2021-2022学年北师大版九年级数学上学期期中综合模拟测试题（word版含答案）

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2021-2022学年北师大版九年级数学第一学期期中综合模拟测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，其结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝9 D．（x+2）2＝9
2．为响应政府号召，加强防疫物资储备，我州某服装厂改装一条生产线加工口罩，今年一月口罩产量是80万只，第一季度总产量是340万只，设二、三月份的产量月平均增长率为x，根据题意可得方程为（　　）
A．80（1+x）2＝340 B．80+80（1+x）+80（1+2x）＝340
C．80（1+x）3＝340 D．80+80（1+x）+80（1+x）2＝340
3．一个盒子里装有除颜色外都相同的3个球，其中2个红球，1个白球，现从盒子里随意摸出1个不放回，再摸出1个，两次均摸到红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．若x﹣3y＝0且y≠0，则的值为（　　）
A．11 B．﹣ C． D．﹣11
5．已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值为（　　）A．4 B．9 C．12 D．15
6．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件不正确的是（　　）

A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．＝
7．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（　　）

A．60° B．65° C．75° D．80°
8．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（　　）

A．12.5 B．12 C．10 D．10.5
9．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，DE＝2；作EF∥BC．分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG，BE的中点，则MN的长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是　 　．
12．已知≠0，则＝　 　．
13．如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE＝2，则DF的长度为　 　．


14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，AD＝1，BC＝2，P为AB边上的动点，当△PAD与△PBC相似时，PA＝　 　．

15．某菜农在2020年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏 　 　天．
16．已知a是方程x2﹣2021x+1＝0的一个根，则a3﹣2021a2﹣＝　 　．
17．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解　 　．
18．已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为k．则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于　 　．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．若DE＝，DF＝2，则∠EDF＝　 　°，线段AB的长度＝　 　．

20．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是　 　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①OG＝AB；
②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S四边形ODGF＞S△ABF；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．

三．解答题（共6小题，满分60分）
21．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是　 　；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0．
（1）求证方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根．
23．云南省持续推进“八出省五出境”铁路网建设，努力把与周边国家互联互通的“接口”做好，更好地服务“一带一路”建设．某车站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从今年年初启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需要时间比乙队单独完成所需要时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队少20万元．在保证工程质量的前提下，为缩短工期，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程．在施工过程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1200万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数，不需要考虑工程是否完成）
24．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

25．如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：△ABM≌△BCN．
（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），当AK＝时，求△OMN的面积．

26．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当E点运动到点A时，三点随之停止运动．设运动时间为t．
（1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标．
（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值．


参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，满分30分）
1．解：把方程x2﹣4x﹣5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝5
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝5+4
配方得（x﹣2）2＝9．
故选：C．
2．解：设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为：
80+80（1+x）+80（1+x） 2＝340．
故选：D．
3．解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，两次均摸到红球的结果有2个，
∴两次均摸到红球的概率为＝，
故选：A．
4．解：∵x﹣3y＝0且y≠0，
∴x＝3y，
∴＝＝．
故选：C．
5．解：∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，
∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，
∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）
＝（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）
＝9αβ
＝9，
故选：B．
6．解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故C正确；
当时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故D错误．
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，
∵O为MN的中点，
∴OP＝，
∵∠PMN＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴∠AMP＝∠MPO+∠MBP
＝30°+45°
＝75°，
故选：C．
8．解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，
∴CG＝DG＝×12＝6，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝2，
解得x＝4.5，
∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，
∴BC＝AD＝10.5．
故选：D．
9．解：作ED∥AC交BF于D，如图，
∵ED∥FC，
∴＝＝，
设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，
∵AB＝AC，
∴AE＝FC＝3x，
∵DE∥AF，
∴＝，即＝，
整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，
∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，
∴y＝6x，
∴＝＝．故选：A．

10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°
∵EF∥BC，
∴∠BFE+∠ABC＝180°，
∴∠BFE＝90°，
∴四边形BCEF为矩形，
连接FM，FC，如图：

∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形．
∴点N为FC的中点，BE＝FC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，
又∵∠AFG＝90°，
∴△AFG为等腰直角三角形．
∵M是AG的中点，
∴AM＝MG，
∴FM⊥AG，
∴△FMC为直角三角形，
∵点N为FC的中点，
∴MN＝FC，
∵四边形ABCD是边长为8的正方形，DE＝2，
∴BC＝CD＝8，CE＝6，
在Rt△BCE中，由勾股数可得BE＝10，
∴FC＝10，
∴MN＝FC＝5．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，即12，13，21，23，31，32，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的结果（12，21）有2个，
∴在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率为＝，
故答案为：．
12．解：设＝k，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
＝＝3．
故答案为：3．
13．解：∵点B是线段AC的中点，
∴AB＝BC，
∴＝1，
∵直线a∥b∥c，
∴＝＝1，
∵DE＝2，
∴EF＝2，
∴DF＝DE+EF＝2+2＝4，
故答案为：4．
14．解：∵∠A＝∠B＝90°，AB＝6，AD＝1，BC＝2，
∴设AP的长为x，则BP长为6﹣x，
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，可以分为三种情况：
①当∠APD＝∠BPC时，△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝1：2，解得：x＝2，
②当∠APD＝∠BCP时，△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：2＝1：（6﹣x），解得：x＝3±，
③当∠APD＝∠B时，此时不符合题意，舍去，
故答案为：2或3+或3﹣．
15．解：设需要将采摘的黄瓜储藏x天出售，
（6+0.5x）（400﹣10x）﹣40x﹣1600＝1175，
解得，x1＝5，x2＝15（舍去），
即若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏5天．
故答案是：5．
16．解：∵a是方程x2﹣2021x+1＝0的一个根，
∴x2﹣2021x+1＝0，即a2+1＝2021a，a2﹣2021a＝﹣1，
则a3﹣2021a2﹣＝a（a2﹣2021a）﹣＝﹣a﹣＝﹣＝﹣＝﹣2021．
故答案是：﹣2021．
17．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
18．解：设矩形的长、宽分别为a、b（a≥b）．
则＝k，即4a2+（8﹣k）ab+4b2＝0．
两边都除以b2，
令t＝，则4t2+（8﹣k）t+4＝0．
解得t＝．
故答案为：．
19．解：如图，延长FD到M使得DM＝DF，连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N．
∵∠C＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵AE＝AD，BF＝BD，
∴∠AED＝∠ADE，∠BDF＝∠BFD，
∴2∠ADE+∠BAC＝180°，2∠BDF+∠B＝180°，
∴2∠ADE+2∠BDF＝270°，
∴∠ADE+∠BDF＝135°，
∴∠EDF＝180°﹣（∠ADE+∠BDF）＝45°，
∵∠END＝90°，DE＝，
∴∠EDF＝∠DEN＝45°，
∴EN＝DN＝1，
在△DAM和△DBF中，
，
∴△ADM≌△BDF（SAS），
∴BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，
∴∠MAE＝∠MAD+∠BAC＝90°，
∴EM＝AM，
在Rt△EMN中，∵EN＝1，MN＝DM+DN＝3，
∴EM＝＝，
∴AM＝，AB＝2AM＝2．
故答案为：45，2．

20．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；
∵OB＝OD，AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG＝AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，
∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，
∴S四边形ODGF＝S△ABF；不正确；
正确的是①④．
故答案为：①④．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（Ⅰ）∵x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+2）2﹣5＝（x+a）2+b，
∴a＝2，b＝﹣5，
∴ab＝2×（﹣5）＝﹣10．
故答案是：﹣10；
（Ⅱ）证明：x2+2x+7＝x2+2x+（）2﹣（）2+7＝（x+）2+1．
∵（x+）2≥0，
∴x2+2x+7的最小值是1，
∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）2x2+kx+7＝（x）2+2•x•k+（k）2﹣（k）2+7＝（x+k）2﹣k2+7．
∵（x+k）2≥0，
∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，
∴﹣k2+7＝2，
解得k＝±2．
22．（1）证明：这里a＝1，b＝﹣（k+3），c＝2k+1，
∵Δ＝（k+3）2﹣4（2k+1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4≥4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝4代入方程得：16﹣4（k+3）+2k+1＝0，
解得：k＝2.5，即方程为x2﹣5.5x+6＝0，
设另一根为m，根据题意得：4m＝6，
解得：m＝1.5．
23．解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x﹣5）个月，
依题意得：x（x﹣5）＝6（x+x﹣5），
整理得：x2﹣17x+30＝0，
解得：x1＝15，x2＝2．
∵x﹣5＞0，
∴x＞5，
∴x＝15，x﹣5＝10．
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．
（2）设在完成这项工程中甲队做了a个月，则乙队做了0.5a个月．
依题意得：100a+（100﹣20）×0.5a≤1200，
解得：a≤8，
又∵a为正整，
∴a可取的最大值为8．
答：甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1200万元．
24．解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝＝5，
则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，
∵∠PAQ＝∠BAC，
当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；
当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；
答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
25．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，
∵AM⊥BM，CN⊥BN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
∴∠MAB＝∠CBM，
在△ABM和△BCN中，
,
∴△ABM≌△BCN（AAS）；
(2)△OMN是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接OB，

∵点O是正方形ABCD的中心，
∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，
∵∠MAB＝∠CBM，
∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，
∴∠MAO＝∠NBO，
又∵AM＝BN，OA＝OB，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，
∵∠AON+∠BON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°，
∴∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形；
解：（3）设AK＝x（0＜x＜1）,
在Rt△ABK中，BK＝＝,
∵S△ABK＝×AK×AB＝×BK×AM，
∴AM＝＝，
∴BN＝AM＝,
∴BM＝＝,
∴MN＝BM﹣BN＝,
∵S△OMN＝MN2＝＝（0＜x＜1），
将x＝代入得：
S△OMN＝＝＝,
∴当AK＝时，S△OMN＝．
26．解：（1）由题可得OE＝3t，OD＝t，BF＝2t．
∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝∠BAO＝∠BCO＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC，BC＝OA．
∵B（12，10），
∴BC＝OA＝12，AB＝OC＝10，
∴AF＝10﹣2t，AE＝12﹣3t，
∴点E的坐标为（3t，0），点F的坐标为（12，10﹣2t）；

（2）①当△ODE∽△AEF时，
则有＝，
∴＝，
解得t1＝0（舍），t2＝；
②当△ODE∽△AFE时，
则有＝，
∴＝，
解得t1＝0（舍），t2＝6．
∵点E运动到点A时，三点随之停止运动，
∴3t≤12，
∴t≤4．
∵6＞4，
∴t＝6舍去，
综上所述：t的值为．