专题6数列知识点与大题20道专练（培优题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

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专题6数列知识点与大题20道专练（培优题）（解析版）
数列
一、基本概念
1、数列：按照一定次序排列的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．
无穷数列：项数无限的数列．
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
常数列：各项相等的数列．
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．
5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

等差数列与等比数列性质的比较


等差数列性质
等比数列性质
1、定义
；
,
2、通项
公式



3、前n项和


4、中项
a、A、b成等差数列A=；
是其前k项与后k项的等差中项，即：=
a、A、b成等比数列
（不等价于，只能）;
是其前k项与后k项的 等比中项，即：
5、下标和公式
若m+n=p+q,则
特别地,若m+n=2p,则
若m+n=p+q,则特别地,若m+n=2p,则
6、首尾项性质
等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和, 即：
等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积, 即：
7、结论
{}为等差数列,若m,n,p成等差数列,则成等差数列
{}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则成等比数列
（两个等差数列的和仍是等差数列）
等差数列{},{}的公差分别为,则数列{}仍为等差数列，公差为
（两个等比数列的积仍是等比数列）
等比数列{},{}的公比分别为,则数列{}仍为等比数列，公差为
取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为
取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为
若则
无此性质；
若则

无此性质；
若
无此性质；
成等差数列，
公差为
成等差数列，公比为
当项数为偶数时，

当项数为奇数时，
，
当项数为偶数时，
当项数为奇数时，


8、等差(等比)数列的判断方法
①定义法：
②等差中项概念；
③函数法：关于n的一次函数数列是首项为p+q，公差为p的等差数列；
④数列的前n项和形如 (a，b为常数)，那么数列是等差数列，
①定义法：
②等差中项概念；
③函数法：(均为不为0的常数，)，则数列是等比数列．
④数列的前n项和形如
(均为不等于0的常数且q≠1)，则数列是公比不为1的等比数列．
9、共性
非零常数列既是等差数列又是等比数列

1．已知数列的首项，若向量，，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列，若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由向量垂直可得数量积等于，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，所以，利用乘公比错位相减即可求和.
【详解】
（1）由，则，，
所以，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
（2）由，
则，
由①
由①，可得②
由①－②可得，
，
则，，
所以数列的前项和.
【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法；
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.
2．已知是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数且若.恒成立，求：
（1）数列的通项公式；
（2）数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先令，根据所给方程，得到，构造函数，确定，再讨论为奇数和为偶数两种情况，结合题中条件，即可求出数列的通项；
（2）根据（1）的结果，讨论为奇数和为偶数两种情况，利用分组求和的方法，结合等差数列的求和公式，即可求出结果.
【详解】
（1）因为是关于的方程的实数根，令，则，
所以，
记，显然单调递增，且，，
所以，
当时，，则；
当时，，则；
综上，；
（2）由（1）可得，，
当时，；
当时，；
综上，.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于由是关于的方程的实数根，求出的范围，利用，通过讨论的奇偶，得出数列通项，即可求解.
3．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求证：.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据等差和等比数列的通项公式，列等式解方程，求通项公式；（2）利用等差数列的前项和公式，再将项数换成，求，再求右边，证明等式.
【详解】
（1）解：由已知，得，
，，，
即，解得：或（舍去）
，
（2）证明：
左边

右边
因此，原式得证.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是计算，掌握等差等比数列的计算公式，以及第二问的指数化简证明.
4．在数列中，，成等比数列，公比为.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若成等差数列，公差为，设.
①求证：为等差数列；
②若，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①证明见解析；②.
【分析】
（Ⅰ）根据题中条件，得到，求出的通项，利用等比数列的求和公式，即可求出结果；
（Ⅱ）①先由条件，得到，推出，得出，即可证明数列是等差数列；
②根据，由①的结论，根据等差数列的通项公式，求出，推出，得到，根据，求出的通项，判断其是等差数列，由等差数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）由已知，，所以，
又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
（Ⅱ）①对任意的，，，成等差数列，
所以，即，即，
所以，即，
所以成等差数列，其公差为1.
②若，则，，，
所以，又，所以，
从而，即.
所以，可得，
则，
所以，即为等差数列，
所以.
【点睛】
思路点睛：
求解等差数列与等比数列的综合问题时，一般需要根据等差数列与等比数列的通项公式，以及求和公式，进行求解.（有时需要根据递推公式，先证明数列是等差数列或等比数列，再进一步求解）
5．已知数列的前项和为，且和的等差中项为1．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）利用等差中项的定义得出与的关系，然后由得出数列的递推关系，求出其为等比数列，从而得通项公式；
（Ⅱ）用裂项相消法求和．
【详解】
解：（Ⅰ）因为和的等差中项为1，
所以，即，
当时，．
两式相减得，整理得．
在中，令得，
所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
因此．
（Ⅱ）．
则．
所以．
【点睛】
方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
6．已知等差数列的前项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知求得和公差，可得通项公式；
（2）用裂项相消法求和．
【详解】
（1）因为数列为等差数列，设其公差为，结合，，

解得：
所以
（2）

所以．
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
7．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等差数列的首项为1，公差为1，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由等差数列的前项和公式，等比数列的性质列出关于和的方程组，解方程组后可得通项公式；
（2）由等差数列通项公式求得后得，然后由错位相减法求得和．
【详解】
（1）设公差为，则.
（2）由题意，

，（1）
，（2）
（1）－（2）得：，
.
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
8．已知数列的前项和是.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设的前项和是，求使得的最小正整数．
【答案】（1）；（2）1011.
【分析】
（1）利用可得答案；
（2）求出利用裂项相消可得答案.
【详解】
（1），
当时，，
符合上式，
所以．
（2），
∴，
令，解得，
所以最小正整数为1011.
【点睛】
数列求和的方法技巧：
（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
9．在公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前n项和．
【答案】（1） 或；（2）， ．
【分析】
（1）由成等比数列求得公差后可得通项公式；
（2）对用错位相减法求和．
【详解】
解：（1）∵成等比数列，∴，整理得，
解得或，
当时，；
当时，．
所以或．
（2）设数列前n项和为，
∵，∴，

当时，，
当时，
令，则
两式相减可得
整理可得，
则
且满足上式，
综上所述：，．
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式，分组（并项）求和法，错位相减法．
数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．
10．已知等差数列中，为数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知列方程求出首项和公差，可得答案；
（2）求出及的通项公式，由裂项相消求和可得答案.
【详解】
（1）∵①，②
由①②得，．
∴；
（2）由（1）知，，
；
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、数列求和，解题关键点是求出数列的首项和公差以及裂项相消求和，考查了学生的基础知识、基本运算.
11．在如图三角形数阵中第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中).已知.

（1）求m及；
（2）记，求.
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据题意以m表示出，由即可求出，进而求出；
（2）根据等差数列和等比数列的通项公式求出，再利用错位相减法即可求出.
【详解】
（1）由已知得，
，
，
，
，即，
又，，
，
；
（2）由（1）得，
当时，，
又，，
满足，
，
，
两式相减得
，
.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
12．已知数列满足，，，.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据已知，表示出，然后代入计算可得，所以证明出数列是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）表示出
，然后利用裂项相消法计算前项和，再判断出数列的单调性，即可证明.
【详解】
（1）当时，因为，，
所以，
所以数列为首项为，公差为的等差数列.
又，，所以，解得.
（2）因为，所以.
所以
，
即，显然，另一方面，
，
故数列是递增数列，所以，因此，.
【点睛】
常见的数列求和的方法技巧：
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
（4）裂项相消：用于通项为分式形式的数列的求和.
走进高考
13．（2020年全国卷（文科）新课标Ⅲ）
设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；
（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以，
【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.
14（2017新课标I卷文科）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
【解析】解：（1）设等比数列{an}首项为a1，公比为q，
则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则a1==，a2==，
由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，
则a1=﹣2，an=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，
∴{an}的通项公式an=（﹣2）n；
（2）由（1）可知：Sn===﹣[2+（﹣2）n+1]，
则Sn+1=﹣[2+（﹣2）n+2]，Sn+2=﹣[2+（﹣2）n+3]，
由Sn+1+Sn+2=﹣[2+（﹣2）n+2]﹣[2+（﹣2）n+3]，
=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，
=﹣[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]=2Sn，
即Sn+1+Sn+2=2Sn，∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．
15，（2016新课标I卷文科）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn.
(Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)求{bn}的前n项和.
【解析】(Ⅰ)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得a1=2 …2分
通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 …6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=bn，所以{bn}是公比为的等比数列.…9分
所以{bn}的前n项和Sn=

17，（2011新课标I卷文科）已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．

【解析】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q=
∴an=×=，
Sn=又∵==Sn∴Sn=
（II）∵an=
∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）
=﹣（1+2+…+n）=﹣
∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣
17（2020年全国卷（理科）新课标Ⅰ）
设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】
（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
18．（2020年全国试卷（理科）新课标Ⅲ）
设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】
（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
【点睛】
本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.
19，(2014新课标Ⅰ卷T17理科)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
【解析】（Ⅰ）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，
∴an+1（an+2﹣an）=λan+1
∵an+1≠0，
∴an+2﹣an=λ．
（Ⅱ）解：①当λ=0时，anan+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．
则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，
∴an=an+1=1，
∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．
②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．
则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴．
∴，，
∴λSn=1+=，
根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．
此时可得，an=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{an}为等差数列
20（2015新课标I卷理科）为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
22试题解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，==，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为= =.