专题5数列知识点与大题20道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题5数列知识点与大题20道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共19页。学案主要包含了基本概念等内容，欢迎下载使用。
一、基本概念
1、数列：按照一定次序排列的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．
无穷数列：项数无限的数列．
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
常数列：各项相等的数列．
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．
5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．
等差数列与等比数列性质的比较
1．已知等比数列中，，．
（1）求数列的通项公式;
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）等比数列问题解决的基本方法：基本量代换，用通项公式代入列方程组解得；
（2）由，判断为等差数列，套公式求和.
【详解】
（1）设等比数列的首项为，公比为，由题意得：
解得
所以
（2）
所以数列为等差数列，
所以．
【点睛】
(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；
(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．
2．设数列是各项为正数的等比数列，是和的等差中项.
（1）求数列的公比；
（2）若，令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由可知化简计算即可求得结果；
（2）求得通项公式，利用错位相减法即可求得的前项和.
【详解】
解：（1）设数列的公比为，由题得：，即，
，∴或(舍)
（2），
，
，
∴
3．已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据递推关系式，由累乘法即可求解.
（2）利用裂项相消法即可求解.
【详解】
（1）由，得，
∴，
∵，∴．
（2）由（1）得，
∴，
当时，∵，∴，即证.
【点睛】
结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型，其中是公差为的等差数列；
（2）无理型；
（3）指数型；
（4）对数型.
4．已知数列是递增的等差数列，数列的前项和
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列的各项均为正数，且，求数列的前项和
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设的公差为，利用裂项求出可得，从而可得，再利用等差数列的通项公式即可求解.
（2）利用等比数列的通项公式可得，再利用错位相减法即可求解.
【详解】
（1）设的公差为，
则，
即，
所以，
解得，
所以.
（2）设的公比为，
由（1）知
解得
所以
因此
所以，
所以
5．已知数列中，，，其前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将已知变形成，可知，可判断为等差数列，由等差数列求通项公式即可.
（2）求出通项公式，利用裂项相消法求，再证明即可.
【详解】
解：（1）由题意知，，
从而，即，
又，
∴数列是以1为首项，公差为2的等差数列，
故；
（2）
∴.
【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
6．已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由题意可得，求出和，从而可求出数列的通项公式；
（2）由题意可得，然后利用错位相减法可求得数列的前项和
【详解】
解：设的公比为，．
（1）由整理得，解得或（舍去）．
∴，∴，．
（2），∴．
∴，，
∴
．
∴．
7．已知数列的前n项和．
（1）证明：是等比数列．
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据，利用数列通项和前n项和的关系求得，再利用等比数列的定义证明.
（2）根据，得到，再利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】
（1）当时．，，
又，
所以的通项公式为．
因为，所以是首项为9，公比为3的等比数列．
（2）因为，
所以，
所以数列的前n项和：
.
8．已知数列中，，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记所有可能取值的集合为，其元素和为．
（1）证明为单元素集，并用列举法写出，；
（2）由（1）的结果，设，归纳出，（只要求写出结果），并求，指出与的倍数关系．
【答案】（1）证明见解析，，；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系，可得为单元素集，进而可列举出，；
（2）由（1）的结果，归纳得，，并利用等比数列求和公式计算出，进而得出与的倍数关系．
【详解】
（1）证明：∵，
数列中任意相邻两项具有2倍关系，∴或．
∵，而，∴．
∴为单元素集．
由此，得，，
则，．
（2）由（1）的结果，归纳得，
．
，
因为中的每一个元素的两倍构成的集合等于，
所以．
9．已知数列的前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由得，再由得等比，从而得解；
（2）由，利用裂项求和即可得解.
【详解】
（1）当时，，解得，
当时，，
因为，所以，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
（2），
10．已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，是数列前项的和，求证：.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；
【分析】
（1）根据递推公式，得到，再由等比数列的概念，即可证明结论成立；
（2）由（1）求出，根据裂项相消的方法求出，即可证明结论成立.
【详解】
（1）因为，所以，又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；；
（2）由（1）可得，则，
所以，
因此得证.
【点睛】
结论点睛：
裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型，其中是公差为的等差数列；
（2）无理型；
（3）指数型；
（4）对数型.
11．已知等差数列的前项和为，且
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据，利用“”法求解.
（2）令，解得，然后分， 去掉绝对值，利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】
（1）在等差数列中，因为，
所以，
解得 ，
所以 .
（2）令，解得，
当时，，当时，，
所以当时， ，
当时， ，
，
所以.
12．已知等差数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求正整数的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）根据等差数列的通项公式以及求和公式得出数列的通项公式；
（Ⅱ）求出，再由等比数列的性质求出.
【详解】
（Ⅰ），解得
（Ⅱ），
，，成等比数列
，即
解得（舍）
13．已知是等差数列，，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先利用已知条件求出公差，再利用等差数列的通项公式求解即可；（2）先由（1）知，再利用等差和等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】
解：（1）因为，，
所以公差，
则的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以
．
14．已知数列是首项的等比数列，其前项和中成等差数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若是的前n项和，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由题设求得等比数列的公比，再根据求得其通项公式；
（2）先由（1）求得，再利用等差数列的前项和公式求得其前项和即可.
【详解】
解：（1）由题设可得：，
，
公比，又，
；
（2）由（1）可得：，
.
15．已知等差数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式：
（2）若，求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列方程求解即可；
（2）由不等式可求出，利用求和公式即可求解.
【详解】
（1），，
，
解得，
，
（2）由（1）知，
，
解得，
，
.
16．已知前n项和为的数列中，.
（1）若是等比数列，，求的通项公式；
（2）若是等差数列，，求的最大值.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）先设等比数列的公比为，根据等比数列的求和公式，求出公比，进而可求出通项公式；
（2）先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，得出前项和，即可得出最大值.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，
因为，，q≠1所以，即，解得或，
所以或；
（2）设等差数列的公差为，
因为，所以，因此，
所以，
因为是开口向下，对称轴为的二次函数，
又，所以当或时，取得最大值.
17．已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求数列通项公式
（2）设，求数列的前项和
【答案】（1）或；（2）见解析.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解；
（2）由分组求和法结合等差、等比数列的前n项和公式即可得解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，解得或，
所以或；
（2）当时，，
此时；
当时，，
此时.
18．在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式
（2）若，数列是公比为4的等比数列，求数列的通项公式.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）求出首项和公差，可得通项公式；
（2）由等比数列的通项公式求得后可得．
【详解】
（1）∵数列是等差数列，
∴，
∴，.
（2），
∴.
19．等比数列中，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若、分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）根据等比数列的性质可求公比，从而可求其通项公式.
（2）求出等差数列的公差后可求其通项，利用公式可求.
【详解】
（1）因为，，故，所以，
所以.
（2），故，所以，
所以.
所以.
20．已知是各项均为正数的等比数列，，.
（1）求；
（2）在平面直角坐标系中，设点列都在函数的图象上，若所在直线的斜率为，且，求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由题意，设数列的公比为（），由题中条件列出方程求解，得出首项和公比即可；
（2）根据题中条件，得到，利用累加法，以及等比数列的求和公式，即可求出结果.
【详解】
（1）由题意，设正项等比数列的公比为，其中，
因为，所以，则，解得或（舍），
由得，则；
（2）因为点列都在函数的图象上，
所以，
又所在直线的斜率为，所以，即，
则，，…，
以上各式相加得，
又，
则.等差数列性质
等比数列性质
1、定义
；
,
2、通项
公式
3、前n项和
4、中项
a、A、b成等差数列A=；
是其前k项与后k项的等差中项，即：=
a、A、b成等比数列
（不等价于，只能）;
是其前k项与后k项的 等比中项，即：
5、下标和公式
若m+n=p+q,则
特别地,若m+n=2p,则
若m+n=p+q,则特别地,若m+n=2p,则
6、首尾项性质
等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和, 即：
等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积, 即：
7、结论
{}为等差数列,若m,n,p成等差数列,则成等差数列
{}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则成等比数列
（两个等差数列的和仍是等差数列）
等差数列{},{}的公差分别为,则数列{}仍为等差数列，公差为
（两个等比数列的积仍是等比数列）
等比数列{},{}的公比分别为,则数列{}仍为等比数列，公差为
取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为
取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为
若则
无此性质；
若则
无此性质；
若
无此性质；
成等差数列，
公差为
成等差数列，公比为
当项数为偶数时，

当项数为奇数时，
，
当项数为偶数时，
当项数为奇数时，

8、等差(等比)数列的判断方法
①定义法：
②等差中项概念；
③函数法：关于n的一次函数数列是首项为p+q，公差为p的等差数列；
④数列的前n项和形如 (a，b为常数)，那么数列是等差数列，
①定义法：
②等差中项概念；
③函数法：(均为不为0的常数，)，则数列是等比数列．
④数列的前n项和形如
(均为不等于0的常数且q≠1)，则数列是公比不为1的等比数列．
9、共性
非零常数列既是等差数列又是等比数列