专题35 等比数列问题探究（解析版）学案

这是一份专题35 等比数列问题探究（解析版）学案，共15页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题35  等比数列问题探究【热点聚焦与扩展】等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等比数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等差数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列2、等比数列通项公式：，也可以为：3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项（1）若为的等比中项，则有（2）若为等比数列，则，均为的等比中项（3）若为等比数列，则有4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为当时，则为常数列，所以当时，则可变形为：，设，可得：5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列，则有① 数列（为常数）为等比数列② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列③ 数列为等比数列④ 数列为等比数列6、相邻项和的比值与公比相关：设，则有：特别的：若，则成等比数列7、等比数列的判定：（假设不是常数列）（1）定义法（递推公式）：（2）通项公式：（指数类函数）（3）前项和公式：注：若，则是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于，均有8、非常数等比数列的前项和 与前项和的关系，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有 9、等差数列性质与等比数列性质： 等差数列等比数列递推公式通项公式等差（比）中项等间隔抽项仍构成等差数列仍构成等比数列相邻项和成等差数列成等比数列10、等差数列与等比数列的互化：（1）若为等差数列，，则成等比数列证明：设的公差为，则为一个常数所以成等比数列（2）若为正项等比数列，，则成等差数列证明：设的公比为，则为常数所以成等差数列【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数10】设是等比数列，且，则 （   ）A．                B．                C．                D． 【答案】D【思路导引】根据已知条件求得的值，再由可求得结果．【解析】设等比数列的公比为，则，，，故选D．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列及其性质，考查等比数列基本量的计算，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用等比数列的性质．例2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数6】记为等比数列的前项和．若则（   ）A． B． C． D．【答案】B【思路导引】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可．【解析】设等比数列的公比为，由可得：，∴，因此，故选B．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．解题关键是正确消元．例3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数6】数列中，，，若，则 （   ）A．                B．                C．                D． 【答案】C【思路导引】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值．【解析】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得．故选：C．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查函数与方程思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是正确应用有关公式解决问题．例4．（2020·浙江高三三模）已知数列的前项和为，，当且时，，，成等比数列，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】当且时，，，成等比数列，故，又，整理得，所以数列是等差数列，首项为1，公差为1，故，，.故选：D.例5．（2020·北京高三三模）设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】对于任意的，即.∴，，任意的，∴，或.∴“为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的”是“为递增数列”的充要条件.故选：C.例6．（2020·全国高三三模）已知等比数列的各项都为正数，当时，，设，数列的前项和为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵数列是各项都为正数的等比数列，∴当时，，∴，又∵为等比数列，∴，，∴，∴，∴，故选：B.例7．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中高三三模）已知数列的前项和，且满足，则（    ）A．1013 B．1022 C．2036 D．2037【答案】A【解析】由数列的前项和，且满足，当时，，两式相减，可得，即，令，可得，解得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，则 ，所以，所以.故选：A.例8．（2020·广西蒙山中学高三三模）已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，，则数列的通项公式是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】f'（x）=-e-x（cosx+sinx）+e-x（-sinx+cosx）=-2e-xsinx．
由f'（x）=0，得-2e-xsinx=0．
解出x=nπ，n为整数，从而xn=nπ，n=1，2，3， ．
所以数列{f{xn}}是公比q=-e-π的等比数列，且首项f（x1）=q=-e-π．其通项公式为．故选C.【精选精练】1．（2020·福建漳州·高三三模）已知等比数列的前n项和为，若，，则的公比为（    ）A．或 B．或C．-3或2 D．3或-2【答案】A【解析】依题意，两式相除得，即，即，解得或.故选：A2．（2020·江西省南城一中高三三模）已知数列为等比数列，首项为，数列满足，且，则为（    ）A．9 B．27 C．81 D．243【答案】C【解析】因为数列为等比数列，数列满足，，所以，且，所以，即，所以等比数列的公比为，因此.故选：C3．（2020·宁夏原州·固原一中高三三模）已知各项均为正数的等比数列，且成等差数列，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】各项均为正数的等比数列的公比设为q，则q>0，由成等差数列，可得，即，所以，解得或（舍），所以.故选：D.4．（2020·河北高三三模）我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（    ）．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】记第天后剩余木棍的长度为，则是首项为，公比为的等比数列，所以，，是关于的增函数，而，，所以使得不等式成立的正整数的最小值为11．故选：C．5．（2020·全国高三三模）已知为公差不为0的等差数列，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（    ）A．0 B． C．90 D．110【答案】A【解析】因为为等差数列，设公差为，所以，，．因为是与的等比中项，所以，即，所以，于是．故选：A.6．（2020·湖北宜昌·高三三模）设正项等比数列的前n项和为，且，则（    ）A． B．28 C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，又数列是正项数列，所以，所以.故选：A．7．（2020·北京市第二中学朝阳学校高三三模）数列中，则下列结论中正确的是（    ）A．数列的通项公式为 B．数列为等比数列C．数列为等比数列 D．数列为等差数列【答案】C【解析】因为所以，所以数列是以2为公比，为首项的等比数列，所以C正确，D错误；所以，所以，所以A错误，所以不是常数，所以数列不是等比数列，所以B错误，故选：C8．（2020·浙江高三三模）设无穷数列满足，，，若为周期数列，则pq的值为（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】，因为数列是周期数列，所以存在故的值为.故选:C9．（2020·全国高三三模）已知数列的前项和为，且是和的等差中项.用表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由是和的等差中项，得.当时，所以，即，因为，所以，所以是以为首项，以2为公比的等比数列，所以.，所以，，，，，，所以，所以，即.所以.所以.故选：.10．（2020·黑龙江绥化·高三三模）等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则满足的最小的n值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由已知，由，得，解得，又.∴，，∴，，∴化为，∵，∴，n的最小值为5.故选：C．11．（2020·浙江高三三模）数列满足：，，数列前项和为，则以下说法正确个数是（    ）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】在①中，用数学归纳法求证：当时，，成立，假设，则一方面，另一方面由于时，，∴ ，∴ ，故①正确；在②中，由于当时，令，则，由于时，，故，在单调递增，，所以在上单调递增，故，所以，即，则，∴ ，故②正确；在③中，由于，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故③正确；在④中，，，故④正确.故选：.12．（2020·浙江高三三模）已知数集具有性质P：对任意的，或成立，则（    ）A．若，则成等差数列B．若，则成等比数列C．若，则成等差数列D．若，则成等比数列【答案】D【解析】证明：因为具有性质P，所以或中至少有一个属于，
由于，所以，故，
从而，故；
因为，所以，故，
由具有性质可知，
又因为，
所以，当时，有，即，
因为，
所以，故，
由具有性质可知，
由，得，且，
所以，所以：，
即是首项为1，公比为的等比数列.故选：D.