专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）学案

专题46  直线与圆、圆与圆的位置关系

【热点聚焦与扩展】

高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.本专题通过例题说明关于直线与圆、圆与圆的位置关系问题的解法与技巧.

1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆

2、圆的标准方程：设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：

3、圆的一般方程：圆方程为

（1）的系数相同

（2）方程中无项

（3）对于的取值要求：

4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：

（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则：

① 当时，直线与圆相交

② 当时，直线与圆相切

③ 当时，直线与圆相离

（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数.设直线：，圆：，则：

消去可得关于的一元二次方程，考虑其判别式的符号

① ，方程组有两组解，所以直线与圆相交

② ，方程组有一组解，所以直线与圆相切

③ ，方程组无解，所以直线与圆相离

5、直线与圆相交：

弦长计算公式：

6、直线与圆相切：

（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径

（2）圆上点的切线结论：

① 圆上点处的切线方程为

② 圆上点处的切线方程为

（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程.（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）

7、与圆相关的最值问题

（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.

（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.

（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于

（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.

8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含

（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆的半径为，

① 外离

② 外切

③ 相交

④ 内切

⑤ 内含

（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系.但只能判断交点的个数.例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定

【经典例题】

例1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数11】已知⊙，直线，为上的动点，过点作⊙的切线，切点为，当最小时，直线的方程为              （   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【思路导引】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．

【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，∴直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，

∴，而，

当直线时，，，此时最小．

∴即，由解得，．

∴以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程，故选D．

【专家解读】本题考查了考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是圆的几何性质的应用．

例2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数6】已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】B

【思路导引】根据直线和圆心与点连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论．

【解析】圆化为，∴圆心坐标为，半径为，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，

根据弦长公式最小值为，故选B．

【专家解读】本题考查了考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的几何性质的应用，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是圆的几何性质及勾股定理的应用．

例3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数8】若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 （   ）

A．             B．             C．             D．

【答案】B

【思路导引】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离．

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，∴圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为，

∴圆心到直线的距离为．故选B．

【专家解读】本题考查了考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的几何性质的应用，考查点到直线距离公式，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是应用圆的几何性质求圆的方程．

例4．【2020年高考全国Ⅱ卷理数5】若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 （   ）

A．             B．             C．             D．

【答案】B

【思路导引】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离．

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，∴圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为，

∴圆心到直线的距离为．故选B．

【专家解读】本题考查了考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的几何性质的应用，考查点到直线距离公式，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是应用圆的几何性质求圆的方程．

例5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数6】在平面内，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为 （   ）

A．圆                    B．椭圆               C．抛物线             D．直线

【答案】A

【思路导引】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可．

【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，可得：，

从而：，结合题意可得：，

整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆．故选：A．

【专家解读】本题考查了平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是解题关键是掌握圆锥曲线的定义及轨迹方程的求解．

例6．【2020年高考浙江卷15】设直线，圆，，若直线与，都相切，则                  ；                   ．

【答案】；

【思路导引】由直线与圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可．

【解析】由题意可知直线是圆和圆的公切线，∵，为如图所示的切线，

由对称性可知直线必过点，即 ①

并且，② 

由①②解得：，，故答案为：；．

故答案为：．

【专家解读】本题考查了直线与圆的位置关系，考查圆的切线性质，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是圆的切线几何性质的应用．

例7．【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系中，已知，是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是________．

【答案】

【解析】如图，作所在直径，交于点，则：

∵，，∴，为垂径．

要使面积最大，则位于两侧，并设，

计算可知，故，，

故，令，

，，

记函数，

则，

令，解得（舍去）

显然，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

结合在递减，故时最大，此时，故，即面积的最大值是．

（注：实际上可设，利用直角可更快速计算得出该面积表达式）

例8．【2020年高考天津卷12】已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

【答案】5

【思路导引】

根据弦长公式，再由点到直线的距离公式可求出，即可求得．

【解析】

因为圆心到直线的距离，由可得

，解得．

故答案为：．

【专家解读】本题考查了直线与圆的位置关系，考查圆的弦长的计算，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是应用垂径定理，找直角三角形解决问题．

【精选精练】

1．（2020·霍邱县第二中学高三三模）已知条件，条件直线与圆相切，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】设圆心到直线距离为，

由直线与圆相切，

则，解得，

成立则成立，成立不一定成立，

所以是的充分不必要条件.故选：A.

2．（2020·重庆北碚·西南大学附中高三三模）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【解析】由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.

3．（2020·云南师大附中高三三模）已知圆M的方程为，过点的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为，弦长最长的弦为，则四边形的面积为（    ）

A．30 B．40 C．60 D．80

【答案】B

【解析】圆M的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半径的圆，且由，即点在圆内，

则最短的弦是以为中点的弦，

所以，所以，

过最长的弦为直径，所以，

且，故而.

故选：B.

4．（2020·江西临川一中高三三模）已知直线l过点，当直线l与圆相交时，其斜率k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】圆的方程可变为，圆心为，半径为1，

因为直线l过点，且斜率为k，所以直线l的方程为即，

若要使直线l与圆相交，则圆心到直线l的距离，

解得.

故选：B.

5．（2020·河南洛阳·高三三模）已知实数，满足，则的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【解析】设为上的任意一点，则点到直线的距离，点到原点的距离．

，

设圆与直线相切，则，解得或，结合图形可知的最小值为30°，故，

故选：B．

6．（2020·山西平城·大同一中高三三模）已知是圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】因为圆：的圆心到直线：的距离

，且圆的半径等于，

故圆上的点到直线的最小距离为

故选：

7．（2020·四川武侯·成都七中高三三模）在平面直角坐标系中，直线l：与曲线交于A，B两点，且，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】直线，即，

所以直线过定点，

曲线是圆心为原点，半径的上半圆.

过圆心作于，

即，

所以，

圆心到直线的距离，

，

解得，

因为曲线是上半圆，结合图像可得，

所以.故选C.

8．（2020·江西高三三模）已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为（    ）

A． B．8 C． D．18

【答案】B

【解析】由题意可知，该问题可转化为求圆上任意一点

到曲线上任意一点的距离的最小值的平方，

不妨设圆为圆，

其圆心为，半径为，

因为圆外任意一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径，

所以只需求曲线上到圆心距离最小的点为，

则点满足曲线在点处的切线与直线垂直，

因为点在曲线上，所以，

令，则，

则，

即曲线在点处的切线的斜率为，

又因为，，

所以直线的斜率为，

所以，

即，

解得，

所以点坐标为，又因为，

所以，

所以圆上任意一点到曲线上任意一点的距离的最小值的平方为

，

所以的最小值为8.

故选：B

9．（2020·甘肃城关·兰州一中高三三模）在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足 ，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设 ，则

∵，∴

∴

∴为点的轨迹方程

∴点的参数方程为（为参数）

则由向量的坐标表达式有：

又∵

∴

故选：D

10．（2020·天水市第一中学高三三模）已知M、N分别是圆和圆上的两个动点，点P在直线上，则的最小值是（    ）

A． B．10 C． D．12

【答案】C

【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，

关于直线的对称点为，，

故的最小值是.

故选：C.

11．（2020·浙江省宁海中学高三三模）已知一组圆，则（    ）

A．存在直线与所有圆相切 B．存在直线与所有圆相交

C．存在直线与所有圆不相交 D．存在圆经过原点

【答案】B

【解析】根据题意得，圆心，半径，

圆心在直线上，故存在直线与所有的圆相交，选项B正确；

圆圆心为，半径为，

圆圆心为即，半径为，

两圆的圆心距，

两圆的半径之差为，

任取或时，，圆含于圆中，选项A错误；

当取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项C错误；

将代入圆方程，则有，

即，

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项D错误.故选：B.

12．（2020·四川青羊·石室中学高三三模）已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（  ）

A． B．[,]

C． D．）

【答案】D

【解析】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），

因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：

PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，

则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.

直线过定点（0，－2），直线方程即，

只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，

即：，解得：，

即实数的取值范围是）.

本题选择D选项.