考点24 空间几何体体积及表面积（讲解）（原卷版）

考点24:空间几何体的表面积和体积

【思维导图】

【常见考法】

考法一：体积

1．（等体积法之换顶点）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面底面，且，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积.

2.（等体积法之点面距）已知三棱锥中，，为的中点，为的中点，且为正三角形.

（1）求证：平面；

（2）若，求点到平面的距离.

3．（补形法）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求几何体的体积．

4．（分割法）如图，矩形中，，，、是边的三等分点.现将、分别沿、折起，使得平面、平面均与平面垂直.

（1）若为线段上一点，且，求证：平面；

（2）求多面体的体积.

考法二：表面积

1．如图，在四棱锥中，，，，.为锐角，平面平面.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的表面积.

2．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为线段上的动点.

（1）证明：平面；

（2）若将直三棱柱沿平面截开，求四棱锥的表面积.

3．如图,四棱锥中,底面是菱形,平面,,是上一动点.

（1）求证:平面平面;

（2）若,三棱锥的体积为,求四棱锥的侧面积.

考法三：求参数

1．如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若三棱锥的体积为，求的值.

2．如图，在四棱锥中，是等边三角形，是上一点，平面平面.

（1）若是的中点，求证：平面；

（2）设=，当取何值时，三棱锥的体积为？

考法四：求最值

1．如图，在直三棱柱中，，，点为侧棱上一个动点

（1）求此直三棱柱的表面积；

（2）当最小时，求三棱锥的体积.

2．如图1，在矩形中，，，点在线段上，.把沿翻折至的位置，平面，连结，点在线段上，，如图2.

（1）证明：平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

3．如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.

（1）求证：平面；

（2）求五棱锥的体积最大时的面积.

4．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．

（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；

（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；

（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．