专题34 等差数列问题探究（解析版）学案

专题34  等差数列问题探究

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等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．

1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示

2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：

（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式

（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差

（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数

3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项

（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即

（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项

（3）如果为等差数列，则

注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等.

比如，则不一定成立

② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项.例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”

4、等差数列通项公式与函数的关系：

，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质.例如：，递增；，递减.

5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：

（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可

（2）由通项公式可得：

作用：① 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式

② ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式.从而可将的变化规律图像化.

（3）当时，

    因为  

  而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系

当时

，即偶数项和与中间两项和的联系

6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析

（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：

通过观察可得：为递增数列，且，所以所有的项均为正数，前项和只有最小值，即，同理中的项均为负数，所以前项和只有最大值，即.而虽然是递减数列，但因为，所以直到，从而前4项和最大，同理，的前5项和最小.由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前项和的最值会出现在项的符号分界处.

（2）从的角度：通过配方可得，要注意，则可通过图像判断出的最值

7、由等差数列生成的新等差数列

（1）在等差数列中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列

例如在，以3为间隔抽出的项仍为等差数列.

如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距

（2）已知等差数列，

设，

，则相邻项和成等差数列

（3）已知为等差数列，则有：

① 为等差数列，其中为常数

② 为等差数列，其中为常数

③ 为等差数列      

①②③可归纳为也为等差数列

8、等差数列的判定：设数列，其前项和为

（1）定义（递推公式）：

（2）通项公式：（关于的一次函数或常值函数）

（3）前项和公式：

注：若，则从第二项开始呈现等差关系

（4）对于，，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项

【经典例题】

【2020年高考浙江卷7】已知等差数列的前项和，公差．记，下列等式不可能成立的是 （   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】A．由等差数列的性质可知，成立；

B．，，，

若，则，

即，这与已知矛盾，故B不成立；

C． ，整理为：，故C成立；

D．，当时，即，整理为，即，，方程有解，故D成立．综上可知，等式不可能成立的是B，故选B．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列的性质应用，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是合理等差数列的性质解题．

例2．【2020年高考北京卷8】在等差数列{}中，，，记，则数列{} （   ）

A．有最大项，有最小项              B．有最大项，无最小项             

C．无最大项，有最小项              D．无最大项，无最小项

【答案】A

【解析】设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1≤n≤5使，an＜0，n≥6时，an＞0，所以n=4时，Tn＞0，并且取最大值；n=5时，Tn＜0；n≥6时，Tn＜0，并且当n越来越大时，Tn越来越小，所以Tn无最小项．故选A．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是合理等差数列的性质解题．

例3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数14】记为等差数列的前项和，若，则                   ．

【答案】

【思路导引】∵是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案．

【解析】是等差数列，且．设等差数列的公差，根据等差数列通项公式：，可得，即：，整理可得：，解得：．

根据等差数列前项和公式：，可得：，．故答案为：．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及等差数列的前项和公式，考查数学运算学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及前项和公式．

例4．【2020年高考江苏卷11】设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________．

【答案】

【解析】∵的前项和，

当时，；

当时，，∴，从而有．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及错位相减法求数列的前项和，考查数学运算学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及错位相减法．

例5．【2020年高考上海卷7】已知等差数列的首项，且满足，则          ．

【答案】

【解析】由条件可知，．

故答案为： ．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记等差数列的通项公式．

例6．【2020年高考山东卷14】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为         ．

【答案】

【思路导引】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．

【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及等差数列的前项和公式，考查数列公共项的求法，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及前项和公式．

例7．【2020年高考浙江卷11】已知数列满足，则              ．

【答案】10

【思路导引】根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．

【解析】由题意可知，，，，故答案为：10．

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，考查数学运算学科素养．

例8．.【2019年高考全国III卷理】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.

【答案】4

【解析】设等差数列{an}的公差为d,

因，所以，即，

所以．

【精选精练】

1．（2020·安徽合肥·高三三模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（　　）

A．21 B．1 C．﹣42 D．0

【答案】D

【解析】等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣3，2a4+3a7＝9，

∴2（﹣3+3d）+3（﹣3+6d）＝9，

解得d＝1，

∴S7＝7×（﹣3）+＝0．故选：D．

2．（2020·广东江门·高三三模）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（    ）

A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺

【答案】B

【解析】从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设公差为，前项和为

所以冬至、立春、春分日影长分别为，

由冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,

则,解得

则芒种日影长为 故选：B

3．（2020·海南高三三模）已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为等差数列，的前项和分别为和，且，

所以可设，，

所以，，所以.故选：A

4．（2020·福建厦门双十中学高三三模）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（    ）．

A． B．与是的最大值

C． D．

【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，

，

，，．

，，，与是的最大值．

因此A，B，D正确．

对于C．，可得，因此不正确．故选：C．

5．（2020·河南高三三模）设等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．7 B．14 C．24 D．48

【答案】B

【解析】由题设，

得，.故选：B

6．（2020·重庆八中高三三模）已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为8，10，12，第四行为14，16，18，20，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，比如，，，若，则=（    ）

A．65 B．70 C．71 D．72

【答案】C

【解析】由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数..

又因为指图中摆放的第行第列的数为2020，

所以先求第行的最后一个偶数，

该偶数小于2020且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的，

即，解得，

即应为第44行的最后一偶数是1980，

接着可以断定2020应位于45行，且45行最后一列为1982，故i=45，

又第45行的第45个偶数为1982，

根据等差数列的任意两项之间关系可知，解得，

2020应出现在该行的第26列，故，

所以.

故选：C

7．（2020·江西省信丰中学高三三模）在等差数列｛an｝中，，则此数列前30项和等于（     ）

A．810 B．840 C．870 D．900

【答案】B

【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为 ，选B.

8．（2020·河南郑州·高三三模）已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（    ）

A．4 B．3 C． D．2

【答案】D

【解析】，、、成等比数列，

．

得或（舍去），

，

，

．

令，则

当且仅当，即时，的最小值为2．故选：D．

9．（2020·湖北新洲·高三三模）若是等差数列的前项和，其首项，， ，则使成立的最大自然数是（    ）

A．198 B．199 C．200 D．201

【答案】A

【解析】∵， ∴和异号；

∵，，

有等差数列的性质可知，等差数列的公差，

当时，；当时，；

又 ，，

由等差数列的前项和的性质可知，使前项和成立的最大自然数是.

故选：A．

10．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模）设是等差数列的前项和，若为大于1的正整数，且，，则（    ）.

A．1000 B．1010

C．1020 D．1030

【答案】B

【解析】∵是等差数列，∴，解得或，

若，则，，不合题意，舍去，

∴，，解得．

故选：B．

11．（2020·河南高三三模）已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为(    )

A．2020 B．20l9 C．2018 D．2017

【答案】B

【解析】是等差数列的前项和，若，

故，，，，故，

当时，，，，

，

当时，，故前项和最大.故选：.

12．（2020·浙江高三三模）已知为等差数列，且，则（    ）

A．且 B．且

C．且 D．且

【答案】C

【解析】设公差为，由，得，且.

方程在有根，等价于函数的图象与直线有公共点.

当直线与相切时，设切点为.

由得，，

即切点为，代入直线，得.

此时.

当直线向右平移与函数的图象相交时，.

函数的图象与直线有公共点时，.

为递增等差数列，.故选：.