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    考点25 几何法解空间角(练习)(解析版)

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    考点25 几何法解空间角(练习)(解析版)

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    这是一份考点25 几何法解空间角(练习)(解析版),共30页。
    考点25 几何法解空间角
    【题组一 线线角】
    1.如图,在正四面体中,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是 .

    【答案】
    【解析】如图,连接取其中点,连接,∵是中点,∴,
    ∴异面直线AN,CM所成的角就是(或其补角),
    设正四面体的棱长为1,则,,
    在中,

    在中,.
    异面直线AN,CM所成的角的余弦值为.

    2.已知直三棱柱中,底面为等腰直角三角形,,,,点在上,且,则异面直线与所成角为 .
    【答案】
    【解析】由条件将直三棱柱补成长方体,如图.
    由条件,设点为的中点,连接.
    则,所以(或其补角)为异面直线与所成角.
    在中,,
    所以为等边三角形,所以

    3.如图,在底面边长为4,侧棱长为6的正四棱锥中,为侧棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值是 .

    【答案】
    【解析】如图,取的中点,的中点,的中点,连接,,,,

    则,,从而四边形是平行四边形,则,
    且.
    因为是的中点,是的中点,
    所以为的中位线,所以,则是异面直线与所成的角.由题意可得,.
    在中,由余弦定理可得,
    则,即.
    在中,由余弦定理可得.
    4.已知为正三棱锥,则与所成角大小为 .
    【答案】
    【解析】

    取的中点,连结,,为中点,.
    同理可得,是平面内的相交直线,
    平面,平面,
    ,即直线与所成的角的大小为.
    5.如图,为等边三角形所在平面外一点,且,分别为的中点,则异面直线与所成的角为______.

    【答案】45°
    【解析】如图,取的中点,连接,则

    等于异面直线与所成角.
    设,则.
    取的中点,连接.
    ,为等边三角形,

    平面,,.
    所以,异面直线与所成的角为.故答案为:
    6.如图,在底面为正方形的四棱锥中,,点为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为___________

    【答案】
    【解析】
    取PD的中点记为F点,BC的中点记为 点,连接FG,GD,因为,且,,故得到四边形EFGB为平行四边形,故角GFD或其补角为所求角,根据题干得到,三角形PAB为等边三角形,BF为其高线,长度为,FG=,DG=,
    FD=1,根据余弦定理得到,因为异面直线夹角为直角或锐角,故取正值,为:.故答案为.
    7.如图,矩形中,,,是的中点,将沿折起,使折起后平面平面,则异面直线和所成的角的余弦值为__________.

    【答案】
    【解析】由题意,取中点,连接,则,可得直线和所成角的平面角为,(如图)

    过作垂直于,平面⊥平面,

    平面,,
    且,结合平面图形可得:,
    ,,
    又=, ∴=,

    ∴在中,=,
    ∴△DFC是直角三角形且,可得.
    【题组二 线面角】
    1.如图,已知是等腰三角形,且,,点是的中点将沿折起,使得,则此时直线与平面所成角的正弦值为 .

    【答案】
    【解析】如图,作,垂足为,连接.

    ∵,,,
    ∴平面.
    ∵平面,∴,
    又,,∴平面,
    ∴为直线与平面所成的角.
    由题意:
    可知,.
    设中,边上的高为,
    则.
    由,得,
    ∴,
    2.如图,在棱长为2的正方体中,是的中点,是的中点,则直线与平面所成的角的正切值为 .

    【答案】
    【解析】连接,由平面,
    知即为直线与平面所成的角.在中,,,
    则.
    3.如图,在四棱锥中,底面是菱形,底面.

    (Ⅰ)证明:;
    (Ⅱ)若,求直线与平面所成角的余弦值.
    【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
    【解析】(Ⅰ)证明:连接,
    ∵底面,底面,∴.
    ∵四边形是菱形,∴.
    又∵,平面,平面,
    ∴平面,
    ∴.
    (Ⅱ)设直线AC与BD交于点O,∵底面,

    ∴直线与平面所成角的是.
    设“”,由,可得,
    ∵四边形是菱形,
    在中,,则,
    于是,

    ∴直线与平面所成角的余弦值是.
    4.如图几何体中,底面为正方形,平面,,且.

    (1)求证:平面;
    (2)求与平面所成角的大小.
    【答案】(1)见解析(2)
    【解析】(1)四边形为正方形
    又平面 平面
    又,平面 平面
    平面, 平面平面
    平面 平面
    (2)连接交于点,连接

    平面,平面
    又四边形为正方形
    平面, 平面
    即为与平面所成角



    即与平面所成角为:
    5.如图,正方形的边长为2,与的交点为,平面,,且.

    (1)求证:平面;
    (2)求直线与平面所成角的正切值.
    【答案】(1)证明见解析;(2)
    【解析】(1)∵平面,平面
    ∴,又,,
    ,平面,∴平面.
    又平面,∴.
    ∵四边形是正方形,∴.
    又,平面
    所以平面.
    (2)取的中点,连接,.
    ∵平面,平面,
    ∴,又,∴.
    ∵,∴平面,
    ∴为直线与平面所成的角
    在中,知,,
    ∴.
    6.如图,在几何体P﹣ABCD中,平面ABCD⊥平面PAB ,四边形ABCD为矩形,△PAB为正三角形,若AB=2,AD=1,E,F 分别为AC,BP中点.

    (1)求证:EF∥平面PCD;
    (2)求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值.
    【答案】(1)见证明;(2)
    【解析】(1)因为E为AC中点,所以DB与AC交于点E.
    因为E,F分别为AC,BP中点,所以EF是△BDP的中位线,
    所以EF∥DP.又DP⊂平面PCD,EF⊄平面PCD,所以EF∥平面PCD.
    (2)取AB中点O,连接PO,DO

    ∵△PAB为正三角形,∴PO⊥AB,
    又∵平面ABCD⊥平面PAB
    ∴PO⊥平面ABCD,∴DP在平面ABCD内的射影为DO,
    ∠PDO为DP与平面ABCD所成角,
    在Rt△DOP中,sin∠PDO=,
    ∴直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为
    7.已知四边形是正方形,平面,平面,,为棱的中点.

    (1)求证:平面;
    (2)求直线与平面所成角的正切值.
    【答案】(1)证明见解析;(2)
    【解析】如图所示:连接、、

    (1)证明:四边形是正方形,且
    即为等腰三角形
    又为棱的中点,得:
    平面,平面,得:
    又,则四边形为平行四边形

    又正方形,
    即为等腰三角形

    又,,平面,平面
    平面
    (2)取的中点,连接、
    点、分别为、的中点
    为的中位线

    又平面
    平面
    为斜线过点向平面的一条垂线,垂足为点,则斜线在平面内的射影为,直线与平面所成角为,设
    由几何关系可得:,
    在中得:.
    8.如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,平面平面,,为中点,且.

    (1)求证:;
    (2)求与平面所成角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】(1)因为平面平面,平面平面,,
    ∴平面,又由平面,∴,
    ∵为正方形,∴,
    又∵,∴平面,∴.
    (2)过作于,连接.
    由(1)得平面,∴,
    又,所以平面,
    ∴为与平面所成角,
    ∴,,,∴,,
    由∽,可得,∴,


    9.如图,在四棱锥中中,,,,,是正三角形.

    (1)求证:;
    (2)求与平面所成角的余弦值.
    【答案】(1)证明见解析(2)
    【解析】(1)证明:∵是正三角形,,
    ∴,
    ∴,∴,
    ∵,∴平面,
    ∴;

    (2)设点E是的中点,连接,延长交于点H,连接.
    ∵是正三角形,∴,由(1)得平面,∴平面平面,
    ∴平面,
    ∴与平面所成角为,
    ∵,


    ∴与平面所成角的余弦值
    10.已知四棱锥的底面是边长为1的正方形,,E为PC的中点.

    (1)证明:;
    (2)求直线AP与平面ADE所成角.
    【答案】(1)见解析(2)
    【解析】(1)由已知得:,∴,∴,
    又,且平面ABCD,
    ∴平面ABCD,又平面ABCD,∴
    又平面PDC,故平面.
    ∵平面PDC,∴;
    (2)∵,E为PC中点,∴
    ,且平面ADE,∴平面ADE
    ∴是PA与平面ADE所成角
    在中,,在中,
    ∴,∴直线AP与平面ADE所成角.
    【题组三 二面角】
    1.如图,在四面体ABCD中,AB=1,AD=23,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=π2,则二面角A-BC-D的大小为 。

    【答案】π3
    【解析】在ΔBDC中,BC=3,CD=2,∠BCD=π2 ,则BD=13 ;
    在ΔABC中,AB=1,BC=3 ,∠ABC=π2 ,则AC=10 ;
    又AD=23 ,在ΔABD中,BD2=AB2+AD2 ,则∠BAD=π2;
    过点B作BE//CD,使BE=CD ,连接AE、DE ,则四边形BEDC为矩形,BE=2 ,因为BC⊥AB,BC⊥BE ,则BC⊥平面ABE ,DE//BC ,则DE⊥平面ABE ,则DE⊥AE ,AE=AD2-DE2=3 ,在ΔABE中,AE2+AB2=BE2 ,则∠BAE=π2 ,∠AEB=π6,∠ABE=π3 ,由于AB⊥BC ,EB⊥BC ,则∠ABE为二面角A-BC-D 的平面角,且∠ABE=π3 .
    2.如图,在三棱锥中,为等边三角形,,平面平面且.

    (1)求证:;
    (2)求二面角的正切值.
    【答案】(1)详见解析;(2).
    【解析】(1)取中点,连接,则,因为平面平面,平面平面,平面,则平面,所以,又因为,则平面平面,则.
    (2)过作交于点,由(1)知,,所以平面,平面,则,所以为二面角的平面角.因为三角形为等边三角形,令,则,,则.

    3.如图,在四棱锥中,底面,是边长为的正方形.且,点是的中点.

    (1)求证:;
    (2)求平面与平面所成锐二面角的大小.
    【答案】(1)见解析;(2).
    【解析】(1)由题意,底面是正方形,.
    底面,平面,.
    ,平面.
    平面,.
    又,点是的中点,,
    ,平面.
    平面,;
    (2)法—:由题知、、两两垂直,以、、为、、轴建立空间直角坐标系.

    则,,则,,
    平面,则是平面的一个法向量,,
    由(1)知平面,是平面的一个法向量,且,
    ∴,
    因此,平面与平面所成锐二面角的大小等于;
    法二:过引直线,使得,则,

    平面,平面,就是平面与平面所成二面角的棱.
    由条件知,,,已知,则平面.
    由作法知,则平面,所以,,
    就是平面与平面所成锐二面角的平面角.
    在中,,平面与平面所成锐二面角的大小等于.
    4.已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点.


    (1)求证:BD⊥AE
    (2)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】(1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
    侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.
    连结AC,∵ABCD是正方形, ∴BD⊥AC.
    ∵PC⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD, ∴BD⊥PC.
    又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC.
    ∵AE⊂平面PAC. ∴BD⊥AE.
    (2)解法1:在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F,连结BF.
    ∵AD=AB=1,DE=BE=,AE=AE=,
    ∴Rt△ADE≌Rt△ABE,
    从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE.
    ∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角.
    在Rt△ADE中,DF=, ∴.
    又BD=,在△DFB中,由余弦定理得
    cos∠DFB=,
    ∴∠DFB=,即二面角D-AE-B的大小为
    解法2:如图,以点C为原点,CD,CB,CP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),

    从而=(0,1,0),=(-1,0,1),=(1,0,0),=(0,-1,1).[Z#x设平面ADE和平面ABE的法向量分别为,
    由,取
    由,取
    设二面角D-AE-B的平面角为θ,则,
    ∴θ=,即二面角D-AE-B的大小为
    5.如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧棱,求证:

    (1)平面;
    (2)平面平面;
    (3)二面角的平面角的大小.
    【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
    【解析】(1),.
    .
    同理可证.
    平面.
    (2)由(1)知平面,平面,.
    ∵四边形是正方形,.
    又,平面.
    又平面,∴平面平面.
    (3)由(1)知平面,平面,.
    又,平面.
    平面,.
    为二面角的平面角.
    在中,.
    ∴二面角的平面角的大小为45°.
    6.如图所示,在棱台中,平面,,

    (1)求证:;
    (2)求二面角的大小.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】(1)连接,设,
    因为,,所以,
    又,所以四边形是平行四边形,则,
    在底面中,且,
    所以,又由,可得,
    又由,所以,所以,
    因为平面,所以,同理可得,
    在直角中,可得,所以,
    在直角中,可得,所以,
    所以,所以,
    所以;
    (2)在直角梯形中,由,可得,
    又,所以平面,
    故为在平面内的射影三角形,
    设,则,,
    设二面角的平面角为,则,
    又因为二面角为锐二面角,所以.
    7.如图,在四棱锥中,底面是菱形,底面.

    (Ⅰ)证明:;
    (Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
    【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
    【解析】(Ⅰ)证明:连接,
    ∵底面,底面,∴.
    ∵四边形是菱形,∴.
    又∵,平面,平面,
    ∴平面,
    ∴.
    (Ⅱ)作,交的延长线于,连接.
    由于,于是平面,

    平面,,
    所以二面角的平面角是.
    设“”,
    且底面是菱形,

    ,,
    ∴.
    8.如图,四边形ABCD是棱长为2的正方形.E为AD的中点,以CE为折痕把折起,使点D到达点P的位置,且点P的射影O落在线段AC上.

    (1)求;
    (2)求二面角的余弦值.
    【答案】(1);(2)
    【解析】(1)如图,点P的射影O落在线段AC上,PO⊥平面ABC,过点P作交CE于点F,连接FO,则,
    由已知条件,在中,,,则, ,
    在中,.
    在中,,
    在中,,,.
    (2)由(1)知为二面角的平面角,又,在中,.

    9.已知斜三棱柱的棱长都是,侧棱与底面成60°角,侧面底面.

    (1)求证:;
    (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
    【答案】(1)证明见解析(2)45°
    【解析】(1)如图,作于点,连接.

    ∵平面底面,
    平面,
    为在底面上的射影,
    ,,
    ∴点为的中点.
    是正三角形,
    .

    平面,
    .
    (2)是平面与平面的一个交点,
    ∴平面与平面有且仅有一条过点的交线,设为,如图.

    ∵平面平面,
    ∴由两平面平行的性质,知,又,
    由(1)知平面,平面.
    为所求锐二面角的平面角,
    .
    故平面与平面所成的锐二面角为45°.
    10.已知四棱锥中,底面是直角梯形,∥,,,,又平面,且,点在棱上且.

    (1)求证:;
    (2)求与平面所成角的正弦值;
    (3)求二面角的大小.
    【答案】(1)答案见解析(2)(3)
    【解析】(1)取中点为,连接

    ,

    底面是直角梯形,
    ∥,即∥

    四边形是平行四边形

    可得,中点为,
    根据直角三角形性质可得:为直角三角形,且

    又平面


    平面


    平面

    (2)由(1)可得:平面
    为与平面所成角
    为直角三角形,,
    又 ,
    为等腰直角三角形

    在中,

    与平面所成角的正弦值.
    (3)连结,交于点,,如图:

    平面,
    平面平面,
    平面
    过作于点,连结,则,
    为二面角的平面角,
    在中,
    在中,
    在中,

    二面角的大小为.

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