考点18 等差数列（练习）（原卷版）

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考点18 等差数列【题组一 定义的运用】1．已知为数列的前项和，，，.求证：为等差数列；【解析】证明：，，可得：，时，．时，，，可得．为等差数列，公差为，首项为．2．已知数列中， ，.设，求证：是等差数列；【答案】证明见解析【解析】（1），，又，，是等差数列，首项为3，公差为3．3．在正项数列中，已知且.证明：数列是等差数列；【答案】证明见解析【解析】∵∴，∴数列是公差为2的等差数列.∵∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴数列是等差数列.4．已知数列满足，.证明：数列为等差数列；【答案】证明见解析；【解析】（1）由得，又，所以数列首项为，公差为的等差数列；5.已知数列满足，且.证明数列是等差数列，并求数列的通项公式.【答案】（1）见解析，（2）【解析】因为两边都加上，得所以，即，所以数列是以为公差，首项为的等差数列．所以，即．6.数列中，，，数列满足.求证：数列是等差数列；【答案】见解析【解析】，而，，.因此，数列是首项为，公差为的等差数列； 【题组二 中项性质】1．的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列则角的值为  。【答案】【解析】由题意得：，由余弦定理得：    2．设，，是与的等差中项，则的最小值为    。【答案】【解析】∵是与的等差中项，∴，即，∴．所以 当且仅当即时取等号，∴的最小值为9．3．正项等差数列的前项和为，已知，则     。【答案】55【解析】由是等差数列，得，因为，所以，或，又，得，所以，4．在等差数列中，已知，则的值为______.【答案】【解析】由等差中项的性质可得，，因此，.故答案为：.5．设等差数列的前n项的和为，且，则       。【答案】12【解析】设数列公差为，则，，∴.．6．已知是与的等差中项，则的最小值为______.【答案】【解析】因为是与的等差中项则所以由基本不等式可得当且仅当时取等号,此时所以的最小值为故答案为:【题组三---前n项和的性质】1．等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为     。【答案】210【解析】∵等差数列{an}的前3项和为30，前6项和为100，即S3＝30，S6＝100，又S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）＝（S9﹣S6）+S3，即140＝S9﹣100+30，解得S9＝210。2．已知等差数列前项和为，若，，则     。【答案】280【解析】等差数列前项和为，，，也成等差数列故 ，又3．设等差数列的前项和为,若,则      。【答案】20【解析】∵等差数列的前项和为，，由等差数列的性质得：成等比数列又∴．4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则为    。【答案】【解析】设,根据是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a..5.已知两个等差数列和的前项和分别为和,且，则       。【答案】【解析】依题意，故.6．已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于      。【答案】【解析】∵等差数列，的前项和分别为，，对任意的正整数，都有，∴．7．有两个等差数列，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等差数列前项和分别为，，,故选B.8．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是___．【答案】5【解析】解：根据题意，两个等差数列和，则＝＝＝＝＝＝7+，若为整数，则n+1为12的因数，又n为正整数，则为正整数，验证可得：当n＝1，2，3，5，11满足题意，故答案为：5.9．已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.【答案】6【解析】因为等差数列中，，所以，，，∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．故答案为：610．已知是等差数列，其公差，其前n项和记为，且，，则当取最大值时的________.【答案】8【解析】；；故，即前项和最大故答案为：11．在等差数列中，，，则数列的前项和的最大值为    。【答案】【解析】∵等差数列中，，∴，∴，又，∴，，即数列的前15项为正值，从第16项开始为负值．∴数列的前项和的最大值为．12．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则     。【答案】8【解析】设等差数列有奇数项，．公差为．奇数项和为40，偶数项和为32，，，，，，即等差数列共项，且13．设等差数列的前项和分别为，若，则使的的个数为     。【答案】5【解析】因为等差数列的前项和分别为，所以，又，所以，为使，只需，又，所以可能取的值为：，因此可能取的值为：.【题组四  实际运用】1．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分石，那么三人各分得多少白米？”.请问：丙应该分得       白米【答案】石【解析】依题意，设甲、乙、丙分得的米的重量分别为石、石、石，并设等差数列、、的公差为，则，解得，，因此，丙应该分得石白米.2．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯       。【答案】26盏【解析】设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，，，，，，，，，（盏），所以最下面一层有灯，（盏）.3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有      。【答案】133尺【解析】9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项，记公差为，．4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升”.在该问题中前天共分发         升大米。【答案】【解析】记第一天共分发大米为升，由题意，每天分发的大米构成等差数列，公差为，因此，前天共分发大米为升.5．明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为   。【答案】184【解析】设第一个孩子分配到a1斤锦，则由题意得：7＝996，解得a1＝65，∴第八个孩子分得斤数为a8＝65+7×17＝184．6．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重       斤？【答案】15斤【解析】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，数列的前5项和为．即金锤共重15斤，7．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是          。【答案】184斤【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．8．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是  。【答案】五尺五寸【解析】设晷影长为等差数列，公差为，，，则，解得．夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸．9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得   。【答案】三分鹿之一【解析】显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为，则，解得．10．已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第一行为46，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20.如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，比如，，，，若，则    。【答案】71【解析】由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数…
又因为指图中摆放的第行第列，
所以先求第行的最后一个偶数，
该偶数小于2020且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的，，当时，，第44行的最后一偶数是1980，又第45行的第45个偶数为1982，
利用等差数列的任意两项之间关系可知2020应出在该行的第45-19=26列，故，
所以．
11．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是        。【答案】18【解析】设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，则.12．《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得      。【答案】钱【解析】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为，公差为，则有则，所以.13．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得 只鹿，则大夫所得鹿数为     。【答案】只【解析】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列,则又        ，即大夫所得鹿数为只14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为   。【答案】169【解析】由题意得，被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，∴，，由，得，∵，∴此数列的项数为169.15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每个人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的七分之一是较小的两份之和，则最大一份的个数为         。【答案】46【解析】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，则所以解得所以最大项.