专题12概率（理）知识点与大题16道专练（培优题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

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专题12概率（理）知识点与大题16道专练（培优题）（解析版）
知识点一：常见的概率类型与概率计算公式；
类型一：古典概型；
1、 古典概型的基本特点：
（1） 基本事件数有限多个；
（2） 每个基本事件之间互斥且等可能；
2、 概率计算公式：
A事件发生的概率;
类型二：几何概型；
1、 几何概型的基本特点：
（1） 基本事件数有无限多个；
（2） 每个基本事件之间互斥且等可能；
2、 概率计算公式：
A事件发生的概率；
注意：
（1） 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比；
（2） 如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪一个是等可能的；
例如：等腰中，角C=，则：
（1） 若点M是线段AB上一点，求使得的概率；
（2） 若射线CA绕着点C向射线CB旋转，且射线CA与线段AB始终相交且交点是M，求使得的概率；
解析：第一问中明确M为AB上动点，即点M是在AB上均匀分布，所以这一问应该是长度之比，所求概率：;
而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率：；
知识点二：常见的概率计算性质；
类型一：事件间的关系与运算；
A+B（和事件）：表示A、B两个事件至少有一个发生；
（积事件）：表示A、B两个事件同时发生；
（对立事件）：表示事件A的对立事件；
类型二：复杂事件的概率计算公式；
1、 和事件的概率：

（1）特别的，若A与B为互斥事件，则：

（2）对立事件的概率公式：

2、 积事件的概率：
（1）若事件相互独立，则：

（2）n次独立重复的贝努利实验中，某事件A在每一次实验中发生的概率都为p，则在n次试验中事件A发生k次的概率：

类型三：条件概率；
1、 条件概率的定义：我们把在事件A发生的条件下事件B发生的概率记为：；
且
2、 三个常见公式：
（1） 乘法公式：
（2） 全概率公式：设是一组互斥的事件且，则对于任何一个事件B都有：
（3） 贝叶斯公式：设是一组互斥的事件且
则对于任何一个事件B都有：
知识点三：求解一般概率问题的步骤；
第一步：确定事件的性质：等可能事件、互斥事件、相互独立事件、n次独立重复实验等；
第二步：确定事件的运算：和事件、积事件、条件概率等；
第三步：运用相应公式，算出结果；


知识点三：常见的统计学数字特征量及其计算；
特征量一：平均数（数学期望）
计算公式一：；
计算公式二：；
计算公式三：（若随机变量是连续型随机变量，且函数是它的密度函数）


特征量二：中位数
将所有的数从大到小排或者从小到大排，若共有奇数个数，则正中间的那个数叫做这一列数的中位数；若共有偶数个数，那么正中间那两个数的平均数叫做这一列数的中位数。

特征量三：众数
将所有数中出现次数最多且次数超过1次的数叫做这一列数的众数。一列数的众数可以有多个，也可以没有。

特征量四：方差
方差反映一组数或者一个统计变量的稳定程度，方差越小数值越稳定，方差越大则数值波动越大。
计算公式一：；
计算公式二：；
计算公式三：；
注：期望和方差的性质:
性质1：；
性质2：；
性质6：；
性质7：；
；
性质9：若是相互独立的随机变量，则：
；
知识点四：简单的统计学知识；

问题一：统计学中的简单的抽样方法；
方法一：简单随机抽样；
1、 基本原理：根据研究目的选定总体，首先对总体中所有的观察单位编号，遵循随机原则，采用不放回抽取方法，从总体中随机抽取一定数量观察单位组成样本。
2、 具体做法：①随机数字法 ； ② 抽签法；
3、 优缺点分析：
优点：基本原理比较简单；
当总体容量不大时比较方便；
抽样误差的计算较方便；
缺点：对所有观察单位编号，当数量大时，有难度；
方法二：系统抽样；
1、 基本原理：先将总体的观察单位按某顺序号等分成n个部分再从第一部分随机抽第k号观察单位，依次用相等间隔，机械地从每一部分各抽取一个观察单位组成样本；
2、 优缺点分析：
优点：抽样方法简便，特别是容量比较大的时候；
易得到一个按比例分配的样本，抽样误差较小；
缺点：仍需对每个观察单位编号；
当观察单位按顺序有周期趋势或单调性趋势时，产生明显偏性；
方法三：分层抽样；
1、 基本原理：先将总体按某种特征分成若干层，再从每一层内随机抽取一定数量的观察单位，合起来组成样本。
2、 具体做法：
第一步：计算每一层个体数与总体容量的比值；
第二步：用样本容量分别乘以每一层的比值，得出每层应抽取的个体数；
第三步：用简单随机抽样的方法产生样本；
3、 优缺点分析：
优点：在一定程度上控制了抽样误差，尤其是最优分配法；
缺点：总体必须要能分成差别比较大的几层时才能用，局限性比较大；
总结：以上三种抽样方法的共同特征是每个个体被抽中的可能性相同；

知识点五：常用的几个统计学图表；

图表一：频率分布直方图与频率分布折线图；
1、 说明几个基本概念：
（1） 频数：符合某一条件的个体个数；
（2） 频率：频率=；（在必要情况下，可以近视的看作概率；所有组的频率之和是1；）
2、 认识频率分布直方图：

（1） 横标是分组的情况；
（2） 纵标不是频率，而是频率/组距；小方框的面积才是频率；所有的面积和为1；
3、 画频率分布直方图：
第一步：求极差；
第二步：分组，确定组距；
第三步：列频率分布表；
第四步：作图；
4、 画频率分布折线图：
将频率分布直方图中每个方框的顶边的中点用直线连起来形成的折线图；
5、 利用频率分布直方图估计样本的统计学数字特征量：
（1） 中位数：取图中方框面积和达到时的横坐标；
（2） 众数：取最高的那个方框的中点横坐标；
（3） 平均数：；其中表示第k组的中点横坐标，表示第k组的频率；
（4） 方差：；
图表二：茎叶图；
定义：若数据为整数，一般用中间的数表示个位数以上的部分，两边的数表示个位数字；若数据是小数，一般用中间的数表示整数部分，两边的数表示小数部分形成的图表；



知识点六：变量间的相互关系与统计案例；
1、相关关系的分类：
从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关。
2、线性相关：
从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。
3．最小二乘法求回归方程：
(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法．
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：
(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为＝x＋，




其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．
4．样本相关系数：
r＝ ，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；
(2)当r＜0时，表明两个变量负相关；
(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．
6．独立性检验：
(1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等．
(2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．
(3)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验判断表来判断“x与y的关系”．这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
附表：

P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
注意：
（1）越大相关性越强，反之越弱；
（2）附表中P(K2≥k)是两个统计学变量无关的概率；
知识点七：常见的概率分布及期望、方差；
类型一：离散型随机变量的概率分布；
1、 两点分布（贝努利分布或0、1分布）：
（1） 特点：随机变量x只能取两个值0、1；分布列如下：

0
1




（2） 期望：；
方差：；
2、 二项分布：
（1） 特点：在n次独立重复的贝努利实验中，每次实验中A事件发生的概率都是p；每次试验只有两个结果A或；随机变量表示n次试验中A事件发生的次数；
即：；则称随机变量服从二项分布；记为：
；
（2） 期望：；（有两种不同的证明方法，这里就省略了。）
方差：；
3、 几何分布：
（1） 特点：在独立重复的贝努利实验中，每次实验中A事件发生的概率都是p，不发生的概率为（）；随机变量表示A事件首次出现时试验的次数；则称随机变量服从几何分布，记为：；
（2） 期望：；（，期望公式可以利用等比数列求和和极限的思想证明。）
方差：；
4、 超几何分布：
（1） 特点：一般的共有N个个体，A类个体有M个，从中任取n个，随机变量表示取到的A类个体的个数，则称服从超几何分布，记为：；
；
（2） 期望：；
方差：；
类型二：连续型随机变量的概率分布；（高中阶段我们只研究正态分布）
正态分布：
1、 密度函数的概念：在频率分布折线图中，当样本容量取得足够大，组距取得足够小的时候频率分布折线图会变成一条光滑的曲线，我们就把这样的曲线叫做连续性随机变量的密度曲线；把他的解析式叫做密度函数；

显然，如果连续型随机变量的密度函数是，则：
；；
；；
2、正态分布的定义：如果连续型随机变量的密度函数是：；则称随机变量服从正态分布，记为：；
3、正态分布曲线的特点：
（1）整条曲线都在轴的上方，即对恒成立；
（2）是他的对称轴，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；在时取得最大值；
（3）正态分布曲线的两个主要参数的几何学意义：
参数决定对称轴的位置，也决定整条曲线的位置，所以也称为位置参数；参数 决定数据的离散程度，也就决定了曲线的高矮胖瘦；具体规律是：越大，数据越离散，曲线越矮越胖；越小，数据越集中，曲线越高越瘦；于是我们习惯于把参数称为形状参数；
4、 正态分布的期望与方差：若
期望：； 方差：；
5、 正态分布的原则：
（1）；
（2）；
（3）；
6、标准正态分布：若，则称随机变量服从标准正态分布；
7、正态分布与标准正态分布之间的转化关系：
若，则；


1．某县为了在全县营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，县政府在全县随机抽取了100名市民进行调查，其中男士比女士少20人，表示政策无效的25人中有10人是女士.
（1）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“政策是否有效与性别有关”；

政策有效
政策无效
总计
女士

10

男士



合计

25
100
（2）从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取5名市民，再从这5名市民中任意抽取2名，对政策的有效性进行调研分析，求抽取的2人中有男士的概率.
参考公式：（）

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.842
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）.
【分析】
(1)分析题意完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论;
(2)列举出基本事件,利用等可能事件的概率公式求概率.
【详解】
（1）由题意设男士人数为，则女士人数为，
又，解.即男士有40人，女士有60人.
由此填写列联表如下：

政策有效
政策无效
总计
女士
50
10
60
男士
25
15
40
合计
75
25
100
由表中数据，计算，
所以没有的把握认为对“政策是否有效与性别有关”.
（2）从被调查的该餐饮机构的市民中，利用分层抽样抽取5名市民，其中女士抽取人，分别用，，表示，男士抽取2人，分别用，表示.
从5人中随机抽取2人的所有可能结果为（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），共10种.其中抽取的2人中有男士的所有可能结果为（，），（，），（，）（，），（，），（，），（，），共7种.
所以，抽取的两人中有男士的概率为.
【点睛】
(1)独立性检验的题目直接根据题意完成完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论,一般较易;
(2)等可能性事件的概率一般用列举法列举出基本事件,直接套公式求概率.
2．黄石新华书店为了了解销售单价（单位：元）在内的图书销售情况，从年已经销售的图书中随机抽取本，用分层抽样的方法获得的所有样本数据按照、、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图，已知样本中销售单价在内的图书数是销售单价在内的图书数的倍.

（1）求出与；
（2）根据频率分布直方图佔计这本图书销售单价的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据频率分布直方图从销售单价价格低于元的书中任取本，求这本书价格至少有本低于元的概率.
【答案】（1），；（2）平均数为（元），中位数为；（3）.
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，可解出这两个未知数的值；
（2）在频率分布直方图中，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得出样本的平均数，利用中位数左边矩形的面积和为可求得样本的中位数；
（3）利用组合数公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
（1）样本中图书的销售单价在内的图书数是，
样本中图书的销售单价在内的图书数是，
依据题意，有，即，①
根据频率分布直方图可知，②
由①②得，；
（2）根据频率分布直方图估计这本图书销售单价的平均数为
（元），
，故可判断中位数在之间，
设中位数为，则，
解得，故中位数为；
（3）销售单价价格低于元的书共有本，
其中销售单价价格低于元的书共有本，
从销售单价价格低于元的书中任取本，这本书价格都不低于元共有种，
因此，所求事件的概率为.
【点睛】
方法点睛：求古典概型概率的方法的如下：
（1）列举法；
（2）数状图法；
（3）列表法；
（4）排列组合数的应用.
3．某企业投资两个新型项目，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的散点图如图所示.

（1）求关于的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，若，两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】（1）；（2）项目的收益更好.
【分析】
（1）先利用平均数公式求出样本中心点的坐标， 再利用所给公式求出的值，最后将样本中心点的坐标代入回归方程求得的值即可；
（2）分别利用所给关系式以及所求回归方程，求出，两个项目投资60万元，该企业所得纯利润的估计值，便可预测哪个项目的收益更好.
【详解】
（1）由散点图可知，取时，的值分别为，
所以，，
，
则，
故关于的线性回归方程为.
（2）因为投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，
所以若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元；
因为关于的线性回归方程为，
所以若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元.
因为，所以可预测项目的收益更好.
【点睛】
方法点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
4．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
（1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？
（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
【答案】（1）黑球､黄球､绿球的概率分别是，，；（2）.
【分析】
（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件，，，由已知列出的方程组可得答案；
（2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案.
【详解】
（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件，，，
由于，，为互斥事件，
根据已知，得，
解得，
所以，任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率分别是，，.
（2）由（1）知黑球､黄球､绿球个数分别为3，2，4，
从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，
其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，
于是，两个球同色的概率为，
则两个球颜色不相同的概率是.
【点睛】
本题考查互斥事件和对立事件的概率，一般地，如果事件A1、A2、…、An彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An发生(即A1、A2、…、An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
5．某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A、B两地游玩，因目的地A地近，B地远，特制定方案如下：
目的地A地出行方式
绿色出行
非绿色出行
概率


得分



目的地B地出行方式
绿色出行
非绿色出行
概率


得分



若甲同学去A地玩，乙、丙同学去B地玩，选择出行方式相互独立．
（1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；
（2）求三名同学总得分的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
【分析】
（1）分析恰有一个同学选择“绿色出行”方式的情况，利用相互独立事件的概率计算公式求解；（2）根据题意得，的所有可能取值为，，，，分别计算概率，列出分布列，代入公式求解.
【详解】
（1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率
．
（2）根据题意，的所有可能取值为，，，，根据事件的独立性和互斥性得：
；
；
；
．
故的分布列为：










所以．
【点睛】
本题考查了随机变量分布列问题，一般列分布列时先判断变量的可能取值，遇到比较复杂的情况可以采用列表格的方式能更直观的判断出可能取值有哪些，然后计算不同取值下的概率，需要分析清楚不同取值对应的所有情况，注意是二项分布还是超几何分布问题.
6．疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了名学生的成绩，并计算得知这个学生的平均成绩为，其中个低分成绩分别是、、、、；而产生的个高分成绩分别是、、、、、、、、、．
（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布（和分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据：）规定：若，，则称变量“近似满足正态分布的概率分布”．
（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于分的同学只有一次抽奖机会，不低于分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得元奖金的概率是，获得元的概率是．现在从这个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5.
【分析】
（1）计算出和，结合已知条件判断可得出结论；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得随机变量的数学期望值.
【详解】
（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：
，，，
，，
得分小于分的学生有个，得分大于分的有个，
，
学生的得分都在间，．
学生得分近似满足正态分布的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；
（2）设这名同学获得的奖金为，则的可能值为、、、，
，，
，，
故的分布列为：










．
【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
7．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【详解】
解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，
.
由题意可得
即解得或
由于，所以，.
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，
，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.
由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．
8．一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
（1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差；
（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
【答案】（1）分布列见解析，，；（2）分布列见解析；（3）.
【分析】
（1）由题意这名学生在途中遇到红灯的次数服从二项分布，进而求得分布列，期望及方差；
（2）（），表示前个是绿灯，第个是红灯，表示5个均为绿灯，则，，由此可求这名学生在首次停车前经过的路口数的分布列；
（3）利用对立事件概率计算公式可求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
【详解】
（1）由题意可知，可取、、、、、，服从二项分布，
则，，
，，
，，
∴的分布列为：














∴，；
（2）由题意可知，可取、、、、，5
则，，，
，，，
∴的分布列为：














（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件，
所求概率.
9．市教育局计划举办某知识竞赛，先在，，，四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛，每个赛区预赛中，成功晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.赛区预赛的具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为.
（1）若，该选手选择方式二答题，求他晋级的概率；
（2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）可求出选手每轮得分取0，20，30时候的概率，预赛得分大于等于100分，有三种情况，得分120分，110分，100分，分别算出这三种情况的概率，按照概率的加法公式计算晋级的概率即可.
（2）分别计算两种方式下每轮得分的分布列.求出的数学期望，由此求出每种方式预赛得分的数学期望，作出判断.
【详解】
解：（1）该选手选择方式二答题，记每轮得分为，则可取值为0，20，30，
且，，
记预赛得分为，


∴该选手所以选择方式二答题晋级的概率为.
（2）该选手选择方式一答题：
设每轮得分为，则可取值为0，20，
且，
∴，
设预赛得分为，则，
.
该选手选择方式二答题：
设每轮得分为，则可取值为0，20，30，且
，
，
，
∴.
设预赛得分为，则
，
因为，所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等.
【点睛】
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
10．某士特产超市为预估2021年元旦期间游客购买土特产的情况，对2020年元且期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表．
购买金额（元）






人数
10
15
20
15
20
10
（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．

不小于60元
小于60元
合计
男

40

女
18


合计


90
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望．
参考公式及数据：
，
附表：

0.150
0.100
0.050
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
6.635
7.879

【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；（2）分布列见解析，.
【分析】
(1)分析题意完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论;
(2)分析出随机变量，易求出的分布列与期望..
【详解】
（1）列联表如下：

不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
，
因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．
（2）X可能取值为65，70，75，80，且．
由题意知：
，，
，，
所以X的分布列为
X
65
70
75
80





.
【点睛】
(1)独立性检验的题目直接根据题意完成完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论，一般较易；
(2)求离散型随机变量的分布列时，要特别注意. 随机变量是否服从二项分布、超几何分布等特殊的分布.
走进高考
11．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】
（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲赢的概率为.
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为.
【点睛】
本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.
12．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r=，≈1.414.
【答案】（1）；（2）；（3）详见解析
【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式计算即可；
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
【详解】
（1）样区野生动物平均数为，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本(i=1，2，…，20)的相关系数为

（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，
由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
【点晴】
本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
13．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）