专题19概率（理）知识点与大题16道专练（基础题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题19概率（理）知识点与大题16道专练（基础题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共20页。学案主要包含了椭圆，双曲线，抛物线，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长问题等内容，欢迎下载使用。
专题19概率（理）知识点与大题16道专练（基础题）（解析版）
一、椭圆
1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．
即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长    长轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁


二、双曲线
1、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
2、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长    实轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
，越大，双曲线的开口越阔
渐近线方程


5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．





三、抛物线
1、定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
2、抛物线的几何性质：
标准方程








范围




顶点

对称轴
轴
轴
焦点




准线方程




离心率
，越大，抛物线的开口越大
焦半径





通径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：
焦点弦长公式


3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．
4、关于抛物线焦点弦的几个结论：
设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
⑴ ⑵
⑶ 以为直径的圆与准线相切；
⑷ 焦点对在准线上射影的张角为
⑸
四、直线与圆锥曲线的位置关系
2.直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。
①. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；
当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
五、弦长问题：
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则
==
==

1．已知抛物线的准线与x轴交于点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）利用准线方程求解
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用求解.
【详解】
（1）的准线过
故，则
抛物线方程为
（2）设切线方程为
与抛物线方程联立有

故
故直线l的方程为：或
【点睛】
求抛物线的切线方程的方法：
方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。
方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解．
2．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；
（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：
，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，
【详解】
（1）由抛物线经过点可得：，
又，可得，
解得，；
（2）由（1）知，则，
设，，
根据点M为线段的中点，可得：
，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为.
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，.
（2）以点，为焦点，经过点.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设椭圆的标准方程为，代入所过的点后求出可得所求的椭圆方程．
（2）根据椭圆的定义可求，再求出后可求椭圆的标准方程．
【详解】
解：（1）设椭圆的标准方程为，
由题意有，可得，
故椭圆的标准方程为.
（2）设椭圆的标准方程为，焦距为.
由题意有，，，
有，，
故椭圆的标准方程为.
【点睛】
方法点睛：椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等，注意根据问题的特征选择合适的方法来处理．
4．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
【答案】（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为
【分析】
（1）先求出双曲线的渐近线方程，从而由题意可得，所以双曲线的方程可化为，再把坐标代入方程中求出的值，从而可得双曲线的方程；
（2）由双曲线方程可得，，，从而可得实轴长，离心率，焦点，再利用点到直线的距离公式可求出焦点到渐近线的距离
【详解】
（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）解；由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
，
即焦点到渐近线的距离为.
【点睛】
此题考查双曲线简单的几何性质的应用，考查计算能力，属于基础题
5．（1）已知椭圆的焦距为，准线方程为，求椭圆的方程；
（2）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求双曲线的方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由已知可得，，列出方程求解即可得出结果；
（2）由已知可得，，计算即可得出结果.
【详解】
（1）焦距为，则，准线方程为，则，即，
由，可得：，所以椭圆的方程为；
（2）由双曲线的一条渐近线方程为可知，，
且与椭圆有公共焦点，则，
又因为，即，解得：，，，
所以双曲线的方程为.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题.
6．已知椭圆，一组平行直线的斜率是.
（1）这组直线何时与椭圆有公共点？
（2）当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程.
【答案】（1）截距在范围内；（2）.
【分析】
（1）由已知设直线方程结合椭圆方程，根据有公共点即所得方程的判别式即可知直线截距在上有交点；（2）结合（1）由中点坐标可得，而其中必有原点即可求直线方程；
【详解】
（1）设平行直线的方程为，若直线与椭圆有公共点，则：
将代入，整理得：，
∴解得：；
（2）令交点坐标分别为，由（1）知：，而，
所以线段中点坐标为，其中必有一个中点为坐标原点，故直线的斜率为，
∴所在的直线方程：；
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，计算确定何时它们会有公共点，以及求交点弦的中点所构成直线的方程.
7．过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA．
(1)求弦OA中点M的轨迹方程；
(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.
【答案】(1)x2+y2-4x="0;" (2)x2+y2-16x=0
【解析】
试题分析：（1）设M点坐标为（x，y），那么A点坐标是（2x，2y），
A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，所以， （2x）2+（2y）2-16x=0，
化简得M 点轨迹方程为x2+y2-4x=0．
（2）设N点坐标为（x，y），那么A点坐标是（），
A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，
得到：（）2+（）2-4x=0，
N点轨迹方程为：x2+y2-16x=0．
考点：轨迹方程
点评：中档题，本题利用“相关点法”（“代入法”），较方便的使问题得解．
8．(本题满分14分)
已知椭圆的右焦点为F,右准线为l，且直线与相交于A点.
（Ⅰ）若⊙C经过O、F、A三点,求⊙C的方程；
（Ⅱ）当变化时, 求证：⊙C经过除原点O外的另一个定点B；
（Ⅲ）若时,求椭圆离心率e的范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【详解】
【分析】（1）经过三点的圆，设一般方程，代入三点求解。
（2）设B,化圆为关于实数的关系式，对于任意实数恒成立。
（3）根据，得到的范围。然后写出离心率解出范围。
【详解】
解:（Ⅰ）,即,
,准线, ……………………………(2分)
设⊙C的方程为,将O、F、A三点坐标代入得：
,解得 ……………………(4分)
∴⊙C的方程为 ……………………………(5分)
（Ⅱ）设点B坐标为,则,整理得：
对任意实数都成立 ……………………(7分)
∴,解得或,
故当变化时，⊙C经过除原点O外的另外一个定点B……………(9分)
（Ⅲ）由B、、得,
∴,解得 ………………………(10分)
又 ,∴
又椭圆的离心率（）…………（12分）
∴椭圆的离心率的范围是 ………………………………（14分）
【点睛】考察了过三点圆的计算，椭圆的离心率问题。
9．已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切
（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|
【答案】（1）（2）16
【分析】
（1）设，根据题目条件列方程可求得结果；
（2）联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可得结果.
【详解】
（1）设，则依题意可得，
化简得，
所以动圆圆心P的轨迹M的方程为
（2）直线的方程为，即，
联立，消去并整理得，
设，，
则，，
由弦长公式可得.
所以
【点睛】
本题考查了求动点的轨迹方程，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理和弦长公式，属于基础题.
10．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
【答案】（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为
【分析】
（1）由共渐近线双曲线方程的求法求解即可；
（2）由双曲线方程及点到直线的距离求解即可.
【详解】
解：（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）解；由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
，
即焦点到渐近线的距离为.
【点睛】
本题考查了共渐近线双曲线方程的求法，重点考查了点到直线的距离，属基础题.
11．如图，若是双曲线的两个焦点.

（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；
（2）若是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
【答案】（1）或（2）
【分析】
（1）设点到另一个焦点的距离为，由双曲线定义即可求得的值.
（2）由双曲线定义及，可证明，即为直角三角形，即可求得的面积.
【详解】
（1）是双曲线的两个焦点，
则
设点到另一个焦点的距离为，
由抛物线定义可知，
解得或，
即点到另一个焦点的距离为或.
（2）是双曲线左支上的点，
，
则，
代入，
可得，
即，
所以为直角三角形，
所以.
【点睛】
本题考查了双曲线定义及性质的的简单应用，交点三角形面积求法，属于基础题.
12．已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点.
求：（1）m的值及双曲线的离心率；
（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.
【答案】（1），；（2）准线方程为，渐近线方程为
【分析】
（1）先求出抛物线的焦点坐标，而后根据题意求出m的值，再根据双曲线的离心率公式求出双曲线的离心率；
（2）根据抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程直接求解即可.
【详解】
（1）抛物线的焦点为，
由双曲线，可得，解得，
双曲线的，，则；
（2）抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为.
【点睛】
本题考查了抛物线的准线方程和焦点坐标，考查了双曲线的离心率和渐近线方程，考查了数学运算能力，属于基础题.
13．已知的周长为且点,的坐标分别是, ,动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程;
（2）直线过点,交曲线于,两点,且为的中点,求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）依题意知,.结合,得出点到两个定点的距离之和等于定值,则点的轨迹是椭圆,设椭圆方程方,再结合椭圆的性质得,,,所以的椭圆的方程是.
（2）设,,根据两点在椭圆上,联立方程组,,两式相减整理可得,,可得斜率,由点斜式可得直线的方程.
【详解】
解:（1）∵的周长为,点,,
∴,.
∵,∴点到两个定点的距离之和等于定值,
∴点的轨迹是椭圆,设它的方程为.
∴,,,
∴椭圆的方程是.
（2）设,,
两点在椭圆上,所以,
两式相减可得,
∵,,代入可得,
∴直线的方程是,即.
【点睛】
本题考查了利用椭圆的定义求椭圆的方程,以及直线与椭圆的位置关系,考查化简运算能力以及转化能力.
14．如图, 直线与抛物线交于两点, 线段的垂直平分线与直线交于点.

（1）求点的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段下方（含）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
【答案】(1) ；(2) 最大值30
【分析】
（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=-5代入求得Q的坐标．
（2）设出P的坐标，利用P到直线OQ的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得OQ的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．
【详解】
解：(1) 解方程组得或
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).
由,
直线的垂直平分线方程
令, 得, ∴
(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设
∵点P到直线OQ的距离d==,,
∴=.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x