(2)设菱形的边长为,

,            

.

在中,

 .

又 平面,,,

,故.

又,

,

解得:,

,

又平面,

,

 四棱锥的侧面积为:

.

考法三：求参数

1．如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若三棱锥的体积为，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）因为四边形是矩形，故，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，又面，所以，

在等腰梯形中，，，

因，故，，即，

又，故平面，

平面，所以平面平面；

（2）的面积为，

，平面，所以，平面，

，故.

2．如图，在四棱锥中，是等边三角形，是上一点，平面平面.

（1）若是的中点，求证：平面；

（2）设=，当取何值时，三棱锥的体积为？

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）因为，

所以.

因为是的中点，

所以.

，

所以，

所以.

又因为平面平面

所以平面

所以，

所以平面.

（2）设，

所以，

因为是等边三角形，平面平面

点到平面的距离，即为四棱锥的高，且

因为

所以

整理得：

又因为解得

考法四：求最值

1．如图，在直三棱柱中，，，点为侧棱上一个动点

（1）求此直三棱柱的表面积；

（2）当最小时，求三棱锥的体积.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）

（2）将三棱柱展开成矩形，连接，交 于点，则此时最小.

， ..

平面，且平面，，

又且，，平面，平面

为到平面的距离，.

2．如图1，在矩形中，，，点在线段上，.把沿翻折至的位置，平面，连结，点在线段上，，如图2.

（1）证明：平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）依题意得，在矩形中，，，，

所以，.

在线段上取一点，满足，

又因为，所以，

故，

又因为，所以，

因为，所以，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）设到平面的距离为，，又，

所以，故要使三棱锥的体积取到最大值，仅需取到最大值.

取的中点，连结，依题意得，则，

因为平面平面，，平面，

故当平面平面时，平面，.

即当且仅当平面平面时，取得最大值，此时.

如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐

标系，得，，，

，，

设是平面的一个法向量，

则

得令，解得，

又因为平面的一个法向量为，

所以，

因为为钝角，所以其余弦值等于

3．如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.

（1）求证：平面；

（2）求五棱锥的体积最大时的面积.

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】证明：（1）在图1中，连接.

又，分别为，中点，

所以.即图2中有.

又平面，平面，

所以平面.

解：（2）在翻折的过程中，当平面平面时，五棱锥的体积最大.

在图1中，取的中点，的中点.由正方形的性质知，，，，，.

在图2中，取的中点，分别连接，，取中点，连接.

由正方形的性质知，.

又平面平面，

所以平面，则.

由，有，，，

.

同理可知.

又为中点，

所以，

所以，

所以.

4．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．

（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；

（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；

（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】（Ⅰ）在中，因为，为的中点，

所以．又垂直于圆所在的平面，所以．

因为，所以平面．

（Ⅱ）因为点在圆上，

所以当时，到的距离最大，且最大值为．

又，所以面积的最大值为．

又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．

（Ⅲ）在中，，，所以．

同理，所以．

在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．

当，，共线时，取得最小值．

又因为，，所以垂直平分，

即为中点．从而，

亦即的最小值为．