考点25 几何法解空间角(练习)(解析版)
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考点25 几何法解空间角
【题组一 线线角】
1.如图,在正四面体中,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是 .
【答案】
【解析】如图,连接取其中点,连接,∵是中点,∴,
∴异面直线AN,CM所成的角就是(或其补角),
设正四面体的棱长为1,则,,
在中,
,
在中,.
异面直线AN,CM所成的角的余弦值为.
2.已知直三棱柱中,底面为等腰直角三角形,,,,点在上,且,则异面直线与所成角为 .
【答案】
【解析】由条件将直三棱柱补成长方体,如图.
由条件,设点为的中点,连接.
则,所以(或其补角)为异面直线与所成角.
在中,,
所以为等边三角形,所以
3.如图,在底面边长为4,侧棱长为6的正四棱锥中,为侧棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值是 .
【答案】
【解析】如图,取的中点,的中点,的中点,连接,,,,
则,,从而四边形是平行四边形,则,
且.
因为是的中点,是的中点,
所以为的中位线,所以,则是异面直线与所成的角.由题意可得,.
在中,由余弦定理可得,
则,即.
在中,由余弦定理可得.
4.已知为正三棱锥,则与所成角大小为 .
【答案】
【解析】
取的中点,连结,,为中点,.
同理可得,是平面内的相交直线,
平面,平面,
,即直线与所成的角的大小为.
5.如图,为等边三角形所在平面外一点,且,分别为的中点,则异面直线与所成的角为______.
【答案】45°
【解析】如图,取的中点,连接,则
等于异面直线与所成角.
设,则.
取的中点,连接.
,为等边三角形,
,
平面,,.
所以,异面直线与所成的角为.故答案为:
6.如图,在底面为正方形的四棱锥中,,点为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为___________
【答案】
【解析】
取PD的中点记为F点,BC的中点记为 点,连接FG,GD,因为,且,,故得到四边形EFGB为平行四边形,故角GFD或其补角为所求角,根据题干得到,三角形PAB为等边三角形,BF为其高线,长度为,FG=,DG=,
FD=1,根据余弦定理得到,因为异面直线夹角为直角或锐角,故取正值,为:.故答案为.
7.如图,矩形中,,,是的中点,将沿折起,使折起后平面平面,则异面直线和所成的角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】由题意,取中点,连接,则,可得直线和所成角的平面角为,(如图)
过作垂直于,平面⊥平面,
,
平面,,
且,结合平面图形可得:,
,,
又=, ∴=,
∴在中,=,
∴△DFC是直角三角形且,可得.
【题组二 线面角】
1.如图,已知是等腰三角形,且,,点是的中点将沿折起,使得,则此时直线与平面所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】如图,作,垂足为,连接.
∵,,,
∴平面.
∵平面,∴,
又,,∴平面,
∴为直线与平面所成的角.
由题意:
可知,.
设中,边上的高为,
则.
由,得,
∴,
2.如图,在棱长为2的正方体中,是的中点,是的中点,则直线与平面所成的角的正切值为 .
【答案】
【解析】连接,由平面,
知即为直线与平面所成的角.在中,,,
则.
3.如图,在四棱锥中,底面是菱形,底面.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)证明:连接,
∵底面,底面,∴.
∵四边形是菱形,∴.
又∵,平面,平面,
∴平面,
∴.
(Ⅱ)设直线AC与BD交于点O,∵底面,
∴直线与平面所成角的是.
设“”,由,可得,
∵四边形是菱形,
在中,,则,
于是,
∴
∴直线与平面所成角的余弦值是.
4.如图几何体中,底面为正方形,平面,,且.
(1)求证:平面;
(2)求与平面所成角的大小.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)四边形为正方形
又平面 平面
又,平面 平面
平面, 平面平面
平面 平面
(2)连接交于点,连接
平面,平面
又四边形为正方形
平面, 平面
即为与平面所成角
且
又
即与平面所成角为:
5.如图,正方形的边长为2,与的交点为,平面,,且.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)∵平面,平面
∴,又,,
,平面,∴平面.
又平面,∴.
∵四边形是正方形,∴.
又,平面
所以平面.
(2)取的中点,连接,.
∵平面,平面,
∴,又,∴.
∵,∴平面,
∴为直线与平面所成的角
在中,知,,
∴.
6.如图,在几何体P﹣ABCD中,平面ABCD⊥平面PAB ,四边形ABCD为矩形,△PAB为正三角形,若AB=2,AD=1,E,F 分别为AC,BP中点.
(1)求证:EF∥平面PCD;
(2)求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】(1)因为E为AC中点,所以DB与AC交于点E.
因为E,F分别为AC,BP中点,所以EF是△BDP的中位线,
所以EF∥DP.又DP⊂平面PCD,EF⊄平面PCD,所以EF∥平面PCD.
(2)取AB中点O,连接PO,DO
∵△PAB为正三角形,∴PO⊥AB,
又∵平面ABCD⊥平面PAB
∴PO⊥平面ABCD,∴DP在平面ABCD内的射影为DO,
∠PDO为DP与平面ABCD所成角,
在Rt△DOP中,sin∠PDO=,
∴直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为
7.已知四边形是正方形,平面,平面,,为棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】如图所示:连接、、
(1)证明:四边形是正方形,且
即为等腰三角形
又为棱的中点,得:
平面,平面,得:
又,则四边形为平行四边形
又正方形,
即为等腰三角形
又,,平面,平面
平面
(2)取的中点,连接、
点、分别为、的中点
为的中位线
又平面
平面
为斜线过点向平面的一条垂线,垂足为点,则斜线在平面内的射影为,直线与平面所成角为,设
由几何关系可得:,
在中得:.
8.如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,平面平面,,为中点,且.
(1)求证:;
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)因为平面平面,平面平面,,
∴平面,又由平面,∴,
∵为正方形,∴,
又∵,∴平面,∴.
(2)过作于,连接.
由(1)得平面,∴,
又,所以平面,
∴为与平面所成角,
∴,,,∴,,
由∽,可得,∴,
∴
9.如图,在四棱锥中中,,,,,是正三角形.
(1)求证:;
(2)求与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明:∵是正三角形,,
∴,
∴,∴,
∵,∴平面,
∴;
(2)设点E是的中点,连接,延长交于点H,连接.
∵是正三角形,∴,由(1)得平面,∴平面平面,
∴平面,
∴与平面所成角为,
∵,
∴
∴
∴与平面所成角的余弦值
10.已知四棱锥的底面是边长为1的正方形,,E为PC的中点.
(1)证明:;
(2)求直线AP与平面ADE所成角.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)由已知得:,∴,∴,
又,且平面ABCD,
∴平面ABCD,又平面ABCD,∴
又平面PDC,故平面.
∵平面PDC,∴;
(2)∵,E为PC中点,∴
,且平面ADE,∴平面ADE
∴是PA与平面ADE所成角
在中,,在中,
∴,∴直线AP与平面ADE所成角.
【题组三 二面角】
1.如图,在四面体ABCD中,AB=1,AD=23,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=π2,则二面角A-BC-D的大小为 。
【答案】π3
【解析】在ΔBDC中,BC=3,CD=2,∠BCD=π2 ,则BD=13 ;
在ΔABC中,AB=1,BC=3 ,∠ABC=π2 ,则AC=10 ;
又AD=23 ,在ΔABD中,BD2=AB2+AD2 ,则∠BAD=π2;
过点B作BE//CD,使BE=CD ,连接AE、DE ,则四边形BEDC为矩形,BE=2 ,因为BC⊥AB,BC⊥BE ,则BC⊥平面ABE ,DE//BC ,则DE⊥平面ABE ,则DE⊥AE ,AE=AD2-DE2=3 ,在ΔABE中,AE2+AB2=BE2 ,则∠BAE=π2 ,∠AEB=π6,∠ABE=π3 ,由于AB⊥BC ,EB⊥BC ,则∠ABE为二面角A-BC-D 的平面角,且∠ABE=π3 .
2.如图,在三棱锥中,为等边三角形,,平面平面且.
(1)求证:;
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】(1)取中点,连接,则,因为平面平面,平面平面,平面,则平面,所以,又因为,则平面平面,则.
(2)过作交于点,由(1)知,,所以平面,平面,则,所以为二面角的平面角.因为三角形为等边三角形,令,则,,则.
3.如图,在四棱锥中,底面,是边长为的正方形.且,点是的中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】(1)由题意,底面是正方形,.
底面,平面,.
,平面.
平面,.
又,点是的中点,,
,平面.
平面,;
(2)法—:由题知、、两两垂直,以、、为、、轴建立空间直角坐标系.
则,,则,,
平面,则是平面的一个法向量,,
由(1)知平面,是平面的一个法向量,且,
∴,
因此,平面与平面所成锐二面角的大小等于;
法二:过引直线,使得,则,
平面,平面,就是平面与平面所成二面角的棱.
由条件知,,,已知,则平面.
由作法知,则平面,所以,,
就是平面与平面所成锐二面角的平面角.
在中,,平面与平面所成锐二面角的大小等于.
4.已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点.
(1)求证:BD⊥AE
(2)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.
连结AC,∵ABCD是正方形, ∴BD⊥AC.
∵PC⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD, ∴BD⊥PC.
又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC.
∵AE⊂平面PAC. ∴BD⊥AE.
(2)解法1:在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F,连结BF.
∵AD=AB=1,DE=BE=,AE=AE=,
∴Rt△ADE≌Rt△ABE,
从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE.
∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角.
在Rt△ADE中,DF=, ∴.
又BD=,在△DFB中,由余弦定理得
cos∠DFB=,
∴∠DFB=,即二面角D-AE-B的大小为
解法2:如图,以点C为原点,CD,CB,CP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),
从而=(0,1,0),=(-1,0,1),=(1,0,0),=(0,-1,1).[Z#x设平面ADE和平面ABE的法向量分别为,
由,取
由,取
设二面角D-AE-B的平面角为θ,则,
∴θ=,即二面角D-AE-B的大小为
5.如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧棱,求证:
(1)平面;
(2)平面平面;
(3)二面角的平面角的大小.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】(1),.
.
同理可证.
平面.
(2)由(1)知平面,平面,.
∵四边形是正方形,.
又,平面.
又平面,∴平面平面.
(3)由(1)知平面,平面,.
又,平面.
平面,.
为二面角的平面角.
在中,.
∴二面角的平面角的大小为45°.
6.如图所示,在棱台中,平面,,
(1)求证:;
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)连接,设,
因为,,所以,
又,所以四边形是平行四边形,则,
在底面中,且,
所以,又由,可得,
又由,所以,所以,
因为平面,所以,同理可得,
在直角中,可得,所以,
在直角中,可得,所以,
所以,所以,
所以;
(2)在直角梯形中,由,可得,
又,所以平面,
故为在平面内的射影三角形,
设,则,,
设二面角的平面角为,则,
又因为二面角为锐二面角,所以.
7.如图,在四棱锥中,底面是菱形,底面.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)证明:连接,
∵底面,底面,∴.
∵四边形是菱形,∴.
又∵,平面,平面,
∴平面,
∴.
(Ⅱ)作,交的延长线于,连接.
由于,于是平面,
平面,,
所以二面角的平面角是.
设“”,
且底面是菱形,
,
,,
∴.
8.如图,四边形ABCD是棱长为2的正方形.E为AD的中点,以CE为折痕把折起,使点D到达点P的位置,且点P的射影O落在线段AC上.
(1)求;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)如图,点P的射影O落在线段AC上,PO⊥平面ABC,过点P作交CE于点F,连接FO,则,
由已知条件,在中,,,则, ,
在中,.
在中,,
在中,,,.
(2)由(1)知为二面角的平面角,又,在中,.
9.已知斜三棱柱的棱长都是,侧棱与底面成60°角,侧面底面.
(1)求证:;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)45°
【解析】(1)如图,作于点,连接.
∵平面底面,
平面,
为在底面上的射影,
,,
∴点为的中点.
是正三角形,
.
,
平面,
.
(2)是平面与平面的一个交点,
∴平面与平面有且仅有一条过点的交线,设为,如图.
∵平面平面,
∴由两平面平行的性质,知,又,
由(1)知平面,平面.
为所求锐二面角的平面角,
.
故平面与平面所成的锐二面角为45°.
10.已知四棱锥中,底面是直角梯形,∥,,,,又平面,且,点在棱上且.
(1)求证:;
(2)求与平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的大小.
【答案】(1)答案见解析(2)(3)
【解析】(1)取中点为,连接
,
底面是直角梯形,
∥,即∥
又
四边形是平行四边形
可得,中点为,
根据直角三角形性质可得:为直角三角形,且
又平面
平面
平面
(2)由(1)可得:平面
为与平面所成角
为直角三角形,,
又 ,
为等腰直角三角形
在中,
与平面所成角的正弦值.
(3)连结,交于点,,如图:
平面,
平面平面,
平面
过作于点,连结,则,
为二面角的平面角,
在中,
在中,
在中,
二面角的大小为.
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